遂宁卓同教育高中部2023年下期9月考
高2021级数学试题（理科）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
2．设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
3．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
11．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为 .
14．设函数 ．
15．若，且，则实数的值为 ．
16．若函数满足：定义域，且，在称函数为“双对称函数”，已知函数为“双对称1函数”，且当时，记函数，则函数的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
18．设命题实数x满足，命题．
（1）若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，为假命题，为真命题，求的取值范围．
19．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数及利润函数的最大值；
(2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．
20．在平面直角坐标系中，直线参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，A为曲线C上一点.
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程.
(2)若点B为直线与曲线C在第一象限的交点，且，求的面积.
21．已知函数（且）．
(1)若函数为奇函数，求实数a的值；
(2)对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
22．已知函数．
(1)若，求的值；
(2)若对任意，总存在使得成立，求的取值范围遂宁卓同教育高中部2023年下期9月考
高2021级数学试题（理科）参考答案
选择题：1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D 9.D 10.C 11.A 12.B
12．作出函数的图像如下：
数，且函数有6个零点等价于有6个解，
等价于或共有6个解
等价于函数与共有6个交点，
由图可得与有三个交点，所以与有三个交点
则直线应位于之间，
所以故选：B.
填空题：13. -2 14. 6 15. 16. -17
16．因为函数的图象关于直线对称,所以函数的图象关于轴对称，即为偶函数,所以,则有成立,即函数是周期为2的周期函数.
所以当时,,
当,
当,
当,
当
,
当时,取最小值.故答案为:-17.
解答题：
17．（1）；……………5分
（2）．……………10分
18．（1）使命题为真的的范围为集合
使命题q为真的的范围为集合
由题知是q的充分不必要条件,即，解得。……………6分
（2）当时，集合，由题知，命题p，q一真一假
若p真q假，则，解得
若p假q真，则，解得
综上所述，的取值范围是……………12分
19．（1）由题意知，
，……………3分
易得的对称轴为，
所以当或时，取得最大值为（元）．
所以利润函数，最大值为（元）；……………3分
（2）依题意，得……………9分
（元）.
当且仅当时等号成立，即时，等号成立．
所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．……………12分
20．（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），
所以直线l的普通方程为，……………3分
又曲线C的极坐标方程为，即，
所以曲线C的普通方程为，即.……………6分
（2）联立直线l与曲线C的方程，得，解得或，
因为点B在第一象限，所以，则点B的极坐标为，
因为，则可设点A的极坐标为，
又因为点A在曲线C上，所以，
所以
.……………12分
21．（1）函数为奇函数，则，
即
，
则，
即，
.……………5分
（2），，
，……………8分
∴即,
∴在恒成立，因为，
所以在恒成立，……………10分
在为增函数，
故，
……………12分
22．（1）由题设，则，
所以.……………4分
（2）若在上的值域为，在上的值域为，
由题意知：，即是的子集，……………6分
而，且仅当时等号成立，则在上，
当时，……………8分
对于的值域：
当时，，则，故；……………9分
当时，，只需，即，
移项得：，由在上为单调增函数，故；……11分
综上，.……………12分
