广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 广州）近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升．截至2023年5月底，某市已建成安全充电端口逾280000个，将280000用科学记数法表示为 ．
二．因式分解-提公因式法（共1小题）
2．（2022 广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．
三．二次根式有意义的条件（共1小题）
3．（2021 广州）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 ．
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
4．（2021 广州）方程x2﹣4x＝0的实数解是 ．
五．解分式方程（共1小题）
5．（2022 广州）分式方程＝的解是 ．
六．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
6．（2021 广州）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1 y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
七．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
7．（2023 广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1 y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2021 广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
（1）H是FK的中点
（2）△HGD≌△HEC
（3）S△AHG：S△DHC＝9：16
（4）DK＝
九．角平分线的性质（共1小题）
9．（2023 广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 ．
一十．含30度角的直角三角形（共1小题）
10．（2021 广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 ．
一十一．三角形中位线定理（共1小题）
11．（2023 广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 .若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 ．
一十二．平行四边形的性质（共1小题）
12．（2022 广州）如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 ．
一十三．弧长的计算（共1小题）
13．（2022 广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 ．（结果保留π）
一十四．轴对称的性质（共1小题）
14．（2021 广州）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．
一十五．轴对称-最短路线问题（共1小题）
15．（2023 广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为 ．
一十六．旋转的性质（共1小题）
16．（2022 广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 ．
一十七．条形统计图（共1小题）
17．（2023 广州）2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则a的值为 .若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为 °．
一十八．方差（共1小题）
18．（2022 广州）在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 ．（填“甲”、“乙”中的一个）．
广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 广州）近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升．截至2023年5月底，某市已建成安全充电端口逾280000个，将280000用科学记数法表示为 2.8×105 ．
【答案】2.8×105．
【解答】解：280000＝2.8×105，
故答案为：2.8×105．
二．因式分解-提公因式法（共1小题）
2．（2022 广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ 3a（a﹣7b） ．
【答案】3a（a﹣7b）．
【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
故答案为：3a（a﹣7b）．
三．二次根式有意义的条件（共1小题）
3．（2021 广州）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 x≥6 ．
【答案】x≥6．
【解答】解：代数式在实数范围内有意义时，x﹣6≥0，
解得x≥6，
∴x应满足的条件是x≥6．
故答案为：x≥6．
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
4．（2021 广州）方程x2﹣4x＝0的实数解是 x1＝0，x2＝4 ．
【答案】x1＝0，x2＝4．
【解答】解：方程x2﹣4x＝0，
分解因式得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4．
故答案为：x1＝0，x2＝4．
五．解分式方程（共1小题）
5．（2022 广州）分式方程＝的解是 x＝3 ．
【答案】x＝3．
【解答】解：＝，
3（x+1）＝4x，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，2x（x+1）≠0，
∴x＝3是原方程的根，
故答案为：x＝3．
六．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
6．（2021 广州）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1 ＞ y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【答案】＞．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＝0，
解得m＝4，
∵m＞0，
∴反比例函数y＝图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
七．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
7．（2023 广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1 ＜ y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
【答案】＜．
【解答】解：由题意得抛物线y＝x2﹣3的对称轴x＝0，
又a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2﹣3开口向上．
∴当x＞0时y随x的增大而增大．
∴对于A、B当0＜x1＜x2时，y1＜y2．
故答案为：＜．
八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2021 广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （1）（3）（4） （填写所有正确结论的序号）．
（1）H是FK的中点
（2）△HGD≌△HEC
（3）S△AHG：S△DHC＝9：16
（4）DK＝
【答案】（1）（3）（4）．
【解答】解：（1）在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠AFD＝∠AEB，
∴∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴AH⊥FK，
由垂径定理，
得：FH＝HK，
即H是FK的中点，故（1）正确；
（2）如图，过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，
∵AB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝5，
∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，
∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，
∴，
∴AH＝，HM＝，
∴HN＝4﹣＝，
即HM≠HN，
∵MN∥CD，
∴MD＝CN，
∵HD＝，
HC＝，
∴HC≠HD，
∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确；
（3）过H分别作HT⊥CD于T，
由（2）知，AM＝＝，
∴DM＝，
∵MN∥CD，
∴MD＝HT＝，
∴＝＝，故（3）正确；
（4）由（2）知，HF＝＝，
∴，
∴DK＝DF﹣FK＝，故（4）正确．
九．角平分线的性质（共1小题）
9．（2023 广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 ．
【答案】．
【解答】解：过E作EH⊥AD于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝5，
∵AE＝12，
∴AD＝＝13，
∵△ADE的面积＝AD EH＝AE DE，
∴13EH＝12×5，
∴EH＝，
点E到直线AD的距离为．
故答案为：．
一十．含30度角的直角三角形（共1小题）
10．（2021 广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
故答案为2．
一十一．三角形中位线定理（共1小题）
11．（2023 广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 1.2 .若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 3≤S≤4 ．
【答案】1.2；3＜S≤4．
【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点，
∴DE是三角形ABM的中位线．
∴DE＝AM＝1.2．
如图，
设AM＝x，
∴DE＝AM＝x．
由题意得，DE∥AM，且DE＝AM，
又FG∥AM，FG＝AM，
∴DE∥FG，DE＝FG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
由题意，GF到AC的距离是x，BC＝＝8，
∴DE边上的高为（4﹣x）．
∴四边形DEFG面积S＝2x﹣x2，＝﹣（x﹣4）2+4．
∵2.4＜x≤6，
∴3≤S≤4．
故答案为：1.2；3≤S≤4．
一十二．平行四边形的性质（共1小题）
12．（2022 广州）如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 21 ．
【答案】21．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝22，
∴OC+BO＝11，
∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝11+10＝21．
故答案为：21．
一十三．弧长的计算（共1小题）
13．（2022 广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 2π ．（结果保留π）
【答案】2π．
【解答】解：如图，连接OD，OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠OEC，
∴AB∥OE，
∴∠BDO+∠DOE＝180°，
∵AB是切线，
∴∠BDO＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠DOE＝90°，
∴劣弧的长是＝2π．
故答案为：2π．
一十四．轴对称的性质（共1小题）
14．（2021 广州）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 33° ．
【答案】33°．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝38°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝38°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝（38°+180°）＝109°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣38°﹣109°＝33°．
故答案为33°．
一十五．轴对称-最短路线问题（共1小题）
15．（2023 广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接AE交BD于一点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∴AF+EF＝AE，此时CF+EF最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在BC上且BE＝1，
∴AE＝＝＝，
故CF+EF的最小值为．
故答案为：
一十六．旋转的性质（共1小题）
16．（2022 广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 120° ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 75° ．
【答案】120°，75°．
【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．
∵△BPP′是等边三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴点P′在射线EP′上运动，
如图1中，设EP′交BC于点O，
当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，
当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO＝OB，OP′＝OC，
∴EP′＝EO+OP′＝OB+OC＝BC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．
故答案为：120°，75°．
一十七．条形统计图（共1小题）
17．（2023 广州）2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则a的值为 30 .若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为 36 °．
【答案】30，36．
【解答】解：由条形统计图可得，
a＝100﹣10﹣50﹣10＝30，
“一等奖”对应扇形的圆心角度数为：360°×＝36°，
故答案为：30，36．
一十八．方差（共1小题）
18．（2022 广州）在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 乙 ．（填“甲”、“乙”中的一个）．
【答案】乙．
【解答】解：∵两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，
∴S甲2＞S乙2，
∴考核成绩更为稳定的运动员是乙；
故答案为：乙．
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广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023 广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2＝10x（x≥0）．
（1）求y1与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023 广州）已知点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上．
（1）若m＝﹣2，求n的值；
（2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
三．二次函数综合题（共2小题）
3．（2022 广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标．
4．（2021 广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2023 广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．
五．四边形综合题（共3小题）
6．（2023 广州）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．
（1）若∠ABE＝15°，求证：△ABF是等边三角形；
（2）延长FA，交射线BE于点G．
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；
②若，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．
7．（2022 广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
8．（2021 广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
六．圆的综合题（共2小题）
9．（2023 广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（0，2），所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．
（1）点D的坐标是 ，所在圆的圆心坐标是 ；
（2）在图中画出，并连接AC，BD；
（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留π）
10．（2021 广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．
七．作图—基本作图（共1小题）
11．（2021 广州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．
八．相似形综合题（共1小题）
12．（2023 广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．
①求证：△ABD∽△ACE；
②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．
九．解直角三角形（共1小题）
13．（2022 广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
14．（2022 广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
15．（2022 广州）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min 频数 频率
30≤t＜60 4 0.1
60≤t＜90 7 0.175
90≤t＜120 a 0.35
120≤t＜150 9 0.225
150≤t＜180 6 b
合计 n 1
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ ，b＝ ，n＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．
广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023 广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2＝10x（x≥0）．
（1）求y1与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【答案】（1）y1与x之间的函数解析式为y1＝；
（2）在甲商店购买更多一些．
【解答】解：（1）当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝kx（k≠0），
把（5，75）代入解析式得：5k＝75，
解得k＝15，
∴y1＝15x；
当x＞5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝mx+n（m≠0），
把（5，75）和（10，120）代入解析式得，
解得，
∴y1＝9x+30，
综上所述，y1与x之间的函数解析式为y1＝；
（2）在甲商店购买：9x+30＝600，
解得x＝63，
∴在甲商店600元可以购买63千克水果；
在乙商店购买：10x＝600，
解得x＝60，
∴在乙商店600元可以购买60千克，
∵63＞60，
∴在甲商店购买更多一些．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023 广州）已知点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上．
（1）若m＝﹣2，求n的值；
（2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1；
（2）①m＝﹣；②假设存在，E（﹣，﹣），或（，﹣）．
【解答】解：（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1；
故n的值为1；
（2）①在y＝（x﹣m）（x﹣n）中，令y＝0，则（x﹣m）（x﹣n）＝0，
解得x＝m或x＝n，
∴M（m，0），N（n，0），
∵点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴mn＝﹣2，
令x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，
即当m+n＝0，且mn＝﹣2，
则m2＝2，解得：m＝﹣（正值已舍去），
即m＝﹣时，点E到达最高处；
②假设存在，理由：
对于y＝（x﹣m）（x﹣n），当x＝0时，y＝mn＝﹣2，即点G（0，﹣2），
由①得M（m，0），N（n，0），G（0，﹣2），E（，﹣（m﹣n）2 ），对称轴为直线x＝，
由点M（m，0）、G（0，﹣2）的坐标知，tan∠OMG＝＝，
作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，则点T（m，﹣1），
则tan∠MKT＝﹣m，
则直线TS的表达式为：y＝﹣m（x﹣m）﹣1．
当x＝时，y＝﹣m（x﹣m）﹣1＝﹣，
则点C的坐标为：（，﹣）．
由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3．
∵四边形FGEC为平行四边形，
则CE＝FG＝3＝yC﹣yE＝﹣﹣yE，
解得：yE＝﹣，
即﹣（m﹣n）2＝﹣，且mn＝﹣2，
则m+n＝，
∴E（﹣，﹣），或（，﹣）．
三．二次函数综合题（共2小题）
3．（2022 广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x+7；
（2）①m＜10且m≠0；
②（﹣2，9）或（2，5）．
【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵点P（m，n）在直线l上，
∴n＝﹣m+7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵抛物线经过点（0，﹣3），
∴am2+7﹣m＝﹣3，
∴a＝，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴a＝＜0，
∴m＜10且m≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴Q点与Q'关于x＝m对称，
∴Q点的横坐标为m+，
联立方程组，
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，
∴m+m+＝2m﹣，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得m＝2或m＝﹣，
当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此时抛物线的对称轴为直线x＝2，
图象在≤x≤上的最高点坐标为（2，5）；
当m＝﹣时，y＝﹣2（x+）2+，
此时抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；
综上所述：G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．
4．（2021 广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
【答案】（1）点（2，4）不在抛物线上；
（2）（2，5）；
（3）x顶点＜﹣或x顶点＞或x顶点＝1．
【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，
将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，
∴点（2，4）不在抛物线上；
（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），
化简得（，），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而＝﹣（m﹣3）2+5，
∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，
此时该抛物线解析式为y＝x2﹣4x+9，顶点坐标为：（2，5）；
（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：
，解得，
∴直线EF的解析式为y＝2x+1，
由得：或，
∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），
∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．
四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2023 广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵B是AD的中点，
∴AB＝BD，
∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（SAS），
∴∠C＝∠E．
五．四边形综合题（共3小题）
6．（2023 广州）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．
（1）若∠ABE＝15°，求证：△ABF是等边三角形；
（2）延长FA，交射线BE于点G．
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；
②若，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）①22.5°；
②；．
【解答】（1）证明：由轴对称的性质得到BF＝BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABE＝15°，
∴∠CBE＝75°，
∵BC关于BE对称的线段为BF，
∴∠FBE＝∠CBE＝75°，
∴∠ABF＝∠FBE﹣∠ABE＝60°，
∴△ABF是等边三角形；
（2）解：①能，
∵边BC关于BE对称的线段为BF，
∴BC＝BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，
∴BF＝BC＝BA，
∵E是边AD上一动点，
∴BA＜BE＜BG，
∴点B不可能是等腰三角形BGF的顶点，
若点F是等腰三角形BGF的顶点，
则有∠FGB＝∠FBG＝∠CBG，
此时E与D重合，不合题意，
∴只剩下GF＝GB了，
连接CG交AD于H，
∵BC＝BF，∠CBG＝∠FBG，BG＝BG，
∴△CBG≌△FBG（SAS），
∴FG＝CG，
∴BG＝CG，
∴△BGF为等腰三角形，
∵BA＝BC＝BF，
∴∠BFA＝∠BAF，
∵△CBG≌△FBG，
∴∠BFG＝∠BCG，
∵AD∥BC，
∴∠AHG＝∠BCG，
∴∠BAF+∠HAG＝∠AHG+∠HAG＝180°﹣∠BAD＝90°，
∴∠FGC＝180°﹣∠HAG﹣∠AHG＝90°，
∴∠BGF＝∠BGC＝＝45°，
∵GB＝GC，
∴∠GBC＝∠GCB＝（180°﹣∠BGC）＝67.5°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣67.5°＝22.5°；
②由①知，△CBG≌△FBG，
要求△BGF面积的最大值，即求△BGC面积的最大值，
在△GBC中，底边BC是定值，即求高的最大值即可，
如图2，过G作GP⊥BC于P，连接AC，取AC的中点M，连接GM，作MN⊥BC于N，
设AB＝2x，则AC＝2x，
由①知∠AGC＝90°，M是AC的中点，
∴GM＝＝x，MN＝＝x，
∴PG≤GM+MN＝（）x，
当G，M，N三点共线时，取等号，
∴△BGF面积的最大值＝
＝（1）×
＝；
如图3，设PG与AD交于Q，
则四边形ABPQ是矩形，
∴AQ＝PB＝x，PQ＝AB＝2x，
∴QM＝MP＝x，GM＝x，
∴，
∵QE+AE＝AQ＝x，
∴，
∴
＝2（）x
＝2（×（）
＝．
7．（2022 广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）6
（2）①7；
②是，最小值为12．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝6，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
在Rt△ADH中，
DH＝AD sin∠DAH＝6×＝3，
AH＝AD cos∠DAH＝6×＝3，
∴BD＝＝＝6；
（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：
菱形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，
在Rt△BCM中，BM＝BC cos∠ABC＝6×＝3，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠DBA＝ABC＝30°，
在Rt△BEM中，
ME＝BM tan∠DBM＝3×＝，
BE＝＝＝2，
∵BE＝DF，
∴DF＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝4，
在Rt△AFN中，
∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴FN＝AF sin∠FAN＝4×＝2，
AN＝AF cos∠FAN＝4×＝2，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，
∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN
＝EM BM+（EM+FN） MN﹣AN FN
＝3+（+2）×5﹣2×2
＝+﹣2
＝7；
②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值是最小，
理由：设DF＝x，则BE＝DF＝x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，
过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：
∴EY∥FG∥AB，FN∥CH，
∴四边形EMHY、FNHG是矩形，
∴FN＝GH，FG＝NH，EY＝MH，EM＝YH，
由①可知：ME＝BE＝x，
BM＝BE＝x，
AN＝AF＝（AD﹣DF）＝3﹣x，
FN＝AF＝，
CH＝BC＝3，BH＝BC＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝6﹣x，
AH＝AB﹣BH＝3，
YH＝ME＝x，
GH＝FN＝，
EY＝MH＝BM﹣BH＝x﹣3，
∴CY＝CH﹣YH＝3﹣x，
FG＝NH＝AN+AH＝6﹣，CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣x﹣x＝9﹣2x，
∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN
＝EM BM+（EM+FN） MN﹣AN FN
＝x×x+（x+） （9﹣2x）﹣（3﹣x）
＝x2﹣x+9
＝（x﹣3）2+，
∵＞0，
∴当x＝3时，四边形ABEF的面积取得最小值，
方法一：CE+CF＝+
＝+
＝+×
＝+×
＝+，
∵（x﹣3）2≥0，当且仅当x＝3时，（x﹣3）2＝0，
∴CE+CF＝+≥12，
当且仅当x＝3时，CE+CF＝12，即当x＝3时，CE+CF的最小值为12，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为12．
方法二：
如图：将△BCD绕点B逆时针旋转60°至△BAG，连接CG，
在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，
∵＝＝，∠CDF＝∠GBE＝60°，
∴△BEG∽△DFC，
∴＝＝，即GE＝CF，
∴CE+CF＝CE+GE≥CG＝12，
即当且仅当点C、E、G三点共线时，CE+CF的值最小，
此时点E为菱形对角线的交点，BD中点，BE＝3，DF＝3，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为12．
解法二：如图，在BD上截取DM，使得DM＝2，在DA上取点F，连接DF，使得△DFM∽△BEC．
则有CE＝FM，作点M关于AD的对称点M′，
∴CE+CF＝FM+CF＝（CF+FM）＝（CF+FM′），
∴C，F，M′共线时，最小，
此时DF＝3，可得CE+CF的值也最小，最小值为12．
8．（2021 广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：连接DF，CE，如图所示：
，
∵E为AB中点，
∴AE＝AF＝AB，
∴EF＝AB＝CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF∥CD，
∴四边形DFEC是平行四边形．
（2）作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，如图所示，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴，
∴FG＝2m，
在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°＝，CH＝，
cos60°＝，BH＝1，
在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，FH＝3+m，
CF2＝CH2+FH2，
即（2+2m）2＝（）2+（3+m）2，
整理得：3m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），
∴．
（3）G点轨迹为线段AG，
证明：如图，
（此图仅作为证明AG轨迹用），
延长线段AG交CD于H，作HM⊥AB于M，作DN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BF∥CD，
∴△DHG∽△EGA，△HGC∽△AGF，
∴，，
∴，
∵AE＝AF，
∴DH＝CH＝1，
在Rt△ADN中，AD＝2，∠DAB＝60°．
∴sin60°＝，DN＝．cos60°＝，AN＝1，
在Rt△AHM中，HM＝DN＝，AM＝AN+NM＝AN+DH＝2，
tan∠HAM＝，
G点轨迹为线段AG．
∴G点轨迹是线段AG．
如图所示，作GH⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，
∴CD∥BF，BD＝2，
∴△CDG∽△FBG，
∴，即BG＝2DG，
∵BG+DG＝BD＝2，
∴BG＝，
在Rt△GHB中，BG＝，∠DBA＝60°，
sin60°＝，GH＝，
cos60°＝，BH＝，
在Rt△AHG中，AH＝2﹣＝，GH＝，
AG2＝（）2+（）2＝，
∴AG＝．
∴G点路径长度为．
解法二：如图，连接AG，延长AG交CD于点W．
∵CD∥BF，
∴＝，＝，
∴＝，
∵AF＝AE，
∴DW＝CW，
∴点G在AW上运动．
下面的解法同上．
六．圆的综合题（共2小题）
9．（2023 广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（0，2），所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．
（1）点D的坐标是 （5，2） ，所在圆的圆心坐标是 （5，0） ；
（2）在图中画出，并连接AC，BD；
（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留π）
【答案】（1）（5，2）、（5，0）；
（2）见解答；
（3）2π+10．
【解答】解：（1）如下图，由平移的性质知，点D（5，2），所在圆的圆心坐标是（5，0），
故答案为：（5，2）、（5，0）；
（2）在图中画出，并连接AC，BD，见下图；
（3）和长度相等，均为×2πr＝×2＝π，
而BD＝AC＝5，
则封闭图形的周长＝++2BD＝2π+10．
10．（2021 广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．
【答案】（1）A（﹣8，0），B（0，4）；（2）S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；（3）4．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），B（0，4）；
（2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点，
∴P（x，），
∴S△APO＝＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），
∴OA＝8，OB＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB＝，
在⊙C中，∵PQ是直径，
∴∠POQ＝90°，
∵∠BAO＝∠Q，
∴tanQ＝tan∠BAO＝，
∴，
∴OQ＝2OP，
∴S△POQ＝，
∴当S△POQ最小时，则OP最小，
∵点P在线段AB上运动，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△AOB＝，
∴，
∵sinQ＝sin∠BAO，
∴，
∴，
∴PQ＝8，
∴⊙C半径为4．
七．作图—基本作图（共1小题）
11．（2021 广州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）解：如图，图形如图所示．
（2）证明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，
∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，
∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAD＝45°，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，
∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，
∴BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，
∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，
∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，
∴∠BEF＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
八．相似形综合题（共1小题）
12．（2023 广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．
①求证：△ABD∽△ACE；
②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．
【答案】（1）作法、证明见解答；
（2）①证明见解答；
②cos∠DCE的值是．
【解答】解：（1）如图1，作法：1．以点D为圆心，BC长为半径作弧，
2．以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E，
3．连接DE、AE，
△ADE就是所求的图形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵DE＝BC，AE＝AC，
∴△ADE≌△ABC（SSS），
∴△ADE就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形．
（2）①如图2，由旋转得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴＝，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
②如图2，延长AD交CE于点F，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AE＝AC，
∴AD⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
设CF＝m，CD＝AD＝x，
∵＝tan∠DAC＝tan∠BAC＝，
∴AF＝3CF＝3m，
∴DF＝3m﹣x，
∵CF2+DF2＝CD2，
∴m2+（3m﹣x）2＝x2，
∴解关于x的方程得x＝m，
∴CD＝m，
∴cos∠DCE＝＝＝，
∴cos∠DCE的值是．
九．解直角三角形（共1小题）
13．（2022 广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
【答案】（1）详见解答；
（2）点O到AC的距离为4，sin∠ACD＝．
【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB＝＝10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
即点O到AC的距离为3，
连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD＝＝＝2
∴sin∠ACD＝＝＝．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
14．（2022 广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
【答案】（1）BC的长为8m；
（2）旗杆AB的高度约为12.8m．
【解答】解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，
∴BC＝5×1.6＝8（m），
∴BC的长为8m；
（2）若选择条件①：
由题意得：
＝，
∴＝，
∴AB＝12.8，
∴旗杆AB的高度为12.8m；
若选择条件②：
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，
∴AF＝DF tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），
∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），
∴旗杆AB的高度约为12.8m．
一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
15．（2022 广州）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min 频数 频率
30≤t＜60 4 0.1
60≤t＜90 7 0.175
90≤t＜120 a 0.35
120≤t＜150 9 0.225
150≤t＜180 6 b
合计 n 1
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ 14 ，b＝ 0.15 ，n＝ 40 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可知，n＝4÷0.1＝40，
∴a＝40×0.35＝14，b＝6÷40＝0.15，
故答案为：14；0.15；40；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）480×＝180（名），
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数为180名．
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广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
一．数轴（共1小题）
1．（2021 广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
二．相反数（共1小题）
2．（2023 广州）﹣（﹣2023）＝（ ）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
三．实数（共1小题）
3．（2021 广州）下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣2
四．实数与数轴（共1小题）
4．（2022 广州）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．a＝b B．a＞b C．|a|＜|b| D．|a|＞|b|
五．规律型：图形的变化类（共1小题）
5．（2022 广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
六．同底数幂的除法（共1小题）
6．（2023 广州）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a2＝a4（a≠0）
C．a3 a5＝a8 D．（2a）﹣1＝（a≠0）
七．完全平方公式（共1小题）
7．（2021 广州）下列运算正确的是（ ）
A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+＝3
C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
八．二次根式有意义的条件（共1小题）
8．（2022 广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
九．二次根式的加减法（共1小题）
9．（2022 广州）下列运算正确的是（ ）
A．＝2 B．﹣＝a（a≠0）
C．+＝ D．a2 a3＝a5
一十．根的判别式（共1小题）
10．（2023 广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
一十一．解分式方程（共1小题）
11．（2021 广州）方程＝的解为（ ）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
一十二．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
12．（2023 广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
一十三．解一元一次不等式组（共1小题）
13．（2023 广州）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
一十四．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）
14．（2022 广州）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
一十五．反比例函数的性质（共1小题）
15．（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
一十六．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
16．（2021 广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
一十七．二次函数的性质（共2小题）
17．（2022 广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
18．（2021 广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
一十八．几何体的展开图（共1小题）
19．（2022 广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
一十九．正方形的性质（共1小题）
20．（2022 广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A． B． C．2﹣ D．
二十．三角形的内切圆与内心（共1小题）
21．（2023 广州）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（ ）
A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
二十一．弧长的计算（共1小题）
22．（2021 广州）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（ ）
A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
二十二．命题与定理（共1小题）
23．（2021 广州）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
二十三．旋转的性质（共1小题）
24．（2021 广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（ ）
A． B． C． D．
二十四．中心对称图形（共1小题）
25．（2022 广州）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
二十五．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
26．（2023 广州）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）nmile．
A． B． C．20 D．
二十六．由三视图判断几何体（共1小题）
27．（2023 广州）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
二十七．方差（共1小题）
28．（2023 广州）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12．下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A．众数为10 B．平均数为10 C．方差为2 D．中位数为9
二十八．列表法与树状图法（共2小题）
29．（2022 广州）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
30．（2021 广州）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
参考答案与试题解析
一．数轴（共1小题）
1．（2021 广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
【答案】A
【解答】解：∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，即a与b互为相反数．
又∵AB＝6，
∴b﹣a＝6．
∴2b＝6．
∴b＝3．
∴a＝﹣3，即点A表示的数为﹣3．
故选：A．
二．相反数（共1小题）
2．（2023 广州）﹣（﹣2023）＝（ ）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
【答案】B
【解答】解：﹣（﹣2023）＝2023，
故选：B．
三．实数（共1小题）
3．（2021 广州）下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣2
【答案】D
【解答】解：A、0是整数，但0既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；
B、﹣0.5是负分数，不是整数，故此选项不符合题意；
C、﹣是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意；
D、﹣2是负整数，故此选项符合题意．
故选：D．
四．实数与数轴（共1小题）
4．（2022 广州）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．a＝b B．a＞b C．|a|＜|b| D．|a|＞|b|
【答案】C
【解答】解：A．∵a＜0，b＞0，∴a≠b，故不符合题意；
B．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故不符合题意；
C．由数轴可知|a|＜|b|，故符合题意；
D．由C可知不符合题意．
故选：C．
五．规律型：图形的变化类（共1小题）
5．（2022 广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，
故选：B．
六．同底数幂的除法（共1小题）
6．（2023 广州）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a2＝a4（a≠0）
C．a3 a5＝a8 D．（2a）﹣1＝（a≠0）
【答案】C
【解答】解：A．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
B．a8÷a2＝a6（a≠0），故此选项不合题意；
C．a3 a5＝a8，故此选项符合题意；
D．（2a）﹣1＝（a≠0），故此选项不合题意．
故选：C．
七．完全平方公式（共1小题）
7．（2021 广州）下列运算正确的是（ ）
A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+＝3
C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【答案】C
【解答】解：A、|﹣（﹣2）|＝2，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、3与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、（a2b3）2＝a4b6，原计算正确，故本选项符合题意；
D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
八．二次根式有意义的条件（共1小题）
8．（2022 广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【答案】B
【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，
解得：x＞﹣1．
故选：B．
九．二次根式的加减法（共1小题）
9．（2022 广州）下列运算正确的是（ ）
A．＝2 B．﹣＝a（a≠0）
C．+＝ D．a2 a3＝a5
【答案】D
【解答】解：A．＝﹣2，故此选项不合题意；
B．﹣＝1，故此选项不合题意；
C．+＝2，故此选项不合题意；
D．a2 a3＝a5，故此选项符合题意；
故选：D．
一十．根的判别式（共1小题）
10．（2023 广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
【答案】A
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，
∴判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，
整理得：﹣8k+8≥0，
∴k≤1，
∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，
∴
＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）
＝﹣1．
故选：A．
一十一．解分式方程（共1小题）
11．（2021 广州）方程＝的解为（ ）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
【答案】D
【解答】解：去分母，得x＝2x﹣6，
∴x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
故选：D．
一十二．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
12．（2023 广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，且动车提速后的平均速度为xkm/h，
∴动车提速前的平均速度为（x﹣60）km/h．
根据题意得：＝．
故选：B．
一十三．解一元一次不等式组（共1小题）
13．（2023 广州）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
一十四．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）
14．（2022 广州）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
【答案】D
【解答】解：∵点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，
∴﹣5＝3k，
解得：k＝﹣，
故选：D．
一十五．反比例函数的性质（共1小题）
15．（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：∵正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），点（1，﹣1）位于第四象限，
∴正比例函数y1＝ax的图象经过第二、四象限，
∴a＜0；
∵反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，
∴b＞0；
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
一十六．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
16．（2021 广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
【答案】A
【解答】解：如图，作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
∵∠CEO＝∠ODA，
∴△COE∽△OAD，
∴＝（）2，，
∵S△COE＝×|﹣4|＝2，S△AOD＝＝，
∴＝（）2，
∴＝2，
∴＝，
∴OE＝2AD，CE＝2OD，
设A（m，）（m＞0），
∴C（﹣，2m），
∴OE＝0﹣（﹣）＝，
∵点B的横坐标为﹣，
∴m﹣（﹣）＝，
整理得2m2+7m﹣4＝0，
∴m1＝，m2＝﹣4（不符合题意，舍去），
经检验，m＝是方程的解，
∴A（，2），
故选：A．
一十七．二次函数的性质（共2小题）
17．（2022 广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解答】解：∵图象开口向上，
∴a＞0，故A不正确；
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，故B不正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
故C正确，D不正确；
故选：C．
18．（2021 广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
【答案】A
【解答】解：如图
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴x＝＝1，
∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），
∴当x＝2时，y的值为﹣5．
故选：A．
一十八．几何体的展开图（共1小题）
19．（2022 广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
【答案】A
【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，
∴判断这个几何体是圆锥，
故选：A．
一十九．正方形的性质（共1小题）
20．（2022 广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A． B． C．2﹣ D．
【答案】D
【解答】解：连接EF，如图：
∵正方形ABCD的面积为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝，
∵CE＝1，
∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠ABE＝30°，
在Rt△ABF中，AF＝＝1，
∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，
∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，
∵M，N分别是BE，BF的中点，
∴MN是△BEF的中位线，
∴MN＝EF＝．
故选：D．
二十．三角形的内切圆与内心（共1小题）
21．（2023 广州）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（ ）
A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
【答案】D
【解答】解：如图，连接IF，IE．
∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，
∴∠EIF＝180°﹣α，
∴∠EDF＝∠EIF＝90°﹣α．
故选：D．
二十一．弧长的计算（共1小题）
22．（2021 广州）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（ ）
A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
【答案】B
【解答】解：由题意得：CA和CB分别与⊙O相切于点A和点B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴＝16π（cm），
故选：B．
二十二．命题与定理（共1小题）
23．（2021 广州）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
【答案】B
【解答】解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，
真命题为（1）（4），
故选：B．
二十三．旋转的性质（共1小题）
24．（2021 广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴BC'＝4，
∴B'B＝＝＝4，
∴sin∠BB′C′＝＝＝，
故选：C．
二十四．中心对称图形（共1小题）
25．（2022 广州）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
二十五．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
26．（2023 广州）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）nmile．
A． B． C．20 D．
【答案】D
【解答】解：连接AC，
由题意得：AC⊥CB，
在Rt△ACB中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝10海里，
∴AC＝BC tan60°＝10（海里），
∴此时渔船与小岛A的距离为10海里，
故选：D．
二十六．由三视图判断几何体（共1小题）
27．（2023 广州）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合．
故选：D．
二十七．方差（共1小题）
28．（2023 广州）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12．下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A．众数为10 B．平均数为10 C．方差为2 D．中位数为9
【答案】A
【解答】解：在10，11，9，10，12中，10出现的次数最多，故众数为10；
把数据10，11，9，10，12从小到大排列，排在中间的数是10，故中位数是10；
数据10，11，9，10，12的平均数为＝10.4，
方差为：[2×（10﹣10.2）2+（11﹣10.2）2+（9﹣10.2）2+（12﹣10.2）2]＝1.08，
所以这组数据描述正确的是众数为10．
故选：A．
二十八．列表法与树状图法（共2小题）
29．（2022 广州）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，
∴甲被抽中的概率为＝，
故选：A．
30．（2021 广州）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，
∴恰好抽到2名女学生的概率为＝，
故选：B．
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广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．分式的定义（共1小题）
1．（2023 广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．
（1）因式分解A；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
二．分式的化简求值（共1小题）
2．（2021 广州）已知A＝（﹣） ．
（1）化简A；
（2）若m+n﹣2＝0，求A的值．
三．解二元一次方程组（共1小题）
3．（2021 广州）解方程组．
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
4．（2023 广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
五．根的判别式（共1小题）
5．（2022 广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
六．解一元一次不等式（共1小题）
6．（2022 广州）解不等式：3x﹣2＜4．
七．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2021 广州）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
八．反比例函数的应用（共1小题）
8．（2022 广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
九．全等三角形的判定（共1小题）
9．（2022 广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．
一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2021 广州）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
一十一．众数（共1小题）
11．（2021 广州）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 a 6 b 2
（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 ，中位数为 ；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2023 广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的定义（共1小题）
1．（2023 广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．
（1）因式分解A；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；
（2）..
【解答】解：（1）2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2）；
（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），
＝
＝．
二．分式的化简求值（共1小题）
2．（2021 广州）已知A＝（﹣） ．
（1）化简A；
（2）若m+n﹣2＝0，求A的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）A＝（﹣）
＝
＝
＝（m+n）
＝m+n；
（2）∵m+n﹣2＝0，
∴m+n＝2，
当m+n＝2时，A＝m+n＝（m+n）＝×2＝6．
三．解二元一次方程组（共1小题）
3．（2021 广州）解方程组．
【答案】．
【解答】解：，
将①代入②得，x+（x﹣4）＝6，
∴x＝5，
将x＝5代入①得，y＝1，
∴方程组的解为．
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
4．（2023 广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x1＝1，x2＝5．
五．根的判别式（共1小题）
5．（2022 广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
【答案】（1）6a2+6ab；
（2）6．
【解答】解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2
＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2
＝6a2+6ab；
（2）∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，
∴a2+ab＝1，
∴T＝6×1＝6．
六．解一元一次不等式（共1小题）
6．（2022 广州）解不等式：3x﹣2＜4．
【答案】x＜2．
【解答】解：移项得：3x＜4+2，
合并同类项得：3x＜6，
系数化为1得：x＜2．
七．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2021 广州）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，
依题意得：31+2x+x＝100，
解得：x＝23．
答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．
（2）设李某的年工资收入增长率为m，
依题意得：9.6（1+m）≥12.48，
解得：m≥0.3＝30%．
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
八．反比例函数的应用（共1小题）
8．（2022 广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】（1）10000．
（2）400≤S≤625．
【解答】解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S＝，把点（20，500）代入解析式得500＝，
∴V＝10000．
（2）由（1）得S＝，
∵S随d的增大而减小，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625，
九．全等三角形的判定（共1小题）
9．（2022 广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2021 广州）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
【答案】证明过程详见解答过程．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AE＝DF．
一十一．众数（共1小题）
11．（2021 广州）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 a 6 b 2
（1）表格中的a＝ 4 ，b＝ 5 ；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 4 ，中位数为 4 ；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5，
故答案为：4，5；
（2）该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，
∵4出现的最多，有6次，
∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数＝4，
故答案为：4，4；
（3）300×＝90（人）．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2023 广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1）；
（2）公平，理由见解答．
【解答】解：（1）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴P（乙选中球拍C）＝；
（2）公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴P（甲先发球）＝，
P（乙先发球）＝，
∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），
∴这个约定公平．
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