2024新高考数学第一轮章节复习
专题十二 数系的扩充与复数的引入
基础篇
考点一 复数的概念与几何意义
考向一 复数的概念
1.(2022辽宁大连一中期中,2)若复数z满足z(1+i)=2i,则z的虚部为 ( )
A.i B.-i C.1 D.-1
答案 C
2.(2020浙江,2,4分)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a= ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
答案 C
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,2)若复数z=3-4i,则的虚部为 ( )
A.
答案 D
4.(2023届湖北摸底联考,1)若复数z满足(1+i)z=|1+i|,则z的虚部为 ( )
A.-
答案 B
5.(2023届福建漳州质检,2)若复数z满足z+i=z·i(i为虚数单位),则|z|= ( )
A. D.2
答案 A
6.(2023届沈阳四中月考,2)已知i是虚数单位,若复数z=a+bi(a、b∈R)满足zi=,则 ( )
A.a2+b2=1 B.a+b=1
C.a+b=0 D.a2-b2=1
答案 C
7.(2022全国乙文,2,5分)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 ( )
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
答案 A
8.(2023届长沙雅礼实验中学入学考,2)若复数z=的实部与虚部相等,则实数a的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
答案 A
9.(2020课标Ⅰ文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=( )
A.0 B.1 C. D.2
答案 C
10.(2022北京,2,4分)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=( )
A.1 B.5 C.7 D.25
答案 B
11.(2020课标Ⅲ理,2,5分)复数的虚部是 ( )
A.-
答案 D
12.(多选)(2023届海南琼海嘉积中学月考,9)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是 ( )
A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1
B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
C.若=0,z1,z2∈C,则z1=z2=0
D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数
答案 BD
13.(多选)(2023届辽宁六校期初考试,9)已知复数z=,则下列说法正确的是 ( )
A.复数z在复平面内对应的点在第四象限
B.复数z的虚部为-4
C.复数z的共轭复数=2-4i
D.复数z的模|z|=2
答案 BD
14.(多选)(2023届广东佛山南海、三水摸底,9)下面是关于复数z=(i为虚数单位)的命题,其中真命题为 ( )
A.|z|=
B.z-z2=1+i
C.z的共轭复数为-1+i
D.z的虚部为1
答案 AD
15.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 .
答案 2
考向二 复数的几何意义
1.(2023届江苏扬州高邮学情调研,2)已知i为虚数单位,则复数z=在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
2.(2020北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z= ( )
A.1+2i B.-2+i
C.1-2i D.-2-i
答案 B
3.(2022福建漳州一模,2)已知z=|,则在复平面内z对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
4.(2019课标Ⅱ理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
5.(2022武汉部分重点中学联考,2)若复数z满足z=(1+i)(2-i),则z的共轭复数在复平面内对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
6.(2022江苏如皋中学月考,5)已知复数z满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z对应的点的轨迹为 ( )
A.直线 B.线段
C.圆 D.等腰三角形
答案 A
7.(2019课标Ⅰ理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则 ( )
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
答案 C
考点二 复数的运算
1.(2022全国甲文,3,5分)若z=1+i,则|iz+3|=( )
A.4
答案 D
2.(2022山东烟台、德州一模,2)若复数z满足(1+2i)z=4+3i,则= ( )
A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i
答案 C
3.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(+i)= ( )
A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i
答案 C
4.(2022新高考Ⅰ,2,5分)若i(1-z)=1,则z+= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 D
5.(2022新高考Ⅱ,2,5分)(2+2i)(1-2i)= ( )
A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i
答案 D
6.(2022全国甲理,1,5分)若z=-1+i,则= ( )
A.-1+i
C.-i
答案 C
7.(2020新高考Ⅰ,2,5分)= ( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
答案 D
8.(2020新高考Ⅱ,2,5分)(1+2i)(2+i)= ( )
A.-5i B.5i C.-5 D.5
答案 B
9.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4= ( )
A.-4 B.4 C.-4i D.4i
答案 A
10.(多选)(2022湖南师大附中二模,9)设复数z=-i,则下列命题中正确的是 ( )
A.|z|2=z·
B.z2=
C.z的虚部是i
D.若zn∈R,则正整数n的最小值是3
答案 ABD
11.(2019浙江,11,4分)复数z=(i为虚数单位),则|z|= .
答案
综合篇
考法 复数代数形式的四则运算的解题方法
1.(2023届山西长治质量检测,1)设复数z满足(1+i)z=i,则|z|= ( )
A.1 B.
答案 B
2.(2022河北省级联测第八次联考,2)已知复数z=2+i,则= ( )
A.1+i
C.i
答案 C
3.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z= ( )
A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i
答案 C
4.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z= ( )
A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i
答案 C
5.(2022山东青岛二中期末,2)已知=2-i,则= ( )
A.3-i B.1-3i C.4+2i D.4-2i
答案 A
6.(2023届河北沧州摸底,2)设复数z=1+i(i为虚数单位),则|z2-z|= ( )
A.0 B.
答案 D
7.(多选)(2023届河北衡水重点高中联考,9)若复数z满足z(+2i)=8+6i,则 ( )
A.z的实部为3
B.z的虚部为1
C.z
D.z在复平面上对应的点位于第一象限
答案 ABD
8.(2022湖北黄冈中学等二十一所重点中学联考三,13)定义z1,z2∈C,z1 z2=(|z1+z2|2-|z1-z2|2),z1 z2=z1 z2+i(z1 iz2).若z1=3+4i,z2=1+4i,则|z1 z2|= .
答案 35
专题综合检测
一、单项选择题
1.(2022 T8联考,2)已知z=-1+2i,则复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
2.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=,则|z|= ( )
A.2 B. D.1
答案 C
3.(2022湖北部分重点中学联考,1)若z=-1+i.设ω=z,则ω= ( )
A.2i B.2 C.2+2i D.2-2i
答案 B
4.(2022山东威海期中,3)设复数z满足|z-(1+i)|=1,则|z|的最大值为 ( )
A.+1 C.2 D.3
答案 B
5.(2022辽东南协作体期中,1)设复数z满足(1+i)z=3+i,则|z|= ( )
A.
答案 D
6.(2022辽宁部分高中期中,1)若z=5+12i,其中i为虚数单位,则= ( )
A.-1 B.1
C.i
答案 D
7.(2022广东江门陈经纶中学月考,2)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,当θ=π时,就有eiπ+1=0,根据上述背景知识,试判断表示的复数在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
8.(2017课标Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:
p1:若复数z满足∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;
p4:若复数z∈R,则∈R.
其中的真命题为 ( )
A.p1,p3 B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
答案 B
二、多项选择题
9.(2022山东潍坊二模,9)若复数z1=2+3i,z2=-1+i,其中i是虚数单位,则下列说法正确的是 ( )
A.∈R
B.
C.若z1+m(m∈R)是纯虚数,则m=-2
D.若z1,(O为坐标原点),则||=5
答案 BCD
10.(2021山东德州二模,9)已知复数z1=(i为虚数单位),下列说法正确的是 ( )
A.z1对应的点在第三象限
B.z1的虚部为-1
C.=4
D.满足|z|=|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上
答案 AB
三、填空题
11.(2020课标Ⅱ理,15,5分)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|= .
答案 2
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