2024新高考数学第一轮章节复习
专题七 数列
7.1 数列的概念及表示
基础篇
考点 数列的概念及表示
1.(2022山东潍坊调研,5)已知数列{an}中,a1=2,an=1-(n≥2),则a2 022= ( )
A. C.-1 D.2
答案 C
2.(2021广州模拟,6)数列{an}为,3,,8,,…,则此数列的通项公式可能是 ( )
A.an=
C.an=
答案 A
3.(2022福建泉州一中月考,6)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),若{an}是递增数列,则实数a的取值范围可以是 ( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(1,3) D.(3,6)
答案 B
4.(多选)(2022福建莆田二中模考,10)数列{an}中,设Tn=a1·a2…an.若Tn存在最大值,则an可以是 ( )
A.an=2n-6 B.an=(-1)n
C.an=2n-9 D.an=
答案 BD
5.(2022天津新华中学期末,14)在数列{an}中,an=(n+1),则数列{an}中的最大项的n= .
答案 6或7
6.(2022广州市铁一中学期末,14)已知数列{an}满足an=,{an}的前n项的和记为Sn,则= .
答案 3
7.(2023届广州阶段测试,17)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=3n,n∈N*},将A与B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}(若有相同元素,按重复方式计入排列)为1,3,3,5,7,9,9,11,….设数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若am=27,求m的值;
(2)求S50的值.
解析 (1)因为am=27,所以数列{an}的前m项中含有A中的元素为1,3,5,7,9,…,27,共有14项,含有B中的元素为3,9,27,共有3项,排列后为1,3,3,5,7,9,9,…,27,27,所以m=16或17.
(2)2×50-1=99,34=81<99,35=243>99,
因此数列{an}的前50项中含有B中的元素为3,9,27,81,共有4项,含有A中的元素为1,3,5,7,9,…,27,29,…,79,81,83,…,2×46-1=91,共有46项,
∴S50=+(3+9+27+81)=2 116+120=2 236.
综合篇
考法一 利用Sn与an的关系求通项公式
1.(2022重庆一中月考,5)已知数列{an}满足a1=1,前n项和为Sn,且Sn=2an(n≥2,n∈N*),则{an}(n≥2)的通项公式为an= ( )
A.2n-1 B.2n-2
C.2n+1-3 D.3-2n
答案 B
2.(2023届贵阳摸底,8)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+2=an+1(n∈N*),则a2+a4+…+a2 022= ( )
A.×(22 022-1) B.×(22 024-1)
C.
答案 A
3.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,17)记各项均为正数的数列{an}的前n项和是Sn,已知+an=2Sn,n为正整数.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=tan an·tan an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)由+an=2Sn得当n≥2时,+an-1=2Sn-1,两式相减得+an-an-1=2an,
即(an-an-1-1)(an+an-1)=0,因为数列各项均为正数,所以an=an-1+1(n≥2),即an-an-1=1(n≥2),
故{an}是公差为1的等差数列,又当n=1时,+a1=2a1,解得a1=1,所以an=n.
(2)tan 1=tan[(n+1)-n]=,
故bn=tan(n+1)tan n=-1,
则Tn=b1+b2+b3+…+bn=[tan(n+1)-tan n+tan n-tan(n-1)+…+tan 2-tan 1]-n=[tan(n+1)-tan 1]-n=-n-1.
(2022湖北大冶一中模拟,17)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-11,a2=-9,且Sn+1+
Sn-1=2Sn+2(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)由题意知(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2(n≥2),则an+1-an=2(n≥2),
又a2-a1=2,所以{an}是首项为-11,公差为2的等差数列,则an=a1+(n-1)d=2n-13.
(2)由题知bn=,
则Tn=+…+=.
5.(2022重庆八中入学测试)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)当n=1时,S1=2a1-1,解得a1=1.
当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,则Sn-Sn-1=an=2an-2an-1,即an=2an-1.所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n-1(n∈N*).
(2)bn=,∴Tn=1+,
∴,
两式相减得,∴Tn=6-(n∈N*).
考法二 利用递推关系求数列的通项公式
1.(2022江苏盐城期中,7)已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则a6的值为 ( )
A.220 B.224 C.21 024 D.24 096
答案 C
2.(2022长沙雅礼中学等十六校联考,5)已知数列{an}满足an-1=an+an-2(n≥3),设数列{an}的前n项和为Sn,若S2 020=2 019,S2 019=2 020,则S2 021= ( )
A.1 008 B.1 009 C.2 016 D.2 018
答案 B
3.(2022山东聊城期中,8)设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n-1an=,则数列{an}的前n项和Sn为 ( )
A.
C.
答案 C
4.(多选)(2023届石家庄二中开学考,11)已知数列{an}满足a2=3,an·an+1=3n(n∈N*),Sn为数列{an}的前n项和,则 ( )
A.{an}是等比数列
B.{a2n}是等比数列
C.S2 022=2(31 011-1)
D.{an}中存在不相等的三项构成等差数列
答案 BC
5.(2022江苏泰州中学检测)在数列{an}中,a1=3,(n∈N*),则an= ,若λan≥4n对所有n∈N*恒成立,则λ的取值范围是 .
答案
6.(2020课标Ⅰ文,16,5分)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1= .
答案 7
7.(2022湖南天壹名校联盟摸底考试)已知数列{an}满足anan+1=22n,a1=1.
(1)求a2n;
(2)求满足a1+a2+…+a2n<2 022的最大的正整数n的值.
解析 (1)因为anan+1=22n,a1=1,所以a1a2=22,a2=4,又an+1an+2=22n+2,所以=4,
所以{an}的奇数项是以1为首项,4为公比的等比数列,偶数项是以4为首项,4为公比的等比数列,所以an=所以a2n=22n.
(2)令S2n=a1+a2+…+a2n,所以S2n=,易知f(x)=在定义域上单调递增,且f(4)=425, f(5)=1 705, f(6)=6 825,因为a1+a2+…+a2n<2 022,所以n<6,又因为n为正整数,所以n的最大值为5.
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