湘乡市名校2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题
满分：100 分 考试时间：90分钟
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数满足，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量若 ，则实数x的值是（ ）
A. B.3 C. D.2
3．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
4.已知表示直线,表示平面,下列正确的是( )
A. B.
C. D.
5．在平行四边形中，若交于点，则( )
A. B.
C. D.
6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱 的中点，则异面直线AD1与DN所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知为三角形内部任一点（不包括边界），且满足，则的形状一定为（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
二、多选题（本题共 4小题，每小题3分，共 12 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 3 分，选对但不全的得2分，有选错的得 0 分）
9.已知是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是（ ）
A.和 B.和
C.和 D.和
10.下面四个命题中的真命题为（ ）
A.若复数满足，则 B.若复数满足，则
C.若复数，满足，则 D.若复数，则
11.抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ）
A.A与B是互斥事件但不是对立事件 B.A与C是互斥事件也是对立事件
C.A与D是互斥事件 D.C与D不是对立事件也不是互斥事件
12.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A.在棱上存在点M，使平面
B.异面直线与所成的角为90°
C.二面角的大小为45°
D.平面
填空题（本题共 4小题，每小题3 分，共 12分）
13、 驾照考试一共有四个科目：科目一驾驶员理论考试、科目二场地驾驶技能考试、科目三道路驾驶技能考试、科目四安全文明驾驶常识考试只有四个科目都通过才能取得驾照．若某学员四个科目通过的概率依次是，，，，且每个科目是否通过相互之间没有影响，则该学员拿到驾照的概率为______．
14.. 已知向量，满足，，则向量在上的投影向量为______．
15. 某同学次上学途中所花的时间单位：分钟分别为，，，，已知这组数据的平均数为，标准差为，则的值为 ．
16. 设向量，满足，，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
名民实验中学高二开学考试数学试题答题卡
满分：100 分 考试时间：90分钟
一、单选题（每小题3分，共24分）
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多选题（每小题3分，共12分）
9 10 11 12
三、填空题（全部选对的得 3 分，选对但不全的得2分，有选错的得0分，共12分）
13. 14. 15. 16. ．
四、解答题（共 6小题，共52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 本小题分
已知复数是虚数单位，为的共轭复数．
求复数的模
若，求，的值．
18. 本小题分
已知点，，．
求向量与夹角的余弦值
若向量，求实数的值．
19. 本小题分
某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如图所示频率分布直方图：
Ⅰ已知样本中分数在的学生有人，试估计总体中分数小于的人数；
Ⅱ试估计测评成绩的分位数；
Ⅲ已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例．
本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若，的面积为，求的周长
本小题分
甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜局得分，负局或平局都不得分，积分先达到分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，设有人积分达到分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
求第三局结束时乙获胜的概率；
求甲获胜的概率．
本小题分
如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面，，交于点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱柱的体积.
