第02讲 定义与命题
知识点 命题、定理、证明
【题型1 命题的定义】
【典例1】
（2022秋 市北区校级期末）
1．下列语句属于命题的是（ ）
A．你今天打卡了吗？ B．请戴好口罩！
C．画出两条相等的线段 D．同位角相等
【变式1】
（2022秋 平昌县期末）
2．下列句子是命题的是（ ）
A．画 B．小于直角的角是锐角吗？
C．连结 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
【题型2 真假命题的判断】
【典例2】
（2023春 鄂州期中）
3．下列命题：①同位角相等；②负数没有立方根；③两个无理数的和一定是无理数；④a，b，c是同一平面内的三条直线，若，，则；⑤a，b，c是同一平面内的三条直线，若，，则，其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-1】
（2023春 兴宁区校级期中）
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．和为的两个角互为邻补角 D．邻补角互补
【变式2-2】
（2023春 东莞市校级期中）
5．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等；
②垂线段最短；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点；
⑤若，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-3】
（2023春 彭水县期中）
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
【变式2-4】
（2023春 朝阳区校级期中）
7．①大小相等的两个角互为对顶角；②两点之间，线段最短；③两角之和为，则这两个角互为邻补角；④点到直线的距离是点到这条直线的垂线段；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑦图形平移的方向一定是水平的；⑧内错角相等；其中是真命题的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【题型3 举反例】
【典例3】
（2023 江北区一模）
8．能说明命题“对于任意实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】
（2023春 江宁区校级月考）
9．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”属于假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式3-2】
（2023春 建邺区校级期中）
10．为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】
（2023 义乌市校级开学）
11．下列选项中，能说明命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 命题论证过程】
【典例4】
（2023春 九龙坡区校级月考）
12．（1）如图，，，求证：；
（2）若把（1）中的“”与结论“”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由写出过程．
【变式4】
（2022秋 惠济区校级期末）
13．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，有下面四个选项：①；②；③；④．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．
条件为： （填序号）．
结论为： （填序号）．
（2022 上海）
14．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
（2022 盘锦）
15．下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是
（2022 梧州）
16．下列命题中，假命题是（ ）
A．的绝对值是 B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形 D．如果直线，那么直线
（2021 浙江）
17．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
（2023 九龙坡区模拟）
18．下列命题中，错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．三个角是直角的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是菱形
（2023 曹妃甸区模拟）
19．能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
（2022 无锡）
20．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
（2021 无锡）
21．下列命题中，正确命题的个数为 ．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
（2022 广安）
22．如图，点D是△ABC外一点，连接BD、 AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC= BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知： ，
求证：
（2022秋 武义县期末）
23．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．作角A的平分线 D．内错角相等
（2022秋 涟源市期末）
24．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是（ ）
A．平行 B．两条直线
C．同一条直线 D．两条直线平行于同一条直线
（2023春 牧野区校级期中）
25．下列命题是真命题的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零、负无理数
B．内错角相等
C．如果两条直线都垂直与同一条直线，那么这两条直线平行
D．7是49的平方根
（2023春 西城区校级期中）
26．下列命题是假命题的是（ ）
A．如果，，那么
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等
C．垂直于同一直线的两直线平行
D．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除
（2023春 思明区校级期中）
27．下列命题都是真命题，其中逆命题也正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（2023春 广州期中）
28．下列命题为真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．如果 ，那么
C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
（2023春 宁波月考）
29．下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．， B．， C．， D．，
（2023春 渝中区校级期中）
30．下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．的平方根是3
B．的立方根是
C．的算术平方根是3
D．立方根等于本身的数只有0，1
31．下列命题的逆命题一定成立的有（ ）
A．对顶角相等 B．若，则
C．若，则 D．同位角相等，两直线平行；
（2022秋 金安区校级期末）
32．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是( )
A．， B．，
C． D．，
（2023春 雄县月考）
33．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例．
(1)互为相反数的两个数的和为零；
(2)同旁内角互补；
(3)等角的余角相等．
参考答案：
1．D
【分析】根据命题的定义（判断一件事情的语句，叫做命题），逐项判断即可求解．
【详解】解：A． 你今天打卡了吗？没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意；
B． 请戴好口罩！没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意；
C． 画出两条相等的线段，没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意；
D． 同位角相等，作出判断，故该选项是命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
2．D
【分析】一般地，判断某一件事情的句子叫做命题；即对事件作出判断，不论正确与否，且是一句陈述句．
【详解】解：A、是作图语句，不是命题，故A不符合题意；
B、是疑问句，而命题是一个陈述句，故B不是命题，故B不符合题意；
C、是作图语句，不是命题，故C不符合题意；
D、是命题，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题的识别，表示判断的语句叫做命题，命题通常由条件（题设）和结论（题断）两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知的事项推断出的事项．
3．A
【分析】判断每个命题是否正确，再根据真假命题的定义逐一判断即可．
【详解】①同位角不一定相等，所以结论错误，是假命题；②负数有立方根，如的立方根是，所以结论错误，是假命题；③两个无理数的不一定是无理数，如与的和是为有理数，所以结论错误，是假命题；④结论正确，是真命题；⑤a，b，c是同一平面内的三条直线，若，，则，结论错误，是假命题．
故选：A．
【点睛】本题考查了真假命题的定义，理解定义是解题的关键．
4．D
【分析】根据对顶角，平行直线的性质，邻补角的定义，分别判断即可得解．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
C、和为的两个角不一定是互为邻补角，故原命题是假命题，不符合题意；
D、邻补角互补，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题的知识，解题的关键是了解平行直线的性质，对顶角及邻补角的定义．
5．B
【分析】根据平行线的定义，平行公理和相交线对各小题分析判断利用排除法求解．
【详解】解：①∵同位角不一定是两平行直线被截得到，
∴同位角相等错误，故本小题错误；
②垂线段最短，故本小题正确；
③应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误；
④三条直线两两相交，总有一个或三个交点，故本小题错误；
⑤若，，则，正确．
综上所述，说法正确的有②⑤共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题与定理，涉及到平行公理，相交线与平行线，同位角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
6．C
【分析】根据平行线的性质对A、B进行判断；根据平行线的判定方法对C、D进行判断．
【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，选项为真命题，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等，选项为真命题，不符合题意；
C、同旁内角互补，两直线平行，选项为假命题，符合题意；
D、同位角相等，两直线平行，选项为真命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
7．B
【分析】根据对顶角，线段的性质，邻补角，点到直线的距离，平行公理，垂线的性质，平移，以及平行线的性质分别判断即可．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故为假命题；
②两点之间，线段最短，故为真命题；
③两角之和为，则这两个角互为补角，故为假命题；
④点到直线的距离是点到这条直线的垂线段的长度，故为假命题；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题；
⑥同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故为假命题；
⑦图形平移的方向不一定是水平的，有可能是竖直的以及其他方向的，故为假命题；
⑧两直线平行，内错角相等，故为假命题；
∴真命题有1个，
故选B．
【点睛】本题考查了命题与定理，涉及对顶角，线段的性质，邻补角，点到直线的距离，平行公理，垂线的性质，平移，以及平行线的性质，这些都是几何部分的基础知识，熟练掌握方可准确判断．
8．C
【分析】根据题意，只要举例说明0的平方等于0即可．
【详解】解：∵，
∴当时，该命题是假命题，
故选：C．
【点睛】本题考查了举反例说明命题是假命题掌握以上知识是解题的关键．
9．C
【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】∵当a＝-1，b＝ 2时，（ 2）2＞（ 1）2，但是 2＜-1，
∴，是假命题的反例．
故选：C．
【点睛】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
10．C
【分析】根据所举反例应满足：，，逐一进行判断即可．
【详解】解：A．，故选项错误；
B．，故选项错误；
C．，可以推出原命题是假命题，故选项正确；
D．，故选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握举反例时，应满足条件不变，结论相反，是解题的关键．
11．C
【分析】说明是假命题只要举出两个锐角的和不是锐角即可．
【详解】解：A.，则，不能说明；
B.，则不是锐角，不能说明；
C. ，则，和为直角，可以说明；
D.，则不是锐角，不能说明；
故选：C．
【点睛】本题考查说明一个命题是假命题．比较简单，只需要条件符合，结论不符即可．
12．（1）
（2）真命题
【详解】（1）证明：
又
．
（2）真命题，理由如下：
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，真命题的定义，关键找准判定两直线平行的条件和两直线平行的性质运用．
13．①②④；③，证明见解析
【分析】条件为：①②④，结论为：③；只需要证明即可．
【详解】解：条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一）
已知：如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．
证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
（SAS），
．
故答案为：①②④；③
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定的条件和性质是解答本题的基础．
14．A
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
15．C
【分析】由平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；
B、负数的立方根是负数；故B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D、五边形的外角和是，故D正确；
故选：C
【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及考查了平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
16．A
【分析】根据绝对值的意义，对顶角的性质，平行四边形的性质，平行线的判定逐一判断即可．
【详解】解：A． 的绝对值是2，故原命题是假命题，符合题意；
B．对顶角相等，故原命题是真命题，不符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，故原命题是真命题，不符合题意；
D． 如果直线，那么直线，故原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
17．C
【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．
【详解】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，是无理数，不符合题意；
C、，是有理数，符合题意；
D、，是无理数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键．
18．B
【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理进行判断即可；
【详解】解：A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，故不符合题意；
B.两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形，错误，故符合题意；
C.三个角是直角的四边形是矩形，正确，故不符合题意；
D.四边相等的四边形是菱形，正确，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定，掌握相关定理是正确解题的关键．
19．A
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．
【详解】解：能说明命题“若，则”是假命题的一个反例是：
，，，但，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
20．如果，那么
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
21．1
【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断．
【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：1．
【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键．
22．BC=AD，∠ABC=∠BAD；AC=BD；证明见详解
【分析】构造SAS，利用全等三角形的判定与性质即可求解．
【详解】已知：BC=AD，∠ABC=∠BAD，
求证：AC=BD．
证明：在△ABC和△BAD中，
∵，
∴，
∴，
即命题得证．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
23．C
【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断．
【详解】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题．
故选C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
24．D
【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．
【详解】解：“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是“两条直线平行于同一条直线”，
故选D．
【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
25．D
【分析】根据无理数的概念，内错角的性质，平行线的判定、平方根的定义逐一进行判断即可得到答案
【详解】解：A、无理数指无限不循环小数，原命题是假命题，不符合题意，选项错误；
B、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意，选项错误；
C、在同一平面内，如果两条直线都垂直与同一条直线，那么这两条直线平行，原命题是假命题，不符合题意，选项错误；
D、7是49的平方根，原命题是真命题，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，涉及了无理数的概念，内错角的性质，平行线的判定、平方根的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键．
26．C
【分析】利用等式的性质，平行线的判定和性质等知识分别判断后即可得出结论．
【详解】A、如果，，那么，是真命题，故此选项不符合题意；
B、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两直线平行，所以同位角必相等，是真命题，故此选项不符合题意；
C、垂直于同一直线的两直线若不在同一平面内，则不一定平行，是假命题，故此选项符合题意；
D、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，是真命题，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解真命题和假命题，掌握平行线的判定和性质，属于基础题．
27．D
【分析】先写出各选项的逆命题，然后判断真假即可求解．
【详解】解：A、若，则的逆命题：是若，则，当a、b均为正数时，此逆命题是假命题，故此选项不符合题意；
B、若，则的逆命题是：若，则，当a、b均为负数时，逆命题是假命题，故此选项不符合题意；
C、若，则的逆命题是：若，则，当a、b互为相反数时，逆命题是假命题，故此选项不符合题意；
D、若，则的逆命题是：若，则，逆命题是真命题，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与逆命题的真假判断，涉及等式的性质和不等式的性质，会写出每个命题的逆命题并正确判断是解答的关键．
28．C
【分析】根据平方根的概念、平行线的判定和性质、平行公理逐项判断即可．
【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、如果，那么或，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项说法是真命题，符合题意；
D、垂直于同一直线的两条直线互相平行，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
29．C
【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】解：∵当，时，，但是，
∴，但是，
∴，是假命题的反例．
其他选项不能说明；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．
30．B
【分析】()的平方根为，算术平方根为，的立方根为，据此进行逐一判断即可．
【详解】解：A.的平方根是，原命题是假命题，不符合题意；
B.的立方根是，是真命题，符合题意；
C.的算术平方根是，原命题是假命题，不符合题意；
D.立方根等于本身的数有0，，原命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的求法，掌握求法是解题的关键．
31．D
【分析】根据对顶角的性质，不等式的性质，绝对值的意义和平行线的判定方法求解即可．
【详解】解：A、对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，
∵相等的角不一定是对顶角，
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
B、若，则的逆命题为若，则，
若，则，a不一定大于b，
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
C、若，则的逆命题为若，则
∵若，则或
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
D、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，
逆命题成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了对顶角的性质，不等式的性质，绝对值的意义和平行线的判定方法，逆命题的概念等知识解题的关键是熟练掌握以上知识点．
32．C
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【详解】解：A、满足条件，也满足结论，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了举反例判断假命题，理解题意是解题的关键．
33．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】分析题意，先找出各个命题的条件和结论，再根据如果+条件，那么+结论，即可进行改写，再判断真假．
【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题；
（2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题，
反例：如图，和是同旁内角，
但两直线不平行，故和不互补；
（3）如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
