2023-2024学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列实数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2. 下列调查中，适宜采用普查的是( )
A. 了解全国中学生视力和用眼卫生情况
B. 调查某河流的水质情况
C. 了解某电视台年春节联欢晚会的收视率
D. 为保证“神舟十六号”载人飞船成功发射，对其零部件进行检查
3. 如图，在平面直角坐标系中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是( )
A. B. C. D.
4. 一个不等式组中的两个不等式的解集如图，则这个不等式组的解集为( )
A. B. C. D.
5. 一个含的直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，的边上的高是( )
A. 线段
B. 线段
C. 线段
D. 线段
7. 九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若人坐一辆车，则人需要步行，若“”问：人与车各多少？小明同学设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“”表示的缺失条件应补为( )
A. 三人坐一辆车，有一车少坐人 B. 三人坐一辆车，则人需要步行
C. 三人坐一辆车，则有两辆空车 D. 三人坐一辆车，则还缺两辆车
8. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是( )
A. B. C. D.
9. 图中表示被撕掉一块的正边形纸片，若，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
10. 若方程组的解是，则方程组的解是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 某样本容量是，分组后第组的频率是，那么第组的频数是______ ．
12. 一个边形的各内角都等于，则边数是______ ．
13. 已知二元一次方程，用含有的代数式表示，得 ______ ．
14. 若点在轴上，则 ______ ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是 ．
16. 如图，在中，，角平分线，交于点，于点下列结论：；；；其中正确结论是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算与求值：
计算：；
求的值：．
18. 本小题分
如图：已知，，．
求证：；
求的度数．
19. 本小题分
已知关于，的二元一次方程组．
当时，解这个方程组；
若，设，求的取值范围．
20. 本小题分
如图；小刚站在河边的点处，在河的对面小刚的正北方向的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后他左转向正南方向直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他从到走了步．
根据题意，画出示意图；
如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与处电线塔的距离，并说明理由．
21. 本小题分
教育部印发的义务教育课程方案和课程标准年版将劳动从原来的综合活动课中独立出来某中学为了解学生做家务的情况，随机抽取了若干学生进行了问卷调查，并将数据整理后，绘制成如下不完整的统计图：
调查问卷
在下列家务劳动中整理房间，打扫卫生；吃过饭后收拾餐桌，洗刷餐具；清洗自己的衣服，整理衣柜；给家里的花草浇水施肥或给小动物喂食洗澡，你每周能主动参与做______ 件事情．
A.零一二三四
根据图中信息，请完成下列问题：
本次抽样调查的总人数有______ 人；
选择选项的人数有______ 人，并补全条形统计图；
在扇形统计图中，若选项D所对应的圆心角为，则 ______ ；
若规定“每周能主动做三件家务劳动及以上者”为“优秀家务小能手”，已知该校共有学生人，请你估计该校能评为“优秀家务小能手”的学生有多少人？
22. 本小题分
某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进部甲型号手机和部乙型号手机，共需要资金元；若购进部甲型号手机和部乙型号手机，共需要资金元．
求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的手机共台，请问有几种进货方案？
售出一部甲种型号手机，利润率为，乙型号手机的售价为元为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使中所有方案获利相同，求的值．
23. 本小题分
在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为．
将线段平移得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为．
描述点平移到点的过程．
点的坐标为______ ．
在的条件下，若点的坐标为，连接，，求的面积．
若点在线段上，在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为面积的，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24. 本小题分
深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，
试解决下列问题：
填空： ______ ， ______ 为圆周率， ______ ；
如果，求实数的取值范围；
若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围；
求满足的所有非负实数的值．
25. 本小题分
情境学习：
小明在预习第十三章，涉及到一个知识点：“两个角相等的三角形是等腰三角形”，下面是两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，在中，求证：．
方法一证明：如图，作的高线．
方法二证明：如图，作的角平分线．
应用：
如图，在中，，，是边上的高，点是边上的一动点不与点，重合，连接交于点作且，连接．
如图，当是的角平分线时，求证：．
依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
所给的实数中，最小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：、了解全国中学生视力和用眼卫生情况，适合抽样调查，本选项不符合题意；
B、调查某河流的水质情况，适合抽样调查，本选项不符合题意；
C、了解某电视台年春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，本选项不符合题意；
D、为保证“神舟十六号”载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，适合采用普查，本选项符合题意，
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，即可得出答案．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义和价值不大，应选择抽样调查，对于精确度高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】
【解析】解：第四象限点的坐标特征是：横坐标大于零，纵坐标小于零．
故选：．
根据各象限点的坐标规律进行判断即可．
本题考查了各象限内点的坐标特征，若在第四象限，则，．
4.【答案】
【解析】解：由图知，这个不等式组的解集为，
故选：．
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于小于等于向左，大于大于等于向右”据此可得答案．
本题主要考查的是解一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，解题的关键是掌握用数轴表示不等式的解集时的“两定”．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，同位角相等解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
6.【答案】
【解析】解：于点，
的边上的高是线段，
故选：．
根据三角形高的定义即可得到答案．
本题主要考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：因为小明同学设有辆车，人数为，若人坐一辆车，则人需要步行，所以；又因为第二个方程右边是，说明车有两辆是空的，坐满人的车是辆，说明每辆车坐三人，所以．
故选：．
表示车的数量，表示人数，”若人坐一辆车，则人需要步行”，辆车全坐满了，还有个人走着，那么人的数量；第二个方程右边是，说明车有两辆是空的，坐满人车的是辆，说明每辆车坐三人，所以．
根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．本题要注意表示车的数量，表示人数，两次总人数是不变的．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查作图尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
如图，由作图可知，，根据证明≌．
【解答】
解：如图，由作图可知，，．
在和中，
，
≌，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：如图，延长，交于点，
，
，
正多边形的一个外角为，
．
故选：．
延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数．
本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由得
，
方程组的解是，
，
解得：；
故选：．
可得，从而可得，即可求解．
本题主要考查了方程的解的应用，解二元一次方程组，掌握用整体代换方法解方程组是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：依题意，第组的频数是，
故答案为：．
根据频数等于频率乘以样本的容量即可求解．
本题考查了求频数，熟练掌握频数与频率的关系是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：边形的各内角都等于，
每一个外角都等于，
边数．
故答案为：．
首先求出外角度数，再用除以外角度数可得答案．
此题主要考查了多边形的外角和定理，外角与相邻的内角的关系，关键是掌握各知识点的计算公式．
13.【答案】
【解析】解：方程，
解得：．
故答案为：．
将看作已知数求出即可．
本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
14.【答案】
【解析】解：点在轴上，
，
解得．
故答案为：．
直接利用轴上点的坐标特点得出的值．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握轴上点的坐标特点是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：观察图形可知，
点，，，的横坐标依次是、、、、、，纵坐标依次是、、、、、、、，四个一循环．，
故点坐标是．
故答案为：．
由图形得出点的横坐标依次是、、、、、，纵坐标依次是、、、、、、、，四个一循环，继而求得答案．
本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律．
16.【答案】
【解析】解：如图，，
，
、分别平分、，且、相交于点，
，，
，
，
故正确；
如图，在上截取，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌
，
，
故错误；
如图，作于点，于点，连接，
于点，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故正确；
如图，≌，≌，
，，
，，
，
故正确，
故答案为：．
由得，由、分别平分、得，，则，可知正确；在上截取，连接，证明≌，≌，则，可得错误；≌，≌可得，，可推得正确；作于点，于点，连接，先证明≌，再证明≌，则，，于是可推得，所以正确．
此题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理及其推论等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，再利用全等三角形的判定与性质解决问题．
17.【答案】解：原式
；
移项得，
，
系数化为得，
，
两边开平方得，
，
，．
【解析】根据绝对值性质，二次根式的性质，直接化简求解即可得到答案；
移项，直接开平方即可得到答案．
本题考查直接开平方法解一元二次方程，绝对值性质，二次根式的性质，解题的关键是选择适当的方法解方程．
18.【答案】证明：，，
，
，，
，
，
；
解：，
，，
，
，
．
【解析】利用平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行推理即可；
利用三角形内角和求得的度数，再利用平行线的性质即可推出的度数．
本题考查了平行线的判定和性质，以及三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，三角形的内角和定理．
19.【答案】解：时，方程组为 ，
得，，解得：，
将代入得，，
解得，
即方程组的解是；
，
得，，即
，
，
，则，
，
的取值范围是：．
【解析】时，方程组为 ，采用加减消元法即可求解；
利用得，，即：，再根据，进一步计算求解．
本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
20.【答案】解：如图所示：
由题意得，步，
在和中，
，
≌，
，
小刚走完走了步，一步大约米，
米，
米．
答：小刚在点处时他与处电线塔的距离为米．
【解析】根据题意画出图形即可；
根据可得出≌，由全等三角形的性质可得．
本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】几
【解析】解：本次抽样调查的总人数有人，
故答案为：；
选项的人数为人，
补全图形如下：
在扇形统计图中，若选项D所对应的圆心角为，则，
故答案为：；
人，
答：估计该校能评为“优秀家务小能手”的学生有人．
由选项人数及其所占百分比可得总人数；
总人数乘以选项对应百分不可求出其人数，据此可补全图形；
乘以选项人数所占比例即可；
总人数乘以样本中、选项人数和所占比例即可．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】解：设甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元；
设购进甲型号手机部，则购进乙型号手机部，
根据题意，得：，
解得：，
为整数，
取或或或，
则进货方案有如下四种：
方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部．
设总获利元，购进甲型号手机台，则：
；
当时，的值与的取值无关，故中的所有方案获利相同．
【解析】先设甲型号手机每台售价为元，乙型号手机的每部进价为元，根据题意列出方程组，解出及的值；
设购进甲型号手机部，则购进乙型号手机部，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，即可得出进货方案．
设总获利元，购进甲型号手机台，列出关系式，再求利润相同时，与的取值无关，据此解答即可．
此题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用，能根据题意列出不等式组及利润表达式是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
点到点的移动过程可以是：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度；
点的坐标为，
点的横坐标为：，纵坐标为：，
所以点的坐标为．
故答案为：；
如图：；
存在，理由如下：
如图，由平移的性质，，根据平行线间的距离处处相等，
面积面积，
三角形的面积为面积的，
三角形的面积为，
设，根据题意得到，
，
或，
或，
点的坐标为或．
根据点到点的移动过程判断即可；根据得到的平移方式解答即可；
根据分割法求三角形的面积即可；
先求得三角形的面积为，再设，根据题意得到求解即可．
本题主要考查了坐标与图形、点坐标的平移规律、解绝对值方程等知识点，灵活运用相关知识进行计算成为解答本题的关键．
24.【答案】
【解析】解：由题意可得：
，为圆周率，
，
；
故答案为：，，；
，
，
；
故答案为：；
解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有个得，，
故；
，为整数，
设，为整数，则，
，
，，
，
，，，
则，，．
利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出相关的值；利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的取值范围；
首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出的取值范围；
利用，为整数，设，为整数，则，得出关于的不等关系求出即可．
此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键．
25.【答案】证明：的高线，
，
在与中，
，
≌，
；
的角平分线，
，
在与中，
，
≌，
；
是的角平分线，
，
，，
，
，
，
；
依题意补全图形如图所示，
，理由如下，
证明：过点作交延长线于一点，
，，是边上的高，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
．
【解析】根据的高线得到，根据，得到≌，即可得到证明；
根据的角平分线得到，结合，得到≌，即可得到证明；
根据是的角平分线得到，结合，即可得到，结合，即可得到，即可得到证明；
过点作交延长线于一点，根据，易得，即可得到，结合，易得，即可得到≌，即可得到答案．
本题考查三角形全等的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线找到全等的条件．
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