【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第一章：特殊平行四边形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．如图，在菱形中，，若，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知菱形的周长为，对角线的长为2，则菱形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
3．在矩形中，，，动点P点A的距离，连接，M为的中点，连接，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
4．如图，把长方形沿对折，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
5．矩形.菱形.正方形都具有的性质是（ ）
A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的对角线相等 D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
7．如图，在中，，，，D为斜边上一点，以为边作平行四边形，当（ ），平行四边形为菱形．
A．2 B．3 C．4 D．
8．如图，在矩形中，，分别是，上的点，，分别是，的中点．，，则线段的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．5
9．下列命题中正确的有（ ）个
①直角三角形中两条边为3和4，则第三边长为5；
②一个角是直角的四边形是矩形；③平行四边形对角线相等；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
⑤顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是平行四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．在中，，，若点为的中点，则的度数为 ．
12．如图，菱形的对角线相交于点O，点E边的中点，连接．若，，则长为 ．
13．如图，矩形ABCD中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为 ．
14．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是 ．
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，已知经过点的直线将矩形分成的两部分面积比为时，则k的值为 ．
三.解答题：（共55分）
16．（8分）如图，矩形的对角线交于点O，垂直于点E，．
(1)求的长；
(2)若，连接，求的面积．
17．（5分）如图，在菱形中，点是边上一点，延长至点，使，连接.．
求证：．
18．（8分）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求：
(1)线段的长；
(2)线段的长．
19．（8分）已知：如图，在菱形中，点，，分别为，，的中点，连接，，，．
(1)求证：；
(2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
20．（8分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相较于点O，与相较于N，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
21．（9分）【感知】如图①，在中，点.分别是.的中点，连接，可以得到：，且．（不需要证明）
【探究】（1）如图②，在四边形中，点...分别为...的中点，判断四边形的形状，并加以证明．
【应用】（2）在（1）的条件下，连接.，则四边形满足什么条件时，四边形是菱形？你添加的条件是：______；（只添加一个条件）
（3）如图③，在四边形中，点...分别为...的中点，对角线.相交于点．若，，，求四边形的面积．
22．（9分）在边长为6的正方形中，E是上的一个动点（不与点B.C重合），连接．现将沿折叠，使点B落在点F处，连结并延长交于点H，交于点P．
(1)如图，求证：；
(2)如图，延长交的延长线于点Q．
①求证：；
②若，求出线段的长，
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第一章：特殊平行四边形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．如图，在菱形中，，若，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
解如图所示，设对角线，的交点为，．
∵四边形为菱形，
∴，，．
根据勾股定理，可得
．
即．
解得，(舍去)．
∴．
∴．
故选：B．
2．如图，已知菱形的周长为，对角线的长为2，则菱形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
解：∵四边形是菱形，周长为，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．在矩形中，，，动点P点A的距离，连接，M为的中点，连接，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
解如图1，连接，取的中点O，分别连接，，，只有时，取最大值，此时B，O，M三点在同一条直线上（如图2），
，，
，
∵M为的中点，
是的中位线，
，
是矩形，点O是的中点，
，
的最大值为，
故选：B．
4．如图，把长方形沿对折，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
解：∵把长方形沿对折，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
5．矩形.菱形.正方形都具有的性质是（ ）
A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
解：A，菱形.正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意；
B，正方形.矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意；
C，菱形.正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意；
D，矩形.菱形.正方形都满足对角线互相平分，符合题意；
故选D．
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的对角线相等 D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
解A.平行四边形是中心对称图形，为真命题，该选项不符合题意；
B.对角线互相垂直的四边形是菱形，为假命题，该选项符合题意；
C.矩形的对角线相等，为真命题，该选项不符合题意；
D.正方形的对角线相等，且互相垂直平分，为真命题，该选项不符合题意；
故选：B．
7．如图，在中，，，，D为斜边上一点，以为边作平行四边形，当（ ），平行四边形为菱形．
A．2 B．3 C．4 D．
解：如图，连接交于点F，
中，，，，
，
设，则，
四边形是平行四边形，
，
当平行四边形为菱形时，，
，
，
，
解得，
即时，平行四边形为菱形．
故选D．
8．如图，在矩形中，，分别是，上的点，，分别是，的中点．，，则线段的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．5
解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵.分别是.的中点
∴，
故选：B．
9．下列命题中正确的有（ ）个
①直角三角形中两条边为3和4，则第三边长为5；
②一个角是直角的四边形是矩形；
③平行四边形对角线相等；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
⑤顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是平行四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①直角三角形中两条边为3和4，则第三边长为5或，原命题错误；
②一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题错误；
③平行四边形对角线互相平分，不一定相等，原命题错误；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题错误；
⑤顺次连接四边形各边中点，根据三角形中位线定理可知，所得四边形两组对边分别相等，即所得的四边形是平行四边形，命题正确；
正确的只有⑤，
故选：A．
10．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解∵沿对折至，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴①正确；
∵，，
∴，
设，则，根据勾股定理，得到，，得到，
∴②正确；
∵，，∴即，
∴；
∴③正确；
∵，
∴，
∵FG：EF=6：4=3：2，
∴
∴④正确；
由折叠和三角形全等，
∴，
∴
∴⑤错误．
故选C．
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．在中，，，若点为的中点，则的度数为 ．
解：如图，
，点为的中点，
，
，
，
，
．
故答案为：．
12．如图，菱形的对角线相交于点O，点E边的中点，连接．若，，则长为 ．
解：∵菱形的对角线相交于点O，
∴，，
∴，
∴，
∵点E边的中点，
∴；
故答案为：．
13．如图，矩形ABCD中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为 ．
解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
在中，，即，
解得，，
则的面积，
故答案为：10．
14．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是 ．
解：如图，标注图形，连接，，
∵由正方形性质可得：，，，
，
∴，
∴，
∴一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：．
故答案为：．
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，已知经过点的直线将矩形分成的两部分面积比为时，则k的值为 ．
解：将点代入直线，得，
∴，
∴直线，
当直线与线段相交时，如图，设直线与x轴交于F，与交于E，
则，
∴，
直线将矩形分成的两部分面积比为，
①当时，则，
∴，
解得；
②当时，，
∴，
解得（此时直线与边无交点，舍去），
当直线过点C时，如图：
由可得直线解析式为，
令得，
∴，
∴，，
∴，此时，
综上所述，或．
故答案为：或．
三.解答题：（共55分）
16．（8分）如图，矩形的对角线交于点O，垂直于点E，．
(1)求的长；
(2)若，连接，求的面积．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：由（1）得，又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴的面积．
17．（5分）如图，在菱形中，点是边上一点，延长至点，使，连接.．
求证：．
证明：四边形是菱形，
，，，
在和中，
，
，
．
18．（8分）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求：
(1)线段的长；
(2)线段的长．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠矩形的一边，使点落在边的点处，，，
∴，
在中，
∴；
（2）解：设，
由折叠的性质可得，
，
在中，，
∴，
解得．
即的长为．
19．（8分）已知：如图，在菱形中，点，，分别为，，的中点，连接，，，．
(1)求证：；
(2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵点，，分别为，，的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点，，分别为，，的中点，
∴，，，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
20．（8分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相较于点O，与相较于N，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
设长为x，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴．
21．（9分）【感知】如图①，在中，点.分别是.的中点，连接，可以得到：，且．（不需要证明）
【探究】（1）如图②，在四边形中，点...分别为...的中点，判断四边形的形状，并加以证明．
【应用】（2）在（1）的条件下，连接.，则四边形满足什么条件时，四边形是菱形？你添加的条件是：______；（只添加一个条件）
（3）如图③，在四边形中，点...分别为...的中点，对角线.相交于点．若，，，求四边形的面积．
解：（1）四边形是平行四边形．证明如下：
如图，连接．
.分别是.的中点，
，且，
.分别是.的中点，
，且，
，且，
四边形是平行四边形．
（2）添加．
理由：连接，，
由（1）知，，
是的中点，是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
故答案为；
（3）点...分别是...的中点，
，且，，且．
，
．
，，
，，
．
22．（9分）在边长为6的正方形中，E是上的一个动点（不与点B.C重合），连接．现将沿折叠，使点B落在点F处，连结并延长交于点H，交于点P．
(1)如图，求证：；
(2)如图，延长交的延长线于点Q．
①求证：；
②若，求出线段的长，
（1）证明：∵正方形，
∴，，
∵沿折叠，使点B落在点F处，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）①证明：∵翻折，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
②解：∵正方形，边长为，
∴，
由（1）知，
∴，
∵折叠，
∴，
设，由①得：，
则：，
在中，，
∴，
∴，
即：．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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