专题3.5 平面直角坐标系（分层练习）（提升练）
单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级校考期中）已知点位于第二象限，到轴的距离为4，到轴的距离为7，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）下列各点中，位于平面直角坐标系第二象限的点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河南安阳·七年级校考期中）已知点是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点P到两坐标轴的距离之和为13，则点P的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023春·河南商丘·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，对于坐标，下列说法错误的是（ ）
A．点的纵坐标是 B．它与点表示同一个点
C．点到轴的距离是 D．表示这个点在平面内的位置
5．（2023春·福建龙岩·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，由点组成的三角形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考阶段练习）如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·湖南岳阳·八年级校考期末）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河南周口·统考三模）如图，已知点，点在轴负半轴上，若将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
①双扭线围成的面积小于6；
②双扭线内部（包含边界）包含11个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）；
③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3；
④假设点为双扭线上的一个点，，为双扭线与轴的交点（如图所示），则满足的点有4个．
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023秋·重庆铜梁·八年级铜梁二中校考开学考试）在平面直角坐标系中，点在轴上，则其坐标为 ．
12．（2023春·宁夏吴忠·七年级校考期中）点到轴的距离是，到轴的距离是，且在轴的右侧，轴的下方，则点的坐标是 ．
13．（2023春·河南开封·七年级统考期末）已知点，，，则点P在第 象限．
14．（2022春·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如果点坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个位于第二象限的“美丽点”到轴的距离为2，则点的坐标为 ．
15．（2021·全国·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中， ，以点为圆心，为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为
16．（2022春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若有一个直角三角形与全等，且与其共边，点是A点的对应点，试写出所有满足条件的点的坐标
17．（2023春·贵州黔东南·七年级统考期末）如图，平面直角坐标系中有两点和，，M为上一动点，连接，则的最小值为 ．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上的一点，过点作轴，点为轴正半轴上一动点，平分，于点，在点的运动过程中，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023春·青海西宁·七年级校考阶段练习）如图：
（1）分别写出点A，B，C三点的坐标；（2）求的面积（平面直角坐标系中小方格的边长为1）
20．（8分）（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．
（1）填空：________，________；
（2）如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示的面积；
（3）在（2）条件下，当时，在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（10分）（2023春·四川雅安·七年级雅安中学校考阶段练习）点P坐标为，点P到x轴、y轴的距离分别为，．
（1）当点P在坐标轴上时，求的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）点P不可能在哪个象限内？
22．（10分）（2023春·北京海淀·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）线段的长为________，请选用合适的工具，描出点的位置；
（2）若点的纵坐标为1，且，请判断：点的位置________（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中标出所有点的位置．
23．（10分）（2018春·江苏宿迁·八年级阶段练习）如图，在长方形中，，点E在边上，以B为坐标原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，．以所在直线为折痕折叠长方形，点D恰好落在边上的F点．
（1）求点F的坐标；
（2）求点E的坐标；
（3）在上是否存在点P，使最小？若存在，作出点P的位置，并求出的最小值；不存在，说明理由．
24．（12分）（2023春·湖北鄂州·七年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，动点在直线L上运动（直线L上所有点的横坐标与纵坐标相等）．
（1）如图2，当点C在第一象限时，依次连接三点，交y轴于点D，连接：
①试求出（用含m的式子表示）；
②当，求出点C的坐标；
（2）如图3，当点C与两点在同一条直线上时，求出C点的坐标；
（3）当，求m的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】注意第二象限坐标特点，根据点到轴的距离等于纵坐标的长度判断出点的纵坐标，再根据点到轴的距离等于横坐标的长度得到横坐标．
解：点位于第二象限，到轴的距离为4，
点的纵坐标为4，
点到轴的距离为7，
点的横坐标为，
点的坐标为．
故选：B．
【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
2．D
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答．
解：A、在第一象限，故此选项不符合题意；
B、在第三象限，故此选项符合题意；
C、在第四象限，故此选项不符合题意；
D、在第二象限，故此选项符合题意，
故选：D．
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
3．A
【分析】直接利用第二象限点的坐标性质得出关于x的方程，进而得出答案．
解：∵点是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点P到两轴的距离之和为13，
∴，
解得：，
∴， ，
∴P点坐标为：．
故选A
【分析】此题主要考查了点的坐标与点到坐标轴的距离，正确得出方程是解题关键．
4．B
【分析】根据点的坐标特征依次判断即可．
解：点的纵坐标为，
故A不符合题意；
点和点不是一个点，
故B符合题意；
点到轴的距离为，
故C不符合题意；
表示这个点在平面内的位置，
故D不符合题意，
故选：B．
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．
5．A
【分析】根据A和B两点的纵坐标相等，可得线段的长，再根据点C的纵坐标，可得以为底的的高，从而的面积可求．
解：解析：由点得，
点C在直线上，与直线平行，且平行线间的距离为4，
∴．
故选：A．
【分析】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，是解题的关键．
6．A
【分析】由轴，，根据坐标的定义可求得y值，根据线段最小，确定，垂足为点C，进一步求得的最小值和点C的坐标．
解：如图，
轴，
∴C点的纵坐标为与A点的纵坐标相同，即，
∵当时，线段最短，此时轴，
∴此时C点的横坐标与B点的横坐标相同，即，
即，此时．
故选：A．
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟记点到坐标轴的距离与这个点坐标的区别及点到直线垂线段最短是解题的关键．
7．A
【分析】如图所示，过点B作BC⊥y轴于C，设点B的坐标为（m，3），则OC=3，BC=m，根据题意可知，则，由此求解即可．
解：如图所示，过点B作BC⊥y轴于C，
由题意得可知点B的纵坐标为3，
设点B的坐标为（m，3），
∴OC=3，BC=m，
∵线段AB平分这8个正方形组成的图形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
故选A．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确作出辅助线构造梯形OABC是解题的关键．
8．D
【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA=BO，∠AOB=90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD=OE=5，OD=BE=2，则可得出答案．
解：∵A（-2，5），AD⊥x轴，
∴AD=5，OD=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA=BO，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠DAO=∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD=OE=5，OD=BE=2，
∴DE=OD+OE=5+2=7．
故选：D．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9．B
【分析】根据勾股定理求得，设，，根据折叠的性质得出，，在中，勾股定理即可求解．
解：∵点，
∴，
∴，
∵将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在轴正半轴上的点处，
∴
∴，
设，，
∴
在中，，
∴
解得：，
∴的坐标为
故选B.
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．C
【分析】由题得，点A、B、P、Q、M、N都在双扭线上，计算的面积，观察图形，即可判断各个结论．
解：如图，连接，
得，，
∴双扭线围成的面积大于6，故①不正确；
由图得，双扭线内部包含4个整数点，
边界上有7个整数点，
共11个，故②正确；
由图得，点A、B与原点距离最大为3，故③正确；
设的高为h，
∵，且，
∴，
由图得，点P、Q、M、N均满足题意，故④正确，
故选：C．
【分析】本题考查了在坐标系中判断点的位置，合理的推断及计算是解题关键．
11．
【分析】根据轴上点的纵坐标为可得，从而可得：，然后把的值代入横坐标中进行计算，即可解答．
解：点在轴上，
，
解得：，
当时，，
点的坐标是，
故答案为：．
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握x轴上点的坐标特征是解题的关键．
12．
【分析】根据点到轴的距离，点在轴的右侧，轴的下方，可确定点在第四象限，由此确定点的坐标．
解：∵点到轴的距离是，
∴，则，
∵点到轴的距离是，
∴，则，
∵点在轴的右侧，轴的下方，
∴点在第四象限，即横坐标为正，纵坐标为负，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查点坐标到轴的距离的计算方法，点在象限的判定方法，掌握以上知识是解题的关键．
13．三
【分析】根据，，得到，再根据每个象限内点的坐标符号特点即可得到答案．
解：∵，，
∴，
∴点在第三象限，
故答案为：三．
【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，正确推出是解题的关键，每个象限内的点的坐标特点如下：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
．
14．
【分析】利用某个“美丽点”到轴的距离为2，得出的值，进而求出的值，再根据点在第二象限进行取舍求出答案．
解：某个“美丽点” 到轴的距离为2，
，
∵点P位于第二象限，
则,
，
，
解得，
则点的坐标为．
故答案为：．
【分析】此题主要考查了点的坐标，理解“美丽点”的意义是解题关键，注意点在第二象限．
15．（-2,0）
【分析】先利用勾股定理求出AB=5，再根据AB=AC即可求出C点坐标．
解：由勾股定理可知：，
又以点为圆心，为半径画弧，交轴的负半轴于点，
∴，
∴C（-2,0），
故答案为：（-2,0） ．
【分析】本题借助平面直角坐标系考查了勾股定理，属于基础题，计算过程细心即可．
16．或或
【分析】根据全等三角形的性质画出满足条件的，然后写出对应顶点的坐标即可．
解：如图，
的坐标为：或或．
故答案为：或或．
【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
17．
【分析】结合题意可知当垂直时，的值最小，据此利用等面积法进一步求解即可．
解：由题意得：，，，
∴的面积，，
∵当时，的值最小，
而此时即为斜边上的高，
∴，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了点的坐标的意义与三角形面积计算的综合运用，勾股定理，熟练掌握相关概念是解题关键．
18．2
【分析】设，首先根据平行线的性质得到，然后表示出，然后利用角平分线的概念得到，然后利用表示出，即可求出的值．
解：设，
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
∴．
故答案为：2．
【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
19．（1）；（2）5
【分析】（1）根据坐标系中点的位置写出对应点的坐标即可；
（2）利用割补法求解即可．
（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
20．（1），；（2）；（3）存在，使
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可得出答案；
（2）过点M作轴于点N，为三角形的高，根据三角形面积公式即可得出答案；
（3）结合（2）求出三角形的面积为，可得，即可确定点P的坐标．
（1）解：∵，，，
∴，，
∴，．
故答案为：，3；
（2）解：如图，过点M作轴于点N，
∵点在第三象限，
∴，
∴
由（1）得
∵，
∴三角形的面积；
（3）解：存在，
由（2）得：三角形的面积，
，
，
假设存在，使，
，即，
，，
∴存在 使．
【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形以及求三角形面积等知识，熟练运用分情况讨论的思想分析问题，采用割补法求三角形面积是解题关键．
21．（1）4或2；（2）或；（3）点P不可能在第二象限
【分析】（1）根据点在坐标轴上分情况讨论先求出x，再求出即可；
（2）将d1+d2用含x的式子表示出来，根据x的范围化简即可；
（3）根据x和2x-4的范围即可得出答案．
（1）解：若点P在x轴上，则，解得，
∴点P的坐标为，此时，
若点P在y轴上，则，故，
∴点P的坐标为，此时．
（2）若，则，解得（舍），
若，则，解得，
∴
若，则，解得，
∴．
（3）∵当时，，
∴点P不可能在第二象限．
【分析】本题考查点的坐标，点到坐标轴的距离及点所在的象限，解题关键是要能根据x的范围作分类讨论．
22．（1）；画图见分析；（2）不唯一；图中标出所有点的位置见分析
【分析】（1）根据两点间距离公式求出的长即可；连接，以点A为圆心，为半径画弧，交轴于一点，该点即为点C；
（2）根据点的纵坐标为1，且，且B点坐标为，得出点D的坐标为或，即可得出点D的位置不唯一．
（1）解：线段的长为；
如图：连接，以点A为圆心，为半径画弧，交轴于一点，该点即为点C．
∵，
∴，
∴，
即点C坐标为为；
故答案为：．
（2）解：∵点的纵坐标为1，且，且B点坐标为，
∴点D的坐标为或，
∴点D的位置不唯一，如图所示：
故答案为：不唯一．
【分析】本题主要考查了两点间距离公式，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式．
23．（1）；（2）；（3）连与交于P，则点P就是所求作的点；
【分析】（1）根据折叠的性质，可得在中，根据勾股定理求得的长，即可求出点的坐标．
（2）设 则 在中，根据勾股定理，列出方程，求出的值，即可求出点的坐标．
（3）点关于的对称点是点，连结与交于P，则点P就是所求作的点；根据勾股定理求出得长度即可．
（1）解：长方形ABCD中，
根据折叠的性质，可得
在中，
点的坐标为：
（2）解：设 则
由（1）得：
在中，
即：
解得：
点的坐标为：
（3）解：根据题意得：点关于的对称点是点，连结与交于P，则点P就是所求作的点；如图所示：
此时
即的最小值为．
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，最短距离，熟练掌握勾股定理与折叠的性质，坐标与图形的性质是解题的关键．
24．（1）①；②；（2）；（3）或
【分析】（1）①；②由即可求解；
（2）利用即可求解；
（3）分类讨论C在第一象限、第三象限即可求解．
（1）解：①，
②当时，，
，解得，
.
（2）解：连接，如图所示：
，
，
.
（3）解：，且
则：①C在第一象限
，
，
，
②C在第三象限
，
，
综上所述：或.
【分析】本题考查坐标与图形．利用“割补法”表示三角形面积是解题关键．
