第一次月考模拟试题（1-2章）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2023·浙江金华·九年级校联考阶段练习）已知一个不透明的袋子里装有1个白球，3个黑球，2个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．恰好是白球是必然事件 B．恰好是黑球是不确定事件
C．恰好是红球是不可能事件 D．恰好是黑球是不可能事件
【答案】B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件进行逐项分析即可．
【详解】解：A. 恰好是白球是随机事件，故该选项错误；
B. 恰好是黑球是随机事件，所以是不确定事件，故该选项正确；
C. 恰好是红球是随机事件，故该选项错误；
D. 恰好是黑球是随机事件，可能发生也可能不发生，故该选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查事件的分类，理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题关键．
2．（2023春·上海·九年级校考阶段练习）下列说法合理的是（ ）
A．某彩票的中奖机会是3%，那么如果买100张彩票一定会有3张中奖．
B．在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为和．
C．抛掷一枚正六面体骰子，出现2的概率是的意思是，每6次就有1次掷得2．
D．在100次抛图钉的实验中66次针尖朝上，由此说针尖朝上的概率是．
【答案】B
【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．
【详解】解：A、某彩票的中奖机会是3%，那么如果买100张彩票不一定会有3张中奖，故原选项不合题意；B、在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为和，故原选项符合题意；
C、抛掷一枚正六面体骰子，出现2的概率是不代表每6次就有1次掷得2，故原选项不合题意；
D、在100次抛图钉的实验中66次针尖朝上，不能说明针尖朝上的概率是，只能表示频率，故原选项不合题意；故选：B．
【点睛】此题主要考查了概率和频率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
3．（2023·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+2）2+3，下列叙述正确的是（ ）
A．向右平移2个单位，向上平移3个单位 B．向左平移2个单位，向上平移3个单位
C．向右平移2个单位，向下平移3个单位 D．向左平移2个单位，向下平移3个单位
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出答案．
【详解】根据二次函数的平移规律可知，将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到抛物线y＝（x+2）2+3，故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
4．（2023·浙江·统考中考真题）某校准备组织红色研学活动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，总共有4种选择，
选中梅岐红色教育基地有1种，则概率为，故选：B
【点睛】此题考查了概率的求法，通过所有可能结果得出，再从中选出符合事件结果的数目，然后根据概率公式求出事件概率．
5．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同确定二次项系数a，然后根据抛物线的顶点式求解即可．
【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，∴，
又∵顶点为，∴抛物线的解析式为．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的性质确定二次项系数是解题的关键．
6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限,然后作出选择.
【详解】解：a<0,二次函数y= ax2的图象的开口方向是向下;
一次函数y=ax+a(a<0) 的图象经过第二、 三、四象限;故选B.
【点睛】本题主要考查二次函数的图形及一次函数的图像.
7．（2023·浙江金华·九年级校联考阶段练习）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出在B盘中，相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，再画树状图，然后由概率公式求解即可．
【详解】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，
∴B盘红色扇形区域所占的圆心角是，
∴相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，画树状图如下：
∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是，故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（2022秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知抛物线的对称轴为，若点，，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
抛物线开口向上，而点到对称轴的距离最远，到对称轴的距离最近，
且，．故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
9．（2023·江苏南京·九年级期中）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（ ）
A．﹣4或 B．﹣2或 C．﹣4 或2 D．﹣2或2
【答案】C
【分析】分≤-1、≥2和-1＜＜2三种情况，据y的最大值为4，结合二次函数的性质求解可得．
【详解】解: y＝﹣x2+mx= ,∴此二次函数开口向下,对称轴为
若≤-1即m≤-2时， ymax=-(-1)2+(-1)m=-1-m=3解得:m=-4,符合题意;
若≥2即m≥4时， ymax=-22+2m=-4+2m=3解得:m=3.5,不符合题意;
-1＜＜2即-2＜m＜4时， ymax=-()2+ ==3
解得:m= 或m=-(舍去)),综上所述: m= ﹣4 或2故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值，能根据二次函数的顶点式确定最值是解答本题的关键．
10．（2023·浙江舟山·九年级校考阶段练习）抛物线与轴的公共点是，，直线经过点，直线与抛物线另一个交点的横坐标是4，它们的图象如图所示，有以下结论：①拋物线对称轴是；②；③时，；
④若，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，从而判断①；将代入抛物线的解析式中，即可判断②；结合图象即可判断③；利用待定系数法求出二次函数解析式，从而求出一次函数和二次函数图象的交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可判断④．
【详解】解：∵抛物线与轴的公共点是，，
∴拋物线对称轴是，故①正确；
将代入抛物线的解析式中，得，故②正确；
由图象可知：当时，，故③正确；
∵∴抛物线的解析式为
将，代入解析式中，得解得：∴抛物线的解析式为
当x=4时，y= 将和（4，）代入中，得
解得：，故④正确．综上：正确的个数为4 故选D．
【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质和求一次函数的解析式，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式和二次函数图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上）
11．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）函数是二次函数，则m＝_____．
【答案】
【分析】根据二次函数定义可得m-4=2，再解即可．
【详解】解：∵函数是二次函数，∴，解得：．故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
12．（2023·福建厦门·统考一模）一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件：________．
【答案】摸出红球
【分析】根据概率公式确定答案即可．
【详解】一共有3个球，其中红球有1个，所以摸出红球的概率是．故答案为：摸出红球．
【点睛】本题主要考查了概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．
13．（2023·辽宁鞍山·统考二模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为_____.
【答案】
【分析】先求出点落在区域内白色部分的频率稳定在左右，再用这个结果乘以正方形的面积即得答案.
【详解】解：根据题意：点落在区域内白色部分的频率稳定在左右，
∴可以估计这个区域内白色部分的总面积约为；故答案为：.
【点睛】本题考查了频率估计概率的实际应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题关键.
14．（2023·河南漯河·统考二模）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率是 。
【答案】
【分析】根据题意，画树状图得出所有等可能的情况数，找出这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的情况数，然后根据简单概率公式计算即可得出答案．
【详解】解：把四张卡片记为，其中B与D是轴对称图形，画树状图如下：
共有12种等可能性，这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的情况有8种，
这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率是，故答案：．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
15．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出40个，若这种商品的零售单价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加2个，为了获取最大的日利润，则应把零售单价定为_______元．
【答案】95
【分析】设应降价x元，表示出利润的关系式，将其化为顶点式，再根据二次函数的最值问题求得最大利润时，x的值即可．
【详解】设应降价x元，则日销量增加2x个，
获取的总利润为：
故当降价5元，即零售单价为100-5=95元时，能获取最大日利润1250元，故答案为：95．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及将二次函数的一般式化为顶点式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．（2023·广东八年级期中）某航班每次约有100名乘客，一次飞行中飞机失事的概率约为P＝0.00005．一家保险公司要为乘客保险，承诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币．平均来说，保险公司应收取的保险费至少为每人_____元才能确保不亏本．（实际上，飞机失事的概率远低于0.00005）
【答案】20
【分析】先求出飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据飞机失事的概率求出赔偿的钱数即可解答．
【详解】解：每次约有100名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿40万人民币，共计4000万元，
一次飞行中飞机失事的概率为P＝0.00005，
故赔偿的钱数为40000000×0.00005＝2000元，
故至少应该收取保险费每人＝20元，故答案为：20．
【点睛】此题主要考查概率的应用，解题的关键是根据概率的性质求出赔偿的钱数．
17．（2022·江苏九年级末）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据当球正好过点（9，）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（18，0），抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，或根据不等式即可得出答案．
【详解】解：当球过球网时y=a（x-6）2+h过（0，2）和（9，2.24），
，解得： ，，
当y=0时，，解得， （舍去），，
∴球过网时，球出界；∴
当球到界时y=a（x-6）2+h过（0，2）和（18，0），
，解得： ，， ，
∴球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则的取值范围是．故答案为：
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
18．（2022·浙江九年级期末）在直角坐标系中，抛物线 （m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足 ，则m的值等于________．
【答案】2
【分析】由抛物线 与x轴交于A，B两点，得到方程的两根就是A，B两点的横坐标，根据根与系数的关系x1+x2=-，x1x2=,求出m的值.
【详解】设方程x2+mx﹣ m2=0的两根分别为x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 则有x1+x2=﹣m＜0，x1x2=﹣ m2＜0，所以x1＜0，x2＞0，由 ﹣ = ，可知OA＞OB，又m＞0，
所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是OA=|x1|=﹣x1 ， OB=x2 ，
所以 + = ，即 = ，故 = ，解得m=2．故答案是：2
【点睛】考查了根与系数的关系，抛物线与x轴的交点,熟练掌握抛物线与x轴的交点特征，求出抛物线与x轴的交点坐标是解决问题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19-20题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上）
19．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知：二次函数．(1)将化成的形式．(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
【答案】(1)(2)对称轴是直线，顶点坐标是，最小值为
【分析】（1）用配方法将二次函数解析式配成顶点式即可；
（2）根据顶点式的解析式写出对称轴、顶点坐标、最小值．
【解析】 (1)解：．
(2)解：由（1）知，该抛物线的对称轴为：直线x=2，顶点坐标为（2，－1），
抛物线开口朝上，有最小值，最小值为－1．
【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的转化，利用顶点式求对称轴、顶点坐标、最值等知识点．利用配方法求出顶点式是解题关键．
20．（2022·河北·九年级期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据.
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601
(1)若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_____；(精确到0.1)；(2)盒子里白色的球有______只；(3)若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值.
【答案】(1)0.6；(2)12；(3)m=20.
【分析】（1）观察图表，试验次数越多的一组，得到的频率越接近概率，由此解答即可；
（2）用总数乘以其频率即可求得频数；（3）利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）∵摸到白球的频率约为0.6，∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，共有20只球，∴则白球的个数为20×0.6=12只；
（3）根据题意得： 解得：m=20．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
21．（2022·江苏阜宁初三二模）已知二次函数（为常数）．
（1）求证：不论为何值，该二次函数的图像与轴总有公共点．
（2）求证：不论为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数的图像上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【分析】（1）计算判别式的值得到△≥0，从而根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到二次函数y=x2-2mx+2m-1的顶点坐标为（m，-（m-1）2），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；
【解析】（1）令，则．
∵，，，∴．
∵，∴．∴一元二次方程有实数根．
故不论取何值，函数与轴总有公共点．
（2）∵．
∴该函数的顶点坐标为．把代入，得．
∴不论为何值，该二次函数的顶点坐标都在函数上．
【点睛】本题考查了抛物线与判别式．也考查了二次函数的性质
22．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，中国18岁小将苏翊鸣获得冠军．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
这是苏翊鸣参赛前进行的一次训练．
(1)训练时，苏翊鸣的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 2 5 8 11 14
竖直高度
根据上述数据，直接写出苏翊鸣竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2)训练时，苏翊鸣的着陆点的竖直高度为7米，求着陆点的水平距离为多少？
【答案】(1)最大值为，；(2)26米．
【分析】（1）根据表格数据可得抛物线的顶点坐标为，即可得出竖直高度最大值，用待定系数法求解函数关系式即可；（2）把代入（1）中得出的函数关系式，求解即可．
【详解】（1）解：由表可知，当和时的函数值相等，∴抛物线顶点横坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为：，，即该运动员竖直高度的最大值为，
根据表格中的数据可知：当时，，代入得：
，解得：，∴函数关系式为：；
综上：直高度的最大值为，函数关系式为：．
（2）把代入；
解得：或（不合题意舍去），着陆点的水平距离为26米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，从表格中得出顶点坐标，会用待定系数法求解函数表达式．
23．（2022春·浙江九年级期中）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
【答案】(1)(2)甲
【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．
【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：
共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，
所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为．
（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：
共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，
根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
24．（2022秋·浙江九年级月考）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示．
求演员弹跳离地面的最大高度；已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
【答案】(1) ；（2）能成功；理由见解析.
【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，可得最大值，即为最大高度；
（2）将x=4代入抛物线解析式，计算函数值是否等于3.4进行判断.
【详解】(1)y=-x2+3x+1=-+
∵-＜0，∴函数的最大值是．
答：演员弹跳的最大高度是米．
(2)当x=4时，y=-×42+3×4+1=3.4=BC，所以这次表演成功．
【点睛】此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题．
25．（2022·湖北咸宁·九年级统考期末）如图，抛物线经过点，顶点，对称轴交轴于点，（1）求抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上求点，使得是以为底边的等腰三角形，求出此时点的坐标；（3）在（2）的基础上，点是否是第一象限内的抛物线上与距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内的抛物线上与距离最远的点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）不是，
【分析】（1）由抛物线 的顶点坐标是B(1，2)知：h=1，k=2，则，再把A点的坐标代入此解析式即可；（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分线是直线y=x，根据垂直平分线的性质可知直线y=x与抛物线的交点即为点P，解方程组即可求得点P的坐标；（3）设Q第一象限内的抛物线上与AC距离最远的点，即可得到的值，后再根据二次函数最值的问题进行求值即可；
【详解】解：（1）∵抛物线 的顶点坐标是B(1，2)，∴ ，
∵抛物线经过点A(0，1)，∴ ，解得：a=-1，
所以抛物线的解析式为或；
（2）∵A(0，1)，C（1，0），∴OA＝OC，
若PA＝PC，则点P在直线上，
即直线与抛物线在第一象限的交点即为点P．
令＝，解得：＝（舍）或，∴P点的坐标为；
（3）假设Q点是第一象限内的抛物线上与AC距离最远的点，
则△AQC的面积最大，即四边形OAQC的面积最大，连接OQ，
＝
当时，四边形OAQC的面积最大，此时点Q的坐标为 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到用待定系数法求直线和抛物线的解析式，等腰直角三角形的性质与判定，二次函数与一元二次方程的关系，动点求最值的问题，综合性较大，难度适中．
26．（2023年天津市南开区中考二模数学试卷）已知抛物线（，，是常数）的开口向上且经过点，．(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若二次函数在时，的最大值为2，求的值；
(3)若射线与抛物线仅有一个公共点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)，或者
【分析】（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入即可；
（2）根据抛物线图像分析得在范围内，的最大值只可能在或处取得，进行分类讨论①若时，②若，③，计算即可；
（3）先利用待定系数法求出射线的解析式为，且．根据抛物线的解析式为，，，可得．又射线与抛物线在范围内仅有一个交点，即方程在的范围内仅有一个根，整理得在的范围内仅有一个根，即抛物线在的范围内与轴仅有一个交点．化为顶点式为，且，可得抛物线对称轴为：，顶点坐标为：，即当抛物线顶点在x轴下方且对应的函数值小于0；或者顶点坐标在x轴上即可，问题随之得解．
【详解】（1）根据抛物线开口朝上有：，
∵抛物线过点，，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
即抛物线此时的顶点坐标为：；
（2）由（1）可得，且，
即在范围内，的最大值只可能在或处取得．
当时，，当时，．
①若时，即时，得，∴，得．
②若，即时，得，此时，舍去．
③，即时，得，
∴，，舍去．∴综上知，的值为．
（3）设直线的解析式为，
∵直线过点，，∴，∴，
∴直线的解析式为，
即射线的解析式为，且．
又∵抛物线的解析式为，，，
∴．
又∵射线与抛物线在范围内仅有一个交点，
即方程在的范围内仅有一个根，
整理得在的范围内仅有一个根，
即抛物线在的范围内与轴仅有一个交点．
∵，且，
∴抛物线对称轴为：，顶点坐标为：，
∴当抛物线顶点在x轴下方且对应的函数值小于0；或者顶点坐标在x轴上即可．
即时，，
即：，或者，解得：，或者，
综上的取值范围为，或者．
【点睛】本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与x轴的交点与方程的根的情况、熟练掌握二次函数的图像知识是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第一次月考模拟试题（1-2章）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2023·浙江金华·九年级校联考阶段练习）已知一个不透明的袋子里装有1个白球，3个黑球，2个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．恰好是白球是必然事件 B．恰好是黑球是不确定事件
C．恰好是红球是不可能事件 D．恰好是黑球是不可能事件
2．（2023春·上海·九年级校考阶段练习）下列说法合理的是（ ）
A．某彩票的中奖机会是3%，那么如果买100张彩票一定会有3张中奖．
B．在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为和．
C．抛掷一枚正六面体骰子，出现2的概率是的意思是，每6次就有1次掷得2．
D．在100次抛图钉的实验中66次针尖朝上，由此说针尖朝上的概率是．
3．（2023·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+2）2+3，下列叙述正确的是（ ）
A．向右平移2个单位，向上平移3个单位 B．向左平移2个单位，向上平移3个单位
C．向右平移2个单位，向下平移3个单位 D．向左平移2个单位，向下平移3个单位
4．（2023·浙江·统考中考真题）某校准备组织红色研学活动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江金华·九年级校联考阶段练习）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知抛物线的对称轴为，若点，，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·江苏南京·九年级期中）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（ ）
A．﹣4或 B．﹣2或 C．﹣4 或2 D．﹣2或2
10．（2023·浙江舟山·九年级校考阶段练习）抛物线与轴的公共点是，，直线经过点，直线与抛物线另一个交点的横坐标是4，它们的图象如图所示，有以下结论：①拋物线对称轴是；②；③时，；
④若，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上）
11．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）函数是二次函数，则m＝_____．
12．（2023·福建厦门·统考一模）一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件：________．
13．（2023·辽宁鞍山·统考二模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为_____.
14．（2023·河南漯河·统考二模）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率是 。
15．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出40个，若这种商品的零售单价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加2个，为了获取最大的日利润，则应把零售单价定为_______元．
16．（2023·广东八年级期中）某航班每次约有100名乘客，一次飞行中飞机失事的概率约为P＝0.00005．一家保险公司要为乘客保险，承诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币．平均来说，保险公司应收取的保险费至少为每人_____元才能确保不亏本．（实际上，飞机失事的概率远低于0.00005）
17．（2022·江苏九年级末）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则的取值范围是_________．
18．（2022·浙江九年级期末）在直角坐标系中，抛物线 （m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足 ，则m的值等于________．
三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19-20题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上）
19．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知：二次函数．(1)将化成的形式．(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
20．（2022·河北·九年级期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据.
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601
(1)若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_____；(精确到0.1)；(2)盒子里白色的球有______只；(3)若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值.
21．（2022·江苏阜宁初三二模）已知二次函数（为常数）．
（1）求证：不论为何值，该二次函数的图像与轴总有公共点．
（2）求证：不论为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数的图像上．
22．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，中国18岁小将苏翊鸣获得冠军．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
这是苏翊鸣参赛前进行的一次训练．
(1)训练时，苏翊鸣的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 2 5 8 11 14
竖直高度
根据上述数据，直接写出苏翊鸣竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2)训练时，苏翊鸣的着陆点的竖直高度为7米，求着陆点的水平距离为多少？
23．（2022春·浙江九年级期中）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
24．（2022秋·浙江九年级月考）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示．
求演员弹跳离地面的最大高度；已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
25．（2022·湖北咸宁·九年级统考期末）如图，抛物线经过点，顶点，对称轴交轴于点，（1）求抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上求点，使得是以为底边的等腰三角形，求出此时点的坐标；（3）在（2）的基础上，点是否是第一象限内的抛物线上与距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内的抛物线上与距离最远的点的坐标．
26．（2023年天津市南开区中考二模数学试卷）已知抛物线（，，是常数）的开口向上且经过点，．(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若二次函数在时，的最大值为2，求的值；
(3)若射线与抛物线仅有一个公共点，求的取值范围．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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