2024新高考数学第一轮章节复习
专题四 导数及其应用
4.1 导数的概念及运算
基础篇
考点 导数的概念及运算
1.(多选)(2023届辽宁鞍山质量监测,9)设函数f(x)在x=2处的导数存在,则-f '(2)= ( )
A.
C.
答案 BC
2.(2023届长沙长郡中学月考,3)已知函数y=f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程是y=-2x+7,则f(3)-f '(3)= ( )
A.-2 B.2 C.-3 D.3
答案 D
3.(2022海南学业水平诊断一,5)已知函数f(x)=2f '(3)x-x2+ln x(f '(x)是f(x)的导函数),则f(1)= ( )
A.-
答案 D
4.(2020课标Ⅰ理,6,5分)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 ( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
答案 B
5.(多选)(2022湖北襄阳五中阶段考,9)下列各式正确的是 ( )
A. B.[ln(-x)]'=
C.(e2x)'=2e2x D.()'=-
答案 BC
6.(2022重庆巴蜀中学测试,5)若曲线y=的一条切线经过点(8,3),则此切线的斜率为 ( )
A.
答案 C
7.(2020课标Ⅲ文,15,5分)设函数f(x)=.若f '(1)=,则a= .
答案 1
8.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=ex·ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 .
答案 e
9.(2022江苏无锡期初,14)若经过点P(1,2)作曲线f(x)=x3-x+2的切线,则切线方程为 .
答案 y=2x或y=-
10.(2023届甘肃张掖诊断,15)设函数f(x)=x3+ax2+(a+2)x.若f(x)的图象关于原点(0,0)对称,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程为 .
答案 5x-y-2=0
综合篇
考法 利用导数的几何意义求曲线的切线方程及参数的方法
考向一 求切线的方程
1.(2018课标Ⅰ理,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
答案 D
2.(多选)(2023届沈阳四中月考,10)已知y=kx是曲线f(x)=xsin x的一条切线,则实数k的值可以为 ( )
A.0 B.1 C. D.-1
答案 ABD
3.(2022福建长汀一中月考,6)已知函数f(x)=x+.若曲线y=f(x)存在两条过点(2,0)的切线,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1)∪(8,+∞)
B.(-∞,-1)∪(8,+∞)
C.(-∞,0)∪(8,+∞)
D.(-∞,-8)∪(0,+∞)
答案 D
4.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
答案 D
5.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )
A.eb
6.(2023届福建泉州质量监测一,14)曲线f(x)=excos x在x=0处的切线方程是 .
答案 y=x+1
7.(2023届福建漳州质检,14)已知直线x+y+a=0是曲线xy-1=0的切线,则a= .
答案 ±2
8.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 , .
答案 y=x(不分先后)
9.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
答案 (-∞,-4)∪(0,+∞)
10.(2021全国甲理,13,5分)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为 .
答案 y=5x+2
11.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .
答案 (e,1)
12.(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1))和点B(x2, f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则的取值范围是 .
答案 (0,1)
13.(2023届山东潍坊五县联考,23)已知函数f(x)=x3+λx2-x(λ∈R)为奇函数.
(1)若f(x)≤m2+4m对x∈恒成立,求实数m的取值范围;
(2)过点A且与曲线y=f(x)相切的直线为l,l与x轴、y轴分别交于点B,C,O为坐标原点,求△BOC的面积.
解析 (1)因为f(x)=x3+λx2-x(λ∈R)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),即-x3+λx2+x,
解得λ=0,所以f(x)=x3-x,f '(x)=3x2-,令f '(x)=0,得x=-,f(x),f '(x)随x的变化情况如表.
x - 2
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值- ↗ 5
由表知,f(x)max=f(2)=5,由f(x)≤m2+4m对x∈恒成立,得m2+4m≥5,解得m≤-5或m≥1.
故m的取值范围是(-∞,-5]∪[1,+∞).
(2)因为f(1)=-,所以点A在曲线y=f(x)上,
当A为切点时,kl=f '(1)=,切线l的方程为y=x-2,所以B,C(0,-2),则S△BOC=;
当A不是切点时,设切点坐标为,
kl=f '(x0)=3,
整理得(2x0+1)=0,解得x0=-或x0=1(舍去),所以kl=f ',切线l的方程为y=-,所以B,C,则S△BOC=.
综上,△BOC的面积为.
考向二 两曲线的公切线问题
1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,11)若直线y=kx+b是曲线y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k= ( )
A.ln 2 B.-ln 2 C.2 D.-2
答案 C
2.(2022广州执信中学月考,6)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与抛物线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a的值为 ( )
A.0 B.0或8 C.8 D.1
答案 C
3.(2022山东滕州一中期中,8)已知f(x)=ex-1(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+1,则曲线f(x)与g(x)的公切线条数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
4.(2022武汉开学考,5)若函数f(x)=3x+-3(x>0)的图象与函数g(x)=txex的图象有公切线l,且直线l与直线y=-x+2互相垂直,则实数t= ( )
A. B.e2
C.或2或4
答案 D
5.(2022南京外国语学校模拟,6)若两曲线y=x2-1与y=aln x-1存在公切线,则正实数a的取值范围为 ( )
A.(0,2e] B.(0,e]
C.[2e,+∞) D.(e,2e]
答案 A
6.(2022海南琼海嘉积三中月考,15)若曲线f(x)=aln x(a∈R)与g(x)=在公共点处有共同的切线,则实数a的值为 .
答案
7.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.
(1)若x1=-1,求a;
(2)求a的取值范围.
解析 解法一:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)=-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2①.
因为曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以有且仅有一组解,即方程x2-(3-1)x+2+a=0有两个相等的实数根,
从而Δ=(3-1)2-4(2+a)=0 4a=9+1.
(1)若x1=-1,则4a=12,a=3.
(2)4a=9+1,
令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,
则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),
令h'(x)>0,得-
所以a≥-1.
解法二:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)=-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2①,
设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,+a),
又g'(x2)=2x2,则切线可表示为y-(+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-+a②,因为①②表示同一直线方程,所以
则(3-1)2-8=4a 4a=9+1.
下面同解法一.
易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同.
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