辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
一．相反数（共1小题）
1．（2022 威海）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
二．绝对值（共2小题）
2．（2023 大连）﹣6的绝对值是（ ）
A．6 B． C． D．﹣6
3．（2022 大连）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
三．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
4．（2023 大连）2023年5月10日“大连1号——连理卫星”搭乘天舟六号货运飞船飞向太空，它的质量为17000g．数17000用科学记数法表示为（ ）
A．17×103 B．0.17×105 C．1.7×104 D．1.7×105
5．（2021 大连）2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪念章．数7100000用科学记数法表示为（ ）
A．71×105 B．7.1×105 C．7.1×106 D．0.71×107
四．立方根（共1小题）
6．（2023 大连）下列计算正确的是（ ）
A．（）0＝ B．＝9 C．＝4 D．（﹣）＝3﹣
五．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
7．（2021 大连）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8 B．a2 a3＝a5
C．（﹣3a）2＝6a2 D．2ab2+3ab2＝5a2b4
六．二次根式的性质与化简（共1小题）
8．（2021 大连）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣）2＝﹣3 B．＝2
C．＝1 D．（+1）（﹣1）＝3
七．二次根式的混合运算（共1小题）
9．（2022 大连）下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．＝﹣3 C．2+3＝5 D．（+1）2＝3
八．根的判别式（共1小题）
10．（2022 大连）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B．9 C．6 D．﹣9
九．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
11．（2021 大连）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
一十．解分式方程（共1小题）
12．（2023 大连）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
一十一．解一元一次不等式（共1小题）
13．（2022 大连）不等式4x＜3x+2的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
一十二．函数关系式（共1小题）
14．（2022 大连）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式是（ ）
A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30
C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x
一十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
15．（2021 大连）下列说法正确的是（ ）
①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P（﹣3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上；
③反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
一十四．反比例函数的应用（共1小题）
16．（2023 大连）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝5时，I＝8，则当R＝10时，I的值是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．0
一十五．二次函数的性质（共1小题）
17．（2023 大连）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
一十六．几何体的展开图（共1小题）
18．（2021 大连）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）
A． B． C． D．
一十七．平行线的性质（共3小题）
19．（2023 大连）如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝20°，则∠E的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．45°
20．（2022 大连）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°
21．（2021 大连）如图，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
一十八．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
22．（2022 大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
一十九．多边形内角与外角（共1小题）
23．（2022 大连）六边形内角和的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
二十．弧长的计算（共1小题）
24．（2023 大连）在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（ ）
A． B．9π C． D．
二十一．旋转的性质（共1小题）
25．（2021 大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA'B'的度数为（ ）
A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α
二十二．简单几何体的三视图（共1小题）
26．（2022 大连）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
二十三．简单组合体的三视图（共1小题）
27．（2023 大连）如图，几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
二十四．扇形统计图（共1小题）
28．（2023 大连）2023年5月18日，《大连日报》公布《下一站，去博物馆!》问卷调查结果．本次调查共收回3666份有效问卷，其中将“您去博物馆最喜欢看什么？”这一问题的调查数据制成扇形统计图，如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．最喜欢看“文物展品”的人数最多
B．最喜欢看“文创产品”的人数占被调查人数的14.3%
C．最喜欢看“布展设计”的人数超过500人
D．统计图中“特效体验及其他”对应的圆心角是23.76°
二十五．加权平均数（共1小题）
29．（2021 大连）某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人．该健美操队队员的平均年龄为（ ）
A．14.2岁 B．14.1岁 C．13.9岁 D．13.7岁
二十六．众数（共1小题）
30．（2022 大连）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表所示．则所销售的女鞋尺码的众数是（ ）
尺码/cm 22.5 23 23.5 24 24.5
销售量/双 1 4 6 8 1
A．23.5 B．23.6 C．24 D．24.5
辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
参考答案与试题解析
一．相反数（共1小题）
1．（2022 威海）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
【答案】B
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：B．
二．绝对值（共2小题）
2．（2023 大连）﹣6的绝对值是（ ）
A．6 B． C． D．﹣6
【答案】A
【解答】解：﹣6的绝对值是6．
故选：A．
3．（2022 大连）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【答案】A
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|＝2．
故选：A．
三．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
4．（2023 大连）2023年5月10日“大连1号——连理卫星”搭乘天舟六号货运飞船飞向太空，它的质量为17000g．数17000用科学记数法表示为（ ）
A．17×103 B．0.17×105 C．1.7×104 D．1.7×105
【答案】C
【解答】解：将17000用科学记数法表示为1.7×104．
故选：C．
5．（2021 大连）2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪念章．数7100000用科学记数法表示为（ ）
A．71×105 B．7.1×105 C．7.1×106 D．0.71×107
【答案】C
【解答】解：根据科学记数法的定义，将一个较大或较小的数字写成a×10n的形式，其中1≤a＜10且n为整数．
∴7100000＝7.1×106．
故选：C．
四．立方根（共1小题）
6．（2023 大连）下列计算正确的是（ ）
A．（）0＝ B．＝9 C．＝4 D．（﹣）＝3﹣
【答案】D
【解答】解：A．（）0＝1，故该选项不正确，不符合题意；
B.＝3，该该选项不正确，不符合题意；
C.＝2，该该选项不正确，不符合题意；
D.×（﹣）＝3﹣，该选项正确，符合题意．
故选：D．
五．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
7．（2021 大连）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8 B．a2 a3＝a5
C．（﹣3a）2＝6a2 D．2ab2+3ab2＝5a2b4
【答案】B
【解答】解：选项A、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项不符合题意；
选项B、a2 a3＝a2+3＝a5，故本选项符合题意；
选项C、（﹣3a）2＝9a2，故本选项不符合题意；
选项D、2ab2+3ab2＝5ab2，故本选项不符合题意；
故选：B．
六．二次根式的性质与化简（共1小题）
8．（2021 大连）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣）2＝﹣3 B．＝2
C．＝1 D．（+1）（﹣1）＝3
【答案】B
【解答】解：A、（﹣）2＝3，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，故此选项不符合题意，
故选：B．
七．二次根式的混合运算（共1小题）
9．（2022 大连）下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．＝﹣3 C．2+3＝5 D．（+1）2＝3
【答案】C
【解答】解：A、＝﹣2，故A不符合题意；
B、＝3，故B不符合题意；
C、2+3＝5，故C符合题意；
D、（+1）2＝3+2，故D不符合题意；
故选：C．
八．根的判别式（共1小题）
10．（2022 大连）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B．9 C．6 D．﹣9
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：B．
九．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
11．（2021 大连）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
【答案】D
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故选：D．
一十．解分式方程（共1小题）
12．（2023 大连）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
【答案】B
【解答】解：分式方程的两侧同乘（x﹣1）得：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x．
故选：B．
一十一．解一元一次不等式（共1小题）
13．（2022 大连）不等式4x＜3x+2的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
【答案】D
【解答】解：4x＜3x+2，
移项，得x＜2．
故选：D．
一十二．函数关系式（共1小题）
14．（2022 大连）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式是（ ）
A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30
C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x
【答案】B
【解答】解：由题意可得：y＝30﹣0.1x，（0≤x≤300）．
故选：B．
一十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
15．（2021 大连）下列说法正确的是（ ）
①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P（﹣3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上；
③反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【解答】解：①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0，故说法正确；
②因为﹣3×2＝﹣6，故说法正确；
③因为k＝3＞0，反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误；
故选：A．
一十四．反比例函数的应用（共1小题）
16．（2023 大连）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝5时，I＝8，则当R＝10时，I的值是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．0
【答案】A
【解答】解：由题意知，I＝，
∴U＝IR＝5×8＝40（V），
∴当R＝10时，I＝＝4（A），
故选：A．
一十五．二次函数的性质（共1小题）
17．（2023 大连）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】D
【解答】解：由二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣1可知，
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1．
又1﹣0＜3﹣1，
所以当x＝3时，函数取得最大值，
y＝32﹣2×3﹣1＝2．
故选：D．
一十六．几何体的展开图（共1小题）
18．（2021 大连）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：扇形和圆折叠后，能围成的几何体是圆锥．
故选：D．
一十七．平行线的性质（共3小题）
19．（2023 大连）如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝20°，则∠E的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．45°
【答案】B
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DFE，
∵∠A＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∵∠DFE是△CEF的一个外角，
∴∠DFE＝∠C+∠E，
∵∠C＝20°，
∴45°＝20°+∠E，
∴∠E＝25°，
故选：B．
20．（2022 大连）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°
【答案】A
【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝70°，
∴∠GFD＝∠EFD＝×70°＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠GFD＝35°．
故选：A．
21．（2021 大连）如图，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝40°，
∴∠D＝∠A＝40°．
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°．
又∵∠CED+∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
故选：B．
一十八．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
22．（2022 大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
【答案】C
【解答】解：由已知可得，
MN是线段AC的垂直平分线，
设AC与MN的交点为E，
∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，
∴ED∥CB，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝AB，
∴点D为AB的中点，
∵AB＝3，∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝1.5，
故选：C．
一十九．多边形内角与外角（共1小题）
23．（2022 大连）六边形内角和的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】D
【解答】解：六边形的内角和的度数是（6﹣2）×180°＝720°．
故选：D．
二十．弧长的计算（共1小题）
24．（2023 大连）在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（ ）
A． B．9π C． D．
【答案】C
【解答】解：根据弧长的公式，该弧长为：＝．
故选：C．
二十一．旋转的性质（共1小题）
25．（2021 大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA'B'的度数为（ ）
A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α
【答案】C
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，
∴AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，
∴△ACA'是等腰直角三角形，
∴∠CA'A＝45°，
∵∠BAC＝α，
∴∠CA'B'＝α，
∴∠AA'B'＝45°﹣α．
故选：C．
二十二．简单几何体的三视图（共1小题）
26．（2022 大连）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．圆锥的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；
B．三棱柱的主视图是矩形，因此选项B不符合题意；
C．圆柱的主视图是矩形，因此选项C不符合题意；
D．球的主视图是圆，因此选项D符合题意；
故选：D．
二十三．简单组合体的三视图（共1小题）
27．（2023 大连）如图，几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：从正面看，可得如下图形：
故选：A．
二十四．扇形统计图（共1小题）
28．（2023 大连）2023年5月18日，《大连日报》公布《下一站，去博物馆!》问卷调查结果．本次调查共收回3666份有效问卷，其中将“您去博物馆最喜欢看什么？”这一问题的调查数据制成扇形统计图，如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．最喜欢看“文物展品”的人数最多
B．最喜欢看“文创产品”的人数占被调查人数的14.3%
C．最喜欢看“布展设计”的人数超过500人
D．统计图中“特效体验及其他”对应的圆心角是23.76°
【答案】C
【解答】解：由题意得：
A．最喜欢看“文物展品”的人数最多，占58.25%，说法正确，故本选项不符合题意；
B．最喜欢看“文创产品”的人数占被调查人数的14.3%，说法正确，故本选项不符合题意；
C．最喜欢看“布展设计”的人数为：3666×9.82%≈360（人），原说法错误，故本选项符合题意；
D．统计图中“特效体验及其他”对应的圆心角是：360°×6.6%＝23.76°，说法正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
二十五．加权平均数（共1小题）
29．（2021 大连）某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人．该健美操队队员的平均年龄为（ ）
A．14.2岁 B．14.1岁 C．13.9岁 D．13.7岁
【答案】C
【解答】解：∵13岁3人，14岁5人，15岁2人，
∴该健美操队队员的平均年龄为：＝13.9（岁）．
故选：C．
二十六．众数（共1小题）
30．（2022 大连）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表所示．则所销售的女鞋尺码的众数是（ ）
尺码/cm 22.5 23 23.5 24 24.5
销售量/双 1 4 6 8 1
A．23.5 B．23.6 C．24 D．24.5
【答案】C
【解答】解：∵众数是在一组数据中出现次数最多的数，24cm出现的次数最多，
∴众数是24cm．
故选：C．
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辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．由实际问题抽象出一元一次方程（共3小题）
1．（2023 大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何．”其大意是：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各是多少．”设共有x人合伙买鸡，根据题意，可列方程为 ．
2．（2022 大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为 ．
3．（2021 大连）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 ．
二．解分式方程（共1小题）
4．（2022 大连）方程＝1的解是 ．
三．解一元一次不等式（共2小题）
5．（2023 大连）不等式﹣3x＞9的解集是 ．
6．（2021 大连）不等式3x＜x+6的解集是 ．
四．函数关系式（共1小题）
7．（2021 大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，AF＝EF，设BE＝x，AF＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 ．
五．勾股定理（共1小题）
8．（2023 大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 ．
六．菱形的性质（共1小题）
9．（2023 大连）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC＝60°，AC＝10，E是AD的中点，则OE的长是 ．
七．正方形的性质（共1小题）
10．（2023 大连）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在BC的延长线上，且CE＝2．连接AE，∠DCE的平分线与AE相交于点F，连接DF，则DF的长为 ．
八．弧长的计算（共1小题）
11．（2022 大连）如图，正方形ABCD的边长是，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是 （结果保留π）．
九．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
12．（2022 大连）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接MF，若MF⊥BM，AB＝6cm，则AD的长是 cm．
13．（2021 大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是 ．
一十．坐标与图形变化-平移（共2小题）
14．（2022 大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 ．
15．（2021 大连）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到点P′，则点P′的坐标是 ．
一十一．概率公式（共1小题）
16．（2022 大连）不透明袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是 ．
一十二．列表法与树状图法（共2小题）
17．（2023 大连）一个不透明的口袋中有2个完全相同的小球，分别标号为1，2．随机摸出一个小球记录标号后放回，再随机摸出一个小球记录标号，两次摸出小球标号的和等于3的概率是 ．
18．（2021 大连）一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2．随机摸取一个小球后，放回并摇匀，再随机摸取一个小球，两次取出的小球标号的和等于4的概率为 ．
辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．由实际问题抽象出一元一次方程（共3小题）
1．（2023 大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何．”其大意是：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各是多少．”设共有x人合伙买鸡，根据题意，可列方程为 9x﹣11＝6x+16 ．
【答案】9x﹣11＝6x+16．
【解答】解：由题意得：9x﹣11＝6x+16，
故答案为：9x﹣11＝6x+16．
2．（2022 大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为 100x﹣90x＝100 ．
【答案】100x﹣90x＝100．
【解答】解：∵每人出90钱，恰好合适，
∴猪价为90x钱，
根据题意，可列方程为100x﹣90x＝100．
故答案为：100x﹣90x＝100．
3．（2021 大连）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 6x+14＝8x ．
【答案】6x+14＝8x．
【解答】解：设有牧童x人，
依题意得：6x+14＝8x．
故答案为：6x+14＝8x．
二．解分式方程（共1小题）
4．（2022 大连）方程＝1的解是 x＝5 ．
【答案】x＝5．
【解答】解：＝1，
2＝x﹣3，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣3≠0，
∴x＝5是原方程的根，
故答案为：x＝5．
三．解一元一次不等式（共2小题）
5．（2023 大连）不等式﹣3x＞9的解集是 x＜﹣3 ．
【答案】x＜﹣3．
【解答】解：∵﹣3x＞9，
∴x＜﹣3，
故答案为：x＜﹣3．
6．（2021 大连）不等式3x＜x+6的解集是 x＜3 ．
【答案】x＜3．
【解答】解：3x＜x+6，
移项，得3x﹣x＜6，
合并同类项，得2x＜6，
系数化成1，得x＜3，
故答案为：x＜3．
四．函数关系式（共1小题）
7．（2021 大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，AF＝EF，设BE＝x，AF＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 y＝+（0＜x＜2） ．
【答案】y＝（0＜x＜2）．
【解答】解：过点F作FM⊥AE，垂足为M，
∵AF＝EF，
∴AM＝ME，
在Rt△ABE中，
AE＝＝，
∴AM＝，
∵∠B＝∠AMF＝90°，∠FAM＝∠AEB，
∴△ABE∽△FMA，
∴＝，
即＝，
∴xy＝，
即y＝＝+（0＜x＜2），
故答案为：y＝+（0＜x＜2）．
五．勾股定理（共1小题）
8．（2023 大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 +1 ．
【答案】+1．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝，
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，
∴AC＝AB＝，
∴OC＝AC+OA＝+1，
∵交x轴正半轴于点C，
∴点C的坐标为（+1，0）．
故答案为：+1．
六．菱形的性质（共1小题）
9．（2023 大连）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC＝60°，AC＝10，E是AD的中点，则OE的长是 5 ．
【答案】5．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AD＝CD，AC⊥BD．
∵∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形．
∴AD＝AC＝10．
∵E为AD的中点，AC⊥BD，
∴OE＝AD＝5．
故答案为：5．
七．正方形的性质（共1小题）
10．（2023 大连）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在BC的延长线上，且CE＝2．连接AE，∠DCE的平分线与AE相交于点F，连接DF，则DF的长为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，过F作FM⊥BE于M，FN⊥CD于 N，则四边形CMFN是矩形，FM∥AB，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCM＝∠FCN＝45°，
∴CM＝FM，
∴四边形CMFN是正方形，
设FM＝CM＝NF＝CN＝a，则ME＝2﹣a，
∵FM∥AB，
∴△EFM∽△EAB，
∴，即，
解得：，
∴，
由勾股定理得：DF＝＝，
故答案为：．
八．弧长的计算（共1小题）
11．（2022 大连）如图，正方形ABCD的边长是，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是 π （结果保留π）．
【答案】π．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝45°，AC＝AB＝×＝2，
∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，
∴的长度为＝π．
故答案为：π．
九．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
12．（2022 大连）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接MF，若MF⊥BM，AB＝6cm，则AD的长是 5 cm．
【答案】5．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，
∴∠A＝90°，
由折叠性质可得：
BE＝DF＝3cm，A′B＝AB＝6cm，∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′BM，
在Rt△A′BE中，A′B＝2BE，
∴∠BA′E＝30°，
∴∠A′BE＝60°，
∴∠ABM＝30°，∠AMB＝60°，
∴AM＝tan30° AB＝＝2cm，
∵MF⊥BM，
∴∠BMF＝90°，
∴∠DMF＝30°，
∴∠DFM＝60°，
在Rt△DMF中，MD＝tan60° DF＝cm，
∴AD＝AM+DM＝2cm．
故答案为：5．
13．（2021 大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AB′⊥BD，
∴∠BAB'＝，
∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，
∴BE＝B'E，AB＝AB'，
∴∠ABB'＝，
∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，
∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，
∴∠BEB'＝90°，
在Rt△BEB'中，由勾股定理得：
BB'＝，
故答案为：2．
一十．坐标与图形变化-平移（共2小题）
14．（2022 大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 （5，2） ．
【答案】（5，2）．
【解答】解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（1+4，2），即（5，2），
故答案为：（5，2）．
15．（2021 大连）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到点P′，则点P′的坐标是 （2，3） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点P′的坐标为（﹣2+4，3），即（2，3），
故答案为：（2，3）．
一十一．概率公式（共1小题）
16．（2022 大连）不透明袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是＝，
故答案为：．
一十二．列表法与树状图法（共2小题）
17．（2023 大连）一个不透明的口袋中有2个完全相同的小球，分别标号为1，2．随机摸出一个小球记录标号后放回，再随机摸出一个小球记录标号，两次摸出小球标号的和等于3的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
一共有4种等可能的情况，其中两次摸出小球标号的和等于3有2种可能，
∴P（两次摸出小球标号的和等于3）＝，
故答案为：．
18．（2021 大连）一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2．随机摸取一个小球后，放回并摇匀，再随机摸取一个小球，两次取出的小球标号的和等于4的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图如图：
共有4种等可能的结果，两次取出的小球标号的和等于4的结果有1种，
∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为，
故答案为：．
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辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2022 大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
二．动点问题的函数图象（共1小题）
2．（2023 大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．
（1）点A的坐标是 ，△COA的面积是 ．
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023 大连）某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了80m时，男子组恰好跑了50m．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为4.5m/s．男、女两组队员跑步的路程y（单位：m）与匀速跑的时间x（单位：s）的图象如图所示．
（1）此次跑步训练的全程是 m．
（2）求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程．
四．二次函数的应用（共1小题）
4．（2021 大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中50≤x≤80．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
五．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023 大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2与抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为﹣2和1．过点A作AC∥x轴，与抛物线C1相交于点C，分别以AC，AC的长为边长向AC上方作矩形ACDE．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）将矩形ACDE先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′在抛物线C1上．
①求n关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；
②直线A′E′与C1相交于点P，与C2相交于点Q，当E′是PQ的中点时，求m的值；
③抛物线C2与边E′D′，A′C′分别相交于点M，N，点M，N在抛物线C2对称轴的同侧，当MN＝时，求点C′的坐标．
6．（2022 大连）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2021 大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．
六．勾股定理（共2小题）
8．（2022 大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
9．（2021 大连）如图，矩形ABCD中，BC＝4cm，CD＝3cm，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BC→CD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BA→AC以2cm/s的速度向终点C匀速运动．
设点P的运动时间为t（s），△BPQ 的面积为S （cm2）．
（1）求AC的长；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
七．三角形综合题（共2小题）
10．（2021 大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．
（1）找出与∠DBF相等的角并证明；
（2）求证：∠BFD＝∠AFB；
（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求（用含k的代数式表示）．
11．（2022 大连）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”
八．切线的性质（共1小题）
12．（2023 大连）如图1，点A，B，C在O上，AC是⊙O的直径，AD平分∠BAC，与⊙O相交于点D．连接OD，与BC相交于点E．
（1）求∠OEC的度数．
（2）如图2，过点A作⊙O的切线，与CB的延长线相交于点F，过点D作DG∥FA，与AC相交于点G．若AD＝2，DE＝4，求DG的长．
九．几何变换综合题（共1小题）
13．（2023 大连）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的面角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．
一十．解直角三角形（共1小题）
14．（2022 大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
15．（2023 大连）图1是小明家在利用车载云梯搬运装修垃圾，将其抽象成如图2所示的示意图．已知AB⊥BE，CE⊥BE，垂足分别为B，E，CD∥EB，测得∠ACD＝70°，CE＝1.25m，AC＝10.4m．求云梯顶端A到地面的距离AB的长．（结果取整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
16．（2022 大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
一十三．折线统计图（共1小题）
17．（2023 大连）某射击队进行射击训练，甲、乙、丙三名射击运动员分别射击10次，射击队记录他们的成绩（单位：环），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
Ⅰ．甲运动员的射击成绩是：7 9 8 7 8 9 9 9 8 10；
Ⅱ．乙运动员的射击成绩是：
成绩/环 6 7 8 9 10
次数 1 2 2 2 3
Ⅲ．丙运动员射击成绩的折线统计图为：
Ⅳ．分析上述数据，得到下表：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8.4 a 8.5 0.84
乙 b 10 c 1.84
丙 8.2 d 8 1.56
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2）射击队准备从甲、乙、丙三名运动员中选取一名参加比赛，你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2022 大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
【答案】冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．
【解答】解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．
二．动点问题的函数图象（共1小题）
2．（2023 大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．
（1）点A的坐标是 （4，0） ，△COA的面积是 4 ．
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）（4，0），4；
（2）．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥x轴于点E，设PD与OC交于点H，如图：
∵直线OC为函数y＝x的图象，
∴∠COA＝45°，
∵DP⊥x轴，
∴△OPH和△OCE均为等腰直角三角形，
∴OP＝PH＝t，OE＝CE，
∵当0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同，
∴由图2可知：m＝OE，OA＝4，当点P与点E重合时，S＝S△ACE＝2，
∴点A的坐标为（4，0），，
∵OE＝CE＝m，AE＝4﹣m
∴，
整理得：m2﹣4m+4＝0，
解得：m＝2，
∴OE＝CE＝2，
∴．
故答案为：（4，0），4．
（2）由（1）可知：OE＝CE＝m＝2，OP＝PH＝t，OA＝4，
①当0≤t＜m时，点P在线段OE上运动，S＝S△COA﹣S△OPH，
∴，
②当m≤t＜4时，点P在线段EA上运动时，点D在CA上运动，则S＝S△APD，如图：
∵OE＝CE＝m＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
将点A（4，0），点C（2，2）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4
∴点B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∵OA＝4，OD＝t，
∴AP＝4﹣t，
又∵DP⊥x轴，
∴PD∥OB，
∴△APD∽△AOB，
∴PD：OB＝AP：OA，
即：PD：4＝（4﹣x）：4，
∴PD＝4﹣x，
∴S＝S△APD＝AD PD＝（4﹣x） （4﹣x）＝（x﹣4）2．
综上所述：．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023 大连）某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了80m时，男子组恰好跑了50m．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为4.5m/s．男、女两组队员跑步的路程y（单位：m）与匀速跑的时间x（单位：s）的图象如图所示．
（1）此次跑步训练的全程是 500 m．
（2）求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程．
【答案】（1）500；
（2）男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为315米．
【解答】解：（1）100×4.5+50＝500（米），
故答案为：500；
（2）女子组的速度为：（500﹣80）÷120＝3.5m/s，
则男子组队员跑步的路程：y＝4.5x+50，
女子组队员跑步的路程：y＝3.5x+80，
解，
解得：，
∴500﹣185＝315（米），
所以男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为315米．
四．二次函数的应用（共1小题）
4．（2021 大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中50≤x≤80．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣2x+200 （50≤x≤80）；
（2）该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（50，100）、（80，40）代入，得：，
解得：
∴y＝﹣2x+200 （50≤x≤80）；
（2）设电商每天获得的利润为w元，
则w＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+280x﹣8000
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，且对称轴是直线x＝70，
又∵50≤x≤80，
∴当x＝70时，w取得最大值为1800，
答：该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
五．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023 大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2与抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为﹣2和1．过点A作AC∥x轴，与抛物线C1相交于点C，分别以AC，AC的长为边长向AC上方作矩形ACDE．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）将矩形ACDE先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′在抛物线C1上．
①求n关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；
②直线A′E′与C1相交于点P，与C2相交于点Q，当E′是PQ的中点时，求m的值；
③抛物线C2与边E′D′，A′C′分别相交于点M，N，点M，N在抛物线C2对称轴的同侧，当MN＝时，求点C′的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+4．
（2）①n＝﹣m2+4m（0＜m＜4）；
②m＝；
③点C′的坐标为：（，）或（﹣，）．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝x2＝4，当x＝1时，y＝x2＝1，
即点A、B的坐标分别为：（﹣2，4）、（1，1），
则AC＝4，AE＝2，则点E（﹣2，6），
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+4；
（2）①由（1）知，点C（2，4），则平移后点C′为（2﹣m，4﹣n），
将点C′的坐标代入抛物线表达式得：4﹣n＝（2﹣m）2，
即n＝﹣m2+4m，
∵AC＝4，若m＞4，点C不在抛物线上，则C′也不在抛物线上，故0＜m＜4，
∴n＝﹣m2+4m（0＜m＜4）；
②由①知，点A′的坐标为（﹣2﹣m，4﹣n）即（﹣2﹣m，m2﹣4m+4），同样点E′的坐标为：（﹣2﹣m，m2﹣4m+6），
则点P、Q的坐标分别为（﹣2﹣m，m2+4m+4），点Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+4），
则点PQ中点的坐标为：（﹣2﹣m，m+4），
当E′是PQ的中点时，则m2﹣4m+6＝m+4，
解得：m＝（由0＜m＜4，不合题意的值已舍去）；
③过点N作NG⊥D′E′，则NG＝2，
而MN＝，
则MG＝＝，
设点N（a，﹣a2﹣2a+4），则点M（a﹣，﹣a2﹣2a+6），
将点M的坐标代入抛物线C2的表达式得：﹣a2﹣2a+6＝﹣（a﹣）2﹣2（a﹣）+4，
解得：a＝，
则点N的坐标为：（，），
当y＝x2＝时，x＝，
则点C′的坐标为：（，）或（﹣，）．
6．（2022 大连）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（3，0），C（0，﹣3）；
（2）当S取最大值时，m的值为1；
（3）存在，点P的坐标为（4，5）．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）；
当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴OA＝1，OB＝OC＝3．
∵点E的坐标为（m，0），OE＝OF，
∴OE＝OF＝m，BE＝CF＝3﹣m，
∴S＝S1+S2
＝ CF OA+ BE OF
＝×（3﹣m）×1+×（3﹣m）×m
＝﹣m2+m+
＝﹣（m﹣1）2+2．
∵﹣＜0，
∴当m＝1时，S取得最大值，
即当S取最大值时，m的值为1．
（3）存在，设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．
在图（2）中，连接BD，过点Q作QM⊥x轴于点M，过点D作DN∥x轴，过点P作PN∥y轴交DN于点N．
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，BC＝3．
∵抛物线的顶点为D，
∴点D的坐标为（1，﹣4），
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴BD＝＝2，CD＝＝，
∵BC2+CD2＝（3）2+（）2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝45°+90°＝135°．
∵QM∥OC，
∴∠CQM＝180°﹣∠OCB＝180°﹣45°＝135°．
∵∠PQC＝∠ACD，∠PQC＝∠PQM+∠CQM，∠ACD＝∠ACO+∠OCD，
∴∠PQM＝∠ACO．
又∵QM∥PN，
∴∠DPN＝∠PQM＝∠ACO．
又∵∠AOC＝∠DNP＝90°，
∴△AOC∽△DNP，
∴＝，即＝，
解得：n1＝1（不合题意，舍去），n2＝4，
∴点P的坐标为（4，5）．
7．（2021 大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当m＝2时，y＝，
①∵M（4，n）在该函数图象上，
∴n＝42﹣2×4+2＝10；
②当0≤x＜2时，y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，y有最大值是2，
当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2，
∵2＜2，
∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是2；
（2）分两种情况：
①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OP＝m，
∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OP＝PQ，
∴m＝﹣+m+m，
解得：m1＝0，m2＝6，
∵m＞0，
∴m＝6；
②当Q在x轴下方时，同理得：m＝﹣﹣m
解得：m1＝0，m2＝14，
∵m＞0，
∴m＝14；
综上，m的值是6或14；
（3）分两种情况：
①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D，
当x＝0时，y＝m，
∴OB＝m，
∵CD＝m，
∴CD＝OB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD，
∵∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴△ABO≌△BCD（ASA），
∴OA＝BD，
当x＜m时，y＝0，即﹣x2+x+m＝0，
x2﹣x﹣2m＝0，
解得：x1＝，x2＝，
∴OA＝，且﹣≤m≤3，
∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，
∴OD＝c＝﹣a，
∴BD＝m﹣OD＝m+a，
∵OA＝BD，
∴＝m+，
解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2＝；
②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D，
同理得：OA＝BD，
当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴OA＝＝a，
∴＝c﹣m＝﹣a﹣m，
解得：m1＝0，m2＝﹣；
综上，m的值是或﹣．
六．勾股定理（共2小题）
8．（2022 大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）AC＝8；
（2）当0＜x＜5时，S＝﹣x2+x；当5＜x＜8时，S＝﹣x2+x﹣．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3，
∴BD＝＝5，
又∵AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝5+3＝8；
（2）当点P在点D的左侧时，即0＜x＜5，如图1，此时重叠部分的面积就是△PQD的面积，
∵PQ⊥AC，BC⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△ABC∽△AQP，
∴＝＝＝2，
设AP＝x，则PQ＝x，PD＝AD﹣AP＝5﹣x，
∴S重叠部分＝S△PQD＝（5﹣x）×x
＝﹣x2+x；
当点P在点D的右侧时，即5＜x＜8，如图2，
由（1）得，AP＝x，PQ＝x，则PD＝x﹣5，
∵PQ∥BC，
∴△DPE∽△DCB，
∴＝＝，
∴PE＝（x﹣5），
∴QE＝PQ﹣PE＝x﹣（x﹣5）＝﹣x+，
∴S重叠部分＝S△DEQ
＝（x﹣5）×（﹣x+）
＝﹣x2+x﹣；
答：S关于x的函数解析式为：当0＜x＜5时，S＝﹣x2+x；当5＜x＜8时，S＝﹣x2+x﹣．
9．（2021 大连）如图，矩形ABCD中，BC＝4cm，CD＝3cm，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BC→CD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BA→AC以2cm/s的速度向终点C匀速运动．
设点P的运动时间为t（s），△BPQ 的面积为S （cm2）．
（1）求AC的长；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）5cm；（2）S＝．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝（cm），
∴AC的长为5cm；
（2）当0＜t≤1.5时，如图，
S＝；
当1.5＜t≤4时，如图，作QH⊥BC于H，
∴CQ＝8﹣2t，
∵sin∠BCA＝，
∴，
∴QH＝，
∴S＝＝﹣；
③当4＜t≤7时，
CP＝t﹣4，BQ＝BC＝4，
∴S＝S△BPQ＝＝＝2t﹣8，
综上所述：S＝．
七．三角形综合题（共2小题）
10．（2021 大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．
（1）找出与∠DBF相等的角并证明；
（2）求证：∠BFD＝∠AFB；
（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）∠BAE＝∠DBF，证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）k﹣1．
【解答】解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，
证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，
∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，
∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，
∴∠BAE＝∠DBF．
（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，
∵AB＝BD，AE＝EF，
∴，
∵∠ABD＝∠AEF，
∴△ABD∽△AEF，
∴∠BDG＝∠AFB，
∵∠BGD＝∠AGF，
∴△BGD∽△AGF，
∴，
∴，
∵∠AGB＝∠FGD，
∴△AGB∽△FGD，
∴∠BAD＝∠BFD，
∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，
∴∠BFD＝∠AFB．
（3）如图3，在FA上取一点D′，使D′F＝DF，连接D′M，作EH∥MD′交AC于点H，
∵∠MFD＝∠MFD′，FM＝FM，
∴△D′MF≌△DMF，
∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，
∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，
∴∠EDF＝∠EHA，
∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，
∴△EFD≌△EAH（AAS），
∴DF＝AH，
∵，D′F＝DF，
∴，
∵AF＝kDF，
∴，
∴．
11．（2022 大连）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）结论：BH＝EF．证明见解析部分；
（3）．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠ADC＝∠ACB，
∴∠B+∠DCB＝∠DCB+∠ACD，
∴∠ACD＝∠B；
（2）解：结论：BH＝EF．
理由：如图2中，在CB上取一点T，使得GH＝CT．
在△BGH和△DCT中，
，
∴△BGH≌△DCT（SAS），
∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，
∵∠CDT+∠FDT＝180°，
∴∠GBH+∠FDT＝180°，
∴∠BFD+∠BTD＝180°，
∵∠CFE+∠BFD＝180°，
∴∠CFE＝∠BTD，
在△CEF和△BDT中，
，
∴△CEF≌△BDT（AAS），
∴EF＝DT，
∴EF＝BH；
（3）解：如图3，过点E作EM∥AD交CE的延长线于点M．
∵AD∥EM，
∴＝，
∴＝．
∴EM＝，
∵＝＝，
∵tan∠ACD＝tan∠ABC＝，
∴＝，
∵AC＝2，AB＝4，
∴AD＝1，BD＝CE＝3，
∴AE＝1，
∴BE＝＝＝＝，
∴EF＝BE＝．
八．切线的性质（共1小题）
12．（2023 大连）如图1，点A，B，C在O上，AC是⊙O的直径，AD平分∠BAC，与⊙O相交于点D．连接OD，与BC相交于点E．
（1）求∠OEC的度数．
（2）如图2，过点A作⊙O的切线，与CB的延长线相交于点F，过点D作DG∥FA，与AC相交于点G．若AD＝2，DE＝4，求DG的长．
【答案】（1）90°；
（2）2．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠OAD，
∵OAD＝∠ODA，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴AB∥OD，
∴∠B＝∠OEC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠B＝90°，
∴∠OEC＝90°；
（2）连接DC，如图：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
设半径为r，则OA＝OD＝OC＝r，
OE＝r﹣4，AB＝2OE＝2r﹣8，AC＝2r，
在Rt△ADC中，DC2＝AC2﹣AD2＝CE2+DE2＝OC2﹣OE2+DE2，
∴（2r）2﹣（2）2＝r2﹣（r﹣4）2+42，
解得r＝7或﹣5（舍去），
∴AC＝14，DC＝，
∵AF是切线，
∴AF⊥AC，
∵DG∥FA，
∴DG⊥AC，
∴S△ADC＝＝，
∴＝，
解得DG＝2．
九．几何变换综合题（共1小题）
13．（2023 大连）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的面角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．
【答案】问题1，
（1）证明过程详见解答；
（2）；
问题2，
．
【解答】问题1，
（1）证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD，
∴∠BED＝∠A，
∵∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠A+∠DEC＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°，
∴∠DEC＝2∠ACB；
（2）解：如图1，
作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，
∴∠AGD＝∠DFC＝90°，
由折叠得，
AD＝DE，∠ADB＝BDE，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AD，
∴DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EF＝CE＝
∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（）2＝，
∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°，
∴2∠ADB+∠EDC＝180°，
∵∠AEC+∠DCE+∠EDC＝180°，
∴2∠DCE+∠EDC＝180°，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△ADG≌△DFC（AAS），
∴AG＝DF，DG＝CF＝，
在Rt△ABG中，由勾股定理得，
BG＝＝，
∴BD＝BG+DG＝；
问题2，
解：如图2，
连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，
∵AB＝BD，
∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AE＝AD，
∵∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDE＝∠BDC，
∴CD∥BE，
∴CD⊥AD，
∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE，DF＝BE，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，
∴AD＝＝，
∴BF＝DE＝，
在Rt△BDE中，BD＝4，DE＝，
∴DF＝BE＝＝，
∴CF＝DF﹣CD＝，
在Rt△BCF中，CF＝，BF＝，
∴BC＝＝．
一十．解直角三角形（共1小题）
14．（2022 大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．
【答案】（1）如解答过程．
（2）如解答过程．
【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A
∴AB⊥AE，
∴∠A＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠BDO＝∠A＝90°，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴∠B＝∠E．
（2）如图2，连接AC，
∵OA＝2，OE＝3，
∴根据勾股定理得AE＝，
∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，
∴△BOD∽△EOA，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝，
∴CD＝BD＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD＝
＝
＝．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
15．（2023 大连）图1是小明家在利用车载云梯搬运装修垃圾，将其抽象成如图2所示的示意图．已知AB⊥BE，CE⊥BE，垂足分别为B，E，CD∥EB，测得∠ACD＝70°，CE＝1.25m，AC＝10.4m．求云梯顶端A到地面的距离AB的长．（结果取整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【答案】11米．
【解答】解：延长CD交AB于H，
∵AB⊥BE，CE⊥BE，CD∥EB，
∴四边形CHBE是矩形，
∴BH＝CE＝1.25m，
∵∠ACD＝70°，
∴AB＝BH+AH＝BH+AC sin∠ACD≈1.25+10.4×0.94≈11（m），
即云梯顶端A到地面的距离AB的长大约11米．
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
16．（2022 大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 300 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
【答案】（1）300；
（2）白塔BC的高度约为45米．
【解答】解：（1）由题意得：
5分钟＝300秒，
∴1×300＝300（米），
∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，
故答案为：300；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝150（米），
AD＝BD＝150（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD tan37°≈150×0.75≈194.6（米），
∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），
∴白塔BC的高度约为45米．
一十三．折线统计图（共1小题）
17．（2023 大连）某射击队进行射击训练，甲、乙、丙三名射击运动员分别射击10次，射击队记录他们的成绩（单位：环），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
Ⅰ．甲运动员的射击成绩是：7 9 8 7 8 9 9 9 8 10；
Ⅱ．乙运动员的射击成绩是：
成绩/环 6 7 8 9 10
次数 1 2 2 2 3
Ⅲ．丙运动员射击成绩的折线统计图为：
Ⅳ．分析上述数据，得到下表：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8.4 a 8.5 0.84
乙 b 10 c 1.84
丙 8.2 d 8 1.56
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ 9 ，b＝ 8.4 ，c＝ 8.5 ，d＝ 8和9 ．
（2）射击队准备从甲、乙、丙三名运动员中选取一名参加比赛，你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
【答案】（1）9，8.4，8.5，8和9；
（2）应该选择甲参赛，理由见解答．
【解答】解：（1）甲10次射击中，9环出现的次数最多，故众数a＝9，
乙的平均数b＝×（6×1+7×2+8×2+9×2+10×3）＝8.4，
把乙10次射击的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是8和9，故中位数c＝＝8.5，
丙10次射击中，8环和9环出现的次数最多，故众数d＝8和9，
故答案为：9，8.4，8.5，8和9；
（2）应该选择甲参赛，理由如下：
因为甲和乙的平均数相同，且比丙的高，所以在甲和乙中选其中一个参赛；又因为甲的方差比乙小，所以甲比乙稳定，故该选择甲参赛．
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辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．分式的混合运算（共3小题）
1．（2023 大连）计算：（+）÷．
2．（2022 大连）计算：÷﹣．
3．（2021 大连）计算： ﹣．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2021 大连）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
三．一元二次方程的应用（共1小题）
5．（2023 大连）某学校为建设“书香校园”，购买图书的费用逐年增加．2020年购书费用为5000元，2022年购书费用为7200元，求2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率．
四．反比例函数的应用（共1小题）
6．（2022 大连）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；
（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．
五．全等三角形的判定与性质（共2小题）
7．（2023 大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．
8．（2021 大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．
六．菱形的性质（共1小题）
9．（2022 大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．
七．切线的性质（共1小题）
10．（2021 大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．
（1）求证：∠BAC＝∠DOC；
（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2021 大连）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆AB的高度（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192；sin57°≈0.839，cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）
九．频数（率）分布直方图（共1小题）
12．（2022 大连）为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
平均每周劳动时间频数统计表
平均每周劳动时间t/h 频数 频率
1≤t＜2 3
2≤t＜3 a 0.12
3≤t＜4 37 b
4≤t＜5 0.35
5≤t＜6
合计 c
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生人数．
一十．扇形统计图（共1小题）
13．（2021 大连）某校计划举办以“庆祝建党百年，传承红色基因”为主题的系列活动，活动分为红歌演唱、诗歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛，要求每名学生都参加活动且只能选择一项活动．为了解学生参加活动的情况，随机选取该学校部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
活动项目 频数 频率
红歌演唱 10 0.2
诗歌朗诵
爱国征文
党史知识竞赛 0.1
据以上信息，回答下列问题：
（1）被调查的学生中，参加红歌演唱活动的学生人数为 人，参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为 %；
（2）本次调查的样本容量为 ，样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为 人；
（3）若该校共有800名学生，请根据调查结果，估计参加诗歌朗诵活动的学生人数．
辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共3小题）
1．（2023 大连）计算：（+）÷．
【答案】．
【解答】解：原式＝[+]
＝
＝．
2．（2022 大连）计算：÷﹣．
【答案】．
【解答】解：÷﹣
＝ ﹣
＝﹣
＝．
3．（2021 大连）计算： ﹣．
【答案】1．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝1．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2021 大连）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
【答案】（1）大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元；
（2）2880元．
【解答】解：（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．
（2）180×8+60×24＝2880（元）．
答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
5．（2023 大连）某学校为建设“书香校园”，购买图书的费用逐年增加．2020年购书费用为5000元，2022年购书费用为7200元，求2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率．
【答案】2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%．
【解答】解：设2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为x，
则：5000（1+x）2＝7200，
解得：x＝0.2，或x＝﹣2.2（舍去），
答：2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%．
四．反比例函数的应用（共1小题）
6．（2022 大连）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；
（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．
【答案】（1）ρ＝（V＞0）；
（2）1.1≤ρ≤3.3．
【解答】解：（1）设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ＝（k≠0）．
∵当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3，
∴1.98＝，
∴k＝9.9，
∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ＝（V＞0）．
（2）∵k＝9.9＞0，
∴当V＞0时，ρ随V的增大而减小，
∴当3≤V≤9时，≤ρ≤，
即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1≤ρ≤3.3．
五．全等三角形的判定与性质（共2小题）
7．（2023 大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵∠ACF+∠AED＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝∠AED，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AB＝AD．
8．（2021 大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
六．菱形的性质（共1小题）
9．（2022 大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）
∴CE＝CF．
七．切线的性质（共1小题）
10．（2021 大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．
（1）求证：∠BAC＝∠DOC；
（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．
【答案】（1）见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明：连接OB，如图1，
∵直线MN与⊙O相切于点D，
∴OD⊥MN，
∵BC∥MN，
∴OD⊥BC，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BAC＝∠COD；
（2）∵E是OD的中点，
∴OE＝DE＝2，
在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝2，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝2．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2021 大连）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆AB的高度（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192；sin57°≈0.839，cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）
【答案】约为7m．
【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，
∴BC＝CD tan∠BDC＝20×tan50°≈20×1.192＝23.84（m），
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，
∴AC＝CD tan∠ADC＝20×tan57°≈20×1.540＝30.8（m），
∴AB＝AC﹣BC＝30.8﹣23.84≈7（m）．
答：旗杆AB的高度约为7m．
九．频数（率）分布直方图（共1小题）
12．（2022 大连）为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
平均每周劳动时间频数统计表
平均每周劳动时间t/h 频数 频率
1≤t＜2 3
2≤t＜3 a 0.12
3≤t＜4 37 b
4≤t＜5 0.35
5≤t＜6
合计 c
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 12 ，b＝ 0.37 ，c＝ 100 ；
（2）若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生人数．
【答案】（1）12，0.37，100；
（2）72名．
【解答】解：（1）由频数分布直方图可知，a＝12，
调查人数为：12÷0.12＝100（人），即c＝100，
b＝37÷100＝0.37，
故答案为：12，0.37，100；
（2）平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生所占的百分比为0.37+0.35＝0.72，
1000×（0.37+0.35）＝720（名），
答：该校1000名学生中平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的大约有720名．
一十．扇形统计图（共1小题）
13．（2021 大连）某校计划举办以“庆祝建党百年，传承红色基因”为主题的系列活动，活动分为红歌演唱、诗歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛，要求每名学生都参加活动且只能选择一项活动．为了解学生参加活动的情况，随机选取该学校部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
活动项目 频数 频率
红歌演唱 10 0.2
诗歌朗诵
爱国征文
党史知识竞赛 0.1
据以上信息，回答下列问题：
（1）被调查的学生中，参加红歌演唱活动的学生人数为 10 人，参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为 40 %；
（2）本次调查的样本容量为 50 ，样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为 5 人；
（3）若该校共有800名学生，请根据调查结果，估计参加诗歌朗诵活动的学生人数．
【答案】（1）10，40；（2）50，5；（3）240人．
【解答】解：（1）由频数分布表可得参加红歌演唱活动的学生人数为10人，由扇形图可得参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为40%，
故答案为：10，40；
（2）被调查的学生总数为10÷0.2＝50（人），
50×0.1＝5（人），
故答案为：50，5；
（3）样本中参加爱国征文活动的学生人数：50×40%＝20（人），
样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数：50﹣10﹣20﹣5＝15（人），
800×＝240（人），
答：估计参加诗歌朗诵活动的学生人数为240人．
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