沪科版数学九年级下册期末综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“夏至”“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
2．【2023·金华】某物体如图所示，其俯视图是( )
3．如图，△ADE是由△ABC旋转后得到的，下列说法正确的是 ( )
A．旋转中心不是点A
B．BC≠DE
C．旋转方向是顺时针
D．∠BAD＝∠CAE
4．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若
∠DCE＝82°，那么∠BOD的度数为( )
A．160° B．164° C．162° D．170°
5．跨学科研究表明，生物的遗传性状是由成对基因决定的，豌豆基因A，a，其中A为显性基因，a为隐性基因．成对基因AA决定的豌豆是纯种黄色，基因aa决定的豌豆是纯种绿色，两种豌豆杂交产生子一代Aa是黄色，则将子一代自交后豌豆显黄色的概率是( )
A. B. C. D.
6．如图，在⊙O中，P为弦AB上的一点，AP＝OA＝5，BP＝3，则OP的长度为( )
A．3 B. C. D．2
7.小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1.将一支箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为( )
A. B. C. D.
8. 如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB，CD相交于点G，H.图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB，BC，CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转的过程中，S和l的值分别是( )
A．2 ，4 B.，6
C．4， D．S和l的值不能确定
9．【易错题】在⊙O中，弦AB垂直平分半径OM，点C在⊙O上(不与点A，B重合)，则∠ACB的度数为( )
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
10．【2023·合肥模拟】如图，点P是⊙O外的一点，PA，PC是⊙O的切线，切点分别为A，C，AB是⊙O的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D.下列结论中不正确的是( )
A．PO∥BC
B．PD＝2OD
C．若∠ABC＝2∠CPO，则△PAC是等边三角形
D．若△PAC是等边三角形，则∠ABC＝2∠CPO
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若a2＝16，|b|＝5，则|a＋b|＝9的概率是________．
12.传统服饰日益受到关注，明清时期女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环，如图，其中的长度为π m，的长度为π m，圆心角∠AOD＝60°，则裙长AB为________．
13．如图，E为正方形ABCD内一点，AD＝5，AE＝4，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABE′，则边DE所扫过的区域(图中阴影部分)的面积为________．
14．【2023·合肥模拟】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P是矩形内部一动点，且满足∠BCP＝∠PDC.
(1)线段BP的最小值是________；
(2)当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．在一个不透明的口袋里，装有6个除颜色外其余都相同的小球，其中2个红球，2个白球，2个黑球．它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有1个．
(1)当n为何值时，这个事件为必然事件？
(2)当n为何值时，这个事件为不可能发生事件？
(3)当n为何值时，这个事件为随机事件？
16.如图所示，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形，杨阳用量角器量出了一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是 30 cm，50 cm，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．【2023·合肥包河区一模】如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC和过点A的直线l.
(1)画出△ABC关于直线l对称的△ADE，使点B与D，C与E为对称点；
(2)以点D为旋转中心，将△ADE顺时针旋转90°得到△GDF，使点E与F，A与G为对应点，画出△GDF，写出由△ABC通过一种变换得到△GDF的方法．
18．一个几何体的三视图如图所示．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)求这个几何体侧面展开图的圆心角；
(3)求这个几何体的全面积．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.酒令是中国民间风俗之一．白居易曾诗曰：“花时同醉破春愁，醉折花枝当酒筹．”饮酒行令，是中国人在饮酒时助兴的一种特有方式，不仅要以酒助兴，往往还伴之以赋诗填词、猜谜行拳之举，最早诞生于西周，完备于隋唐．“虎棒鸡虫令”是其中一种：“二人相对，以筷子相声，同时或喊虎、喊棒、喊鸡、喊虫，以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒兴鸡或虫兴虎同时出现(解释：若棒与鸡，虎与虫同时喊出)或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊”．依据上述规则，张三和李四同时随机地喊出其中一物，两人只喊一次．
(1)求张三喊出“虎”取胜的概率；
(2)用列表法或画树状图法，求李四取胜的概率．
20．【2023·岳阳】为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶．每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图(如图)．
(1)本次共调查了________名学生；
(2)请补全条形统计图；
(3)学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率．
六、(本题满分12分)
21．【2023·甘肃】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)当⊙O的半径为5，sin B＝时，求CE的长．
七、(本题满分12分)
22．新定义定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF是否为“直等补”四边形？为什么？
(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE，求BE的长．
八、(本题满分14分)
23．如图1，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD于点E，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点F.连接AC，BO.
(1)求证：∠CAE＝∠ADC；
(2)若DE＝2OE，求的值；
(3)如图2，若BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点，若⊙O的半径为r.求图中阴影部分的面积(结果用含r的代数式表示)．
答案
一、1．D 【点拨】选项D能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕其旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
2．B
3．D 【点拨】∵△ADE是由△ABC旋转后得到的，∴旋转中心为点A，BC＝DE，旋转方向可以是顺时针，也可以是逆时针，∠BAD＝∠CAE.故选D.
4．B 【点拨】∵∠DCE＝82°，∴∠BCD＝180°－∠DCE＝98°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠BCD＝180°，
∴∠A＝82°，∴∠BOD＝2∠A＝164°.
5．C 【点拨】两种豌豆杂交产生子一代Aa是黄色，若将子一代自交后，则有AA，Aa，aA，aa四种情况，其中豌豆显黄色的有3种情况，故将子一代自交后豌豆显黄色的概率是.
6．B 【点拨】过O点作OG⊥AB于点G，
∴AG＝BG＝AB＝(AP＋BP)＝×(5＋3)＝4，
∴OG＝＝＝3，PG＝AP－AG＝5－4＝1，
∴OP＝＝＝．
7．B 【点拨】设圆的直径为R，则正方形的对角线长为，∴圆的面积为π×＝，正方形的面积为×＝，
∴箭穿过正方形孔的概率为＝.
8．A 【点拨】如图，连接OA，OC，OB，易知∠HOG＝
∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，∴∠HOC＝∠GOA.∵OC＝OA，
∴△HOC≌△GOA(ASA)，∴AG＝CH，∴S＝S四边形OABC＝S△BOC＋S△OAB＝2eq \r(3)，l＝GB＋BC＋CH＝AG＋BG＋BC＝4.
9．C 【点拨】如图，连接OA，OB，AM，当点C在AB所对的优弧上时，∵AB垂直平分OM，∴OA＝MA.∵OA＝OM，
∴△OAM是等边三角形，∴∠AOM＝60°，同理∠BOM＝60°，
∴∠AOB＝∠AOM＋∠BOM＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°；当点C在AB所对的劣弧上时，由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，此时 ∠ACB＝180°－60°＝120°，∴∠ACB的度数是60°或120°.
【点易错】注意分类讨论点C的位置，点C在优弧或者劣弧上，所对的圆周角不同．
10．B 【点拨】A.连接OC，∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA＝PC.又∵OA＝OC，∴OP是AC的垂直平分线，
∴OP⊥AC，∴∠ADO＝90°.∵BA是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADO，∴OP∥BC，故A选项正确，不符合题意；C.∵PA，PC为⊙O的切线 ，
∴PA＝PC，PO平分∠APC，∴∠APC＝2∠CPO.
∵∠ABC＝2∠CPO，∴∠APC＝∠ABC.
易知∠ABC＋∠BAC＝90°，∠PAC＋∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠PAC，∴∠PAC＝∠APC，∴PC＝AC.
又∵PA＝PC，∴PA＝PC＝AC，∴△PAC是等边三角形，故C选项正确，不符合题意；D.∵△PAC是等边三角形，
∴AP＝PC＝AC，∴∠APC＝∠PAC，易证得∠ABC＝∠PAC，∠APC＝2∠CPO，∴∠ABC＝∠APC＝2∠CPO.故D选项正确，不符合题意．故选B.
二、11．
12．0.8 m 【点拨】由题意知，的长度＝＝π m，的长度＝＝π m，解得OA＝1 m，OB＝ m，
∴AB＝OB－OA＝0.8 m.
13．π 【点拨】S阴影＝S扇形DAB＋S△ABE′－(S△ADE＋S扇形EAE′)＝
S扇形DAB－S扇形EAE′＝－＝π.
【点方法】注意不规则图形面积的求法．一般考查对割补法，旋转的性质，以及扇形面积公式的综合应用．
14．(1)2 (2)3
【点拨】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCP＋∠DCP＝90°.∵∠BCP＝∠PDC，∴∠PDC＋∠PCD＝90°，
∴∠CPD＝90°.以CD为直径作⊙O，如图，连接OB，交⊙O于点P，此时PB长最小．∵OB2＝BC2＋CO2＝42＋32，
∴OB＝5，∴PB＝OB－OP＝5－3＝2.
(2)如图，作OF∥BC交DE于点F，易得△DOF∽△DCE，∴＝＝，∴OF＝CE.∵OF∥BC，∴△PEB∽△PFO，∴＝，∴＝，∴CE＝3.
三、15．【解】(1)当n＝5或6时，这个事件为必然事件．
(2)当n＝1或2时，这个事件为不可能发生事件．
(3)当n＝3或4时，这个事件为随机事件．
16．【解】如图，由题意知AB＝30 cm，BC＝50 cm，AB⊥AC，
在Rt△ABC中，AC＝＝40 cm，
所以该平行四边形的面积＝30×40＝1 200(cm2)．
四、17．【解】(1)如图，△ADE即为所求．
(2)如图，△GDF即为所求．
将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度可得到△GDF.(答案不唯一)
18．【解】(1)由三视图可知，该几何体为圆锥．
(2)由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、母线长为6，
则4π＝， 解得 n＝120，
故这个几何体侧面展开图的圆心角为120°.
(3)该几何体的全面积＝S侧＋S底＝π×2×6＋π×22＝16π.
五、19．【解】(1)张三喊出“虎”， 李四可能喊出“虎”“棒”“鸡” “虫”，共4种情况，其中喊出“鸡”，张三胜，
∴张三喊出“虎”取胜的概率为.
(2)分别用1，2，3，4表示虎，棒，鸡，虫，列表得：
李四张三 1 2 3 4
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
由表可知，共有16种等可能的结果，其中李四取胜的结果共有4种，∴李四取胜的概率为＝.
20．【解】(1)100 【点拨】25÷25%＝100(名)，
即本次共调查了100名学生．
(2)选择B社团的学生有100－40－25－15＝20(名)．
补全的条形统计图如图．
(3)画树状图如图．
由树状图可得，一共有12种等可能的结果，其中同时选中A和C两个社团的结果有2种，
∴同时选中A和C两个社团的概率为＝.
六、21．(1)【证明】∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.
∵CO平分∠BCD，∴∠OCB＝∠OCD.
∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC＝∠OCD.
∵CE⊥AD，∴∠ADC＋∠ECD＝90°，
∴∠OCD＋∠ECD＝90°，即CE⊥OC.
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
(2)【解】连接OD，则OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠OCD＝∠OCB＝∠B，∴∠ODC＝∠B，
∵CO＝CO，
∴△OCD≌△OCB，∴CD＝CB.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴AC＝AB·sin B＝2×5×＝6，
∴CB＝＝＝8，∴CD＝8.
∵∠ADC＝∠B，
∴CE＝CD·sin∠ADC＝CD·sin B＝8×＝.
七、22．【解】(1)四边形BEDF为“直等补”四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°.
∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，
∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠EBF＋∠D＝180°，
∴四边形BEDF为“直等补”四边形．
(2)过C作CF⊥BE于点F，如图，
则∠CFE＝90°，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，
∴∠ABC＝90°，∠ABC＋∠D＝180°，∴∠D＝90°.
∵BE⊥AD，∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝1.
∵∠ABE＋∠A＝∠CBE＋∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠CBF.
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴BE＝CF.
设BE＝CF＝x，则BF＝x－1，
∵CF2＋BF2＝BC2，∴x2＋(x－1)2＝52，
解得x＝4或x＝－3(舍)，∴BE＝4.
八、23．(1)【证明】∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，即∠CAE＋∠DAE＝90°.
又∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°，∴∠ADC＋∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ADC.
(2)【解】如图1，连接BD，
∵DE＝2OE，∴OD＝DE＋OE＝3OE.
设OE＝a，则DE＝2a，OB＝OD＝3a，
∴在Rt△OBE中，BE＝＝＝2a，
∴在Rt△DBE中，
BD＝＝eq \r((2eq \r(2)a)2＋(2a)2))INCLUDEPICTURE"KF5.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\0％\\初中\\24春 典中点 9 数学 HK安徽\\KF5.EPS" \* MERGEFORMATINET ＝2eq \r(3)a.
∵CD为⊙O的直径，且AB⊥CD，∴BE＝AE，
∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，
∴∠BDF＝∠DAB＋∠DBA＝2∠DAB.
又∵＝，∴∠DOB＝2∠DAB，∴∠DOB＝∠BDF.
∵∠OEB＝∠DFB＝90°，∴△BOE∽△BDF，
∴＝，即＝ eq \f(DF, 2a)，
解得DF＝eq \f(2,3)a，
∴＝eq \f(eq \f(2,3)a,2a)＝eq \f(,3)．
(3)【解】如图2，连接BD，
∵BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点，
∴OG⊥AC，∴∠OGC＝90°，∴∠OGC＝∠CAD，
∴BG∥AD，∴∠OBE＝∠DAE.
又∵BE＝AE，∠OEB＝∠DEA，
∴△OBE≌△DAE(ASA)，∴OB＝DA，OE＝DE.
∵DA＝DB，
∴OD＝OB＝DB，∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD＝60°.
∵⊙O的半径为r，∴OB＝r，OE＝DE＝OD＝r，
∴BE＝＝eq \f(,2)r，∴AB＝2BE＝eq \r(3)r.
∵＝，∴∠BAD＝∠BOD＝30°，
∴BF＝AB＝eq \f(,2)r，∴AF＝＝r.
∵△OBE≌△DAE，∴S△OBE＝S△DAE，
∴S阴影＝S△ABF－S△DAE－(S扇形BOD－S△OBE)
＝S△ABF－S扇形BOD
＝AF·BF－πr2
＝×r×eq \f(,2)r－πr2
＝eq \f(3,8)r2－πr2.
