第二十一章 一元二次方程基础知识测试题
一、单选题
1．方程的根是（ ）
A．x1＝，x2＝ B．x1＝1，x2＝
C．x1＝x2＝ D．x1＝，x2＝5
2．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是 （ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程 时，以下变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程5x2﹣2x﹣7＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
5．方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
6．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（ ）
A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6
C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6
7．方程 的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．若方程x2﹣4x﹣3k=0与方程x2﹣x﹣6=0有一根相同，则k=（ ）
A．4 B．0和1 C．0 D．4和﹣1
10．已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x＞y、x＝y、x＜y都有可能
11．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
12．下列所给的方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+x=0 B．5x2﹣4x﹣1=0
C．3x2﹣4x+1=0 D．4x2﹣5x+2=0
13．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
14．方程的根是（ ）
A．8和2 B．和2 C．和 D．8和
15．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．36（1﹣x）2=36﹣25 B．36（1﹣2x）=25
C．36（1﹣x）2=25 D．36（1﹣x2）=25
16．方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≥1 B．k≤1 C．k>1 D．k<1
17．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
18．已知函数 的图像与x轴的交点坐标为 且 ，则该函数的最小值是（ ）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
二、计算题
19．解下列方程
（1）（x﹣3）2＝2（x﹣3）
（2）x2﹣2x﹣2＝0．
三、解答题
20．请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4=0
（2）x（x﹣6）=5．
四、综合题
21．已知关于x的方程
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边的长为这个方程的两个实数根，求△ABC的周长.
五、实践探究题
22．阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x= ，把x= ，代入已知方程，得（ ）2+ ﹣1=0．
化简，得y2+2y﹣4=0，
故所求方程为y2+2y﹣4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，
∴x1＝，x2＝，
故答案为：A
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可求解。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故A正确；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、含所有两个未知数，故C错误；
D、是分式方程，故D错误.
故答案为：A.
【分析】含有一个未知数，未知数的最高次数是二次的整式方程就是一元二次方程，根据一元二次方程的定义即可判断.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：
移项得：
配方得：
故答案为：B.
【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ＝（﹣2）2﹣4×5×（﹣7）＝144＞0，
∴关于一元二次方程5x2﹣6x﹣7＝0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
5．【答案】A
【解析】【解答】方程(x 2)(x+3)=0，
可得x 2=0或x+3=0，
解得： .
故答案为：A.
【分析】由题意可得两个关于x的一元一次方程，解这两个关于x的一元一次方程即可求解。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得2+（-3）=-b，2×（-3）=c，
解得b=1，c=-6.
故答案为：A.
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=,x1.x2=，于是可得=-(x1+x2)，=x1.x2，把x1=2，x2=-3代入计算即可求解。
7．【答案】D
【解析】【解答】 ，
方程没有实数根，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：由x2﹣x﹣6=0得到：
（x﹣3）（x+2）=0．
解得x1=3，x2=﹣2，
把x1=3，x2=﹣2分别代入方程x2﹣4x﹣3k=0，得
9﹣12﹣3k=0，4+8﹣3k=0，
解得k=﹣1、k=4．
综上所述，k的值是﹣1或4．
故选：D．
【分析】通过解程x2﹣x﹣6=0得到x=3或x=﹣2，把它们分别代入方程x2﹣4x﹣3k=0求得k的值即可．
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，
∴，
∴，
∵不论a为何值，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
11．【答案】B
【解析】【解答】解：，
△=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B．
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
12．【答案】D
【解析】【解答】解：A、△=12﹣4×1×0=1＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
B、△=（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）=36＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
C、△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
D、△=（﹣5）2﹣4×4×2=﹣7＜0，所以方程没有实数根．
故选D．
【分析】分别计算出判别式△=b2﹣4ac的值，然后根据△的意义分别判断即可．
13．【答案】B
【解析】【解答】解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，
∴△=42﹣4×4c=0，
∴c=1，
故选B．
【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．
14．【答案】D
【解析】【解答】解：
∴x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
故答案为：D.
【分析】观察方程特点：将（x-3）看成整体，此方程缺（x-3）的一次项，因此利用因式分解法解方程.
15．【答案】C
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，
为36×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是36×（1﹣x）2=25．
故选：C．
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=25，把相应数值代入即可求解．
16．【答案】D
【解析】【解答】当k=1时，原方程不成立，故k≠1，
当k≠1时，方程 为一元二次方程．
∵此方程有两个实数根，
∴ ，解得：k≤1．
综上k的取值范围是k＜1．
故答案为：D．
【分析】根据二次项系数非零，再结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
17．【答案】A
【解析】【解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确.
18．【答案】D
【解析】【解答】∵函数y=4x2-4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∴x1与x2是4x2-4x+m=0的两根，
∴4x12-4x1+m=0，x1+x2=1，x1 x2= ，
∴4x12=4x1-m，
∵（x1+x2）（4x12-5x1-x2）=8，
∴（x1+x2）（4x1-m-5x1-x2）=8，
即（x1+x2）（-m-x1-x2）=8，
∴1 （-m-1）=8，解得m=-9，
∴抛物线解析式为y=4x2-4x-9，
∵y=2（x- ）2-10，
∴该函数的最小值为-10．
故答案为：D．
【分析】函数 y = 4 x 2 4 x + m 的图像与x轴的交点坐标为 ( x 1 ， 0 ) ( x 2， 0 )即为方程4x2-4x+m=0的两根，再由根于系数的关系可得x1+x2=1，x1 x2= 代入( x 1 + x 2 ) ( 4 x 12 5 x 1 x 2 ) = 8最终化为关于m的方程，解得m=-9，这样我们得到了抛物线解析式为y=4x2-4x-9最后化为顶点式，求得最小值为-10
19．【答案】（1）解： ，
，
，即 ，
或 ，
或 ，
即 ；
（2）解： ，
，
，
，
，
即 ．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可.
20．【答案】解：（1）x2﹣4=0，x2=4，x=±2，即x1=﹣2，x2=2；（2）整理得：x2﹣6x﹣5=0，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣5）=56，x=，，．
【解析】【分析】（1）移项，开方，即可得出答案；
（2）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
21．【答案】（1）证明：△=k2 4×1×(k 1)=k2 4k+4=(k 2)2
∵无论k取什么实数值,(k 2)2 0，
∴△ 0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根
（2）解：∵x= ，
∴x1=k 1,x2=1，
∵两边恰好是这个方程的两个实数根，
当2为腰，则k 1=2，解得k=3，此时三角形的周长=2+2+1=5；
当1为腰时，k 1=1，k=2，此时1+1=2，故此种情况不存在.
综上所述，△ABC的周长为5.
【解析】【分析】（1）求出△=k2 4k+4=(k 2)2，根据偶次方的非负性判断即可；
（2）利用公式法求出方程的根x1=k 1,x2=1，由于等腰三角形的两边恰好是这个方程的两个实数根，所以分两种情况①当2为腰时，②当1为腰时，根据等腰三角形的性质求出k值，利用三角形的三边关系进行验证即可.
22．【答案】（1）y2﹣2y﹣1=0
（2）解：设所求方程的根为y，则y= （x≠0），于是x= （y≠0），
把x= 代入方程ax2+bx+c=0，得a （ ）2+b（ ）+c=0，
去分母，得 a+by+cy2=0，
若c=0，有ax2+bx=0，
于是，方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0，
故所求方程为a+by+cy2=0 （ c≠0）．
【解析】【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y，
把x=﹣y代入方程x2+2x﹣1=0，得：y2﹣2y﹣1=0，
故答案为：y2﹣2y﹣1=0；
【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y，代入原方程即可得；（2）设所求方程的根为y，则y= （x≠0），于是x= （y≠0），代入方程ax2+bx+c=0整理即可得．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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