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黄冈市名校2023-2024学年高二上学期第一次阶段性测试
数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数，则该复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 某中学高一、高二、高三年级的学生人数比为，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为的样本，已知样本中高三年级的学生有人，则等于( )
A. B. C. D.
3. 某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满元就送一次抽奖机会，中奖的概率为那么以下理解正确的是( )
A. 某人抽奖次，一定能中奖次 B. 某人消费元，至少能中奖次
C. 某人抽奖次，一定不能中奖 D. 某人抽奖次，可能次也没中奖
4. 已知，为空间中不重合的两条直线，，为空间中不重合的两个平面，则下列命题错误的是( )
A. ，
B. ，
C. ，，
D. ，，，，
5. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法错误的是( )
A. 若，则一定为钝角三角形
B. 若，，，则解此三角形必有一解
C. 若，则一定为等腰三角形
D. 若是锐角三角形，则
6. 一组数据从小到大排列为，，，，，，平均数为，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 已知函数满足，则函数是( )
A. 奇函数，关于点成中心对称 B. 偶函数，关于点成中心对称
C. 奇函数，关于直线成轴对称 D. 偶函数，关于直线成轴对称
8. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态。若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 是由公司开发的一个问答类人工智能应用高科技发展在吸引年轻人的喜爱和关注的同时，也影响高考志愿填报方向的选择如图是年和年我国某省高中生志愿填报方向的人数占比饼状图，已知年该省高中生志愿填报总人数约为万人，比年总人数增加了万人，则年该省高中生志愿填报人数与年志愿填报人数相比，下列说法正确的是( )
A. 人工智能专业占比变化最大 B. 电气自动化专业占比下降第二大
C. 人工智能专业和其他专业占比之和变大了 D. 电气自动化专业填报人数变少了
10. 已知复数是虚数单位，则下列命题中正确的为( )
A. B. 的虚部是
C. 是纯虚数 D. 复数的共轭复数为
11. 关于平面向量，下列说法正确的是
A. 若，，则
B. 在平行四边形中，对角线，与一组邻边，满足等式：
C. 若，且与的夹角为锐角，则
D. 若四边形满足，且，则四边形
为菱形
12. 如图，正方体的棱长为，则下列四个命题中正确的是( )
A. 直线与平面所成的角等于
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线和所成的角为
D. 二面角的平面角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 一组数据，，，，，，，，的第百分位数是 ．
14. 空间向量，，如果，则 ．
15. 函数的部分图象如图所示，现将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，则 ．
16. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，，平面，，则三棱锥的体积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
高二年级某班数学学习小组有男生名记为，，，女生名记为，，现从中随机抽出名学生去参加学校高二年级的数学竞赛每人被抽到的可能性相同．
求参赛学生中恰有名男生的概率
求参赛学生中至少有名女生的概率．
18. 本小题分
在棱长是的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
求的长；
证明：平面；
证明：平面．
19. 本小题分
甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
两个人都译出密码的概率；
两个人都译不出密码的概率；
恰有个人译出密码的概率；
至多有个人译出密码的概率；
至少有个人译出密码的概率．
20. 本小题分
拔尖创新人才是世纪社会经济发展的巨大动力，培养拔尖创新人才也成为世界各国教育的主要任务某市为了解市民对拔尖人才培养理念的关注程度，举办了“拔尖人才素养必备”知识普及竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计该市这次竞赛成绩的众数
已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求这两组成绩的总平均数和总方差．
21. 本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
22. 本小题分
如图在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，，，，．
求二面角的大小；
求点到平面的距离．
1.
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6.
7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
“参赛学生中恰有一名男生”
“参赛学生中至少有一名女生”
，
，
，
．
18.解：以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，分别为，的中点，，，，
．
，，
又平面，平面，
平面D.
，，
，，，，
又，、平面，
平面．
19.解：记为甲独立的译出密码，为乙独立的译出密码，则，，
两个人都译出密码的概率为 ；
两个人都译不出密码的概率为
；
恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出乙译出甲译不出，即
所以
；
至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，
所以至多个人译出密码的概率为；
至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，
所以至少个人译出密码的概率为．
20.解：由频率分布直方图得，
由最高小矩形底边中点的横坐标为，可得该市这次竞赛成绩众数的估计值为
落在与的人数比为，
则这两组成绩的总平均数为，
这两组成绩的总方差为．
21.解：由已知，，
，
在中，由正弦定理得，
则，
又，故．
由正弦定理，，
则，，且，
，
又为锐角三角形，则，解得，
，
故
则
即周长的取值范围为．
22.解：以为原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
，，，
，．
设平面的一个法向量为，
由，，
得，令，则．
所以，
取平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，由图可知为锐角．
，，
即二面角的大小为．
由知平面的一个法向量为，
又，，
点到平面的距离．
