2022-2023学年浙江省宁波市慈溪市文锦书院八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 年全国上下抗击疫情，众志成城，下列防疫标志图形中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，，，那么( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列说法错误的是( )
A. 平行于轴的直线上的所有点的纵坐标相同
B. 平行于轴的直线上的所有点的横坐标相同
C. 若点在轴上，则
D. 与表示两个不同的点
5. 如图，，下列条件中不能使≌的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 在下列各图形中，分别画出了中边上的高，其中正确的是( )
A. B. C. D.
7. 下列命题的逆命题不正确的是( )
A. 全等三角形的对应边相等 B. 直角三角形两锐角互余
C. 如果，那么 D. 两直线平行，同旁内角互补
8. 如图，每个小正方形的边长均为，请你在所给网格中按下列要求操作：
在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为；
在第一象限内的格点上画一点，使点与线段构成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数．
此时点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
9. 把一些书分给同学，设每个同学分本．若____；若分给个同学，则书有剩余．可列不等式，则横线的信息可以是( )
A. 分给个同学，则剩余本 B. 分给个同学，则剩余本
C. 分给个同学，则每人可多分本 D. 分给个同学，则每人可多分本
10. 如图，中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 在中，，，那么 ______ ．
12. 把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式：______．
13. 已知三角形的两边分别为和，且第三边是偶数，则此三角形的第三边是______．
14. 关于的不等式的解集如图所示，则的值是______ ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点，，的坐标，，，经过原点，且，垂足为点，则的值为______ ．
16. 如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
17. 已知方程的解为非正数，为负数．
求的取值范围；
在的条件下，若不等式的解为，求整数的值．
四、解答题（本大题共7小题，共59.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
解下列不等式组：
；
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
19. 本小题分
已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且求证：．
完成下面的证明过程
证明：，______
是的中点
______
又
≌______
______
______
20. 本小题分
如图，点在上，点在上，，，求证：．
21. 本小题分
如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
在图中画出以为一边，面积为的等腰三角形；
在图中画出平分面积的线段；
在图中画出的角平分线．
请按要求完成下列作图：仅用无刻度的直尺；保留作图痕迹；标注相关字母
22. 本小题分
某游乐场部分平面图如图所示，点、、在同一直线上，点、、在同一直线上，测得处与处的距离为，处与处的距离为，，．
请求出旋转木马处到出口处的距离；
请求出海洋球处到出口处的距离；
判断入口到出口处的距离与海洋球到过山车处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
23. 本小题分
某经销商经销的冰箱二月份的售价比一月份每台降价元，已知卖出相同数量的冰箱一月份的销售额为万元，二月份的销售额只有万元．
二月份冰箱每台售价为多少元？
为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为元，冰箱每台进价为元，预计用不多于万元的资金购进这两种家电共台，设冰箱为台，请问有几种进货方案？
三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金元，而洗衣机按每台元销售，这种情况下，若中各方案获得的利润相同，则应取何值？
24. 本小题分
如图，为边上一点，，，为射线上一点，点，关于直线对称，于点，直线，交于点，连结，设．
当点在线段上时，若，求用含的代数式表示的长；
在的条件下时，若，求的长；
连结，若，与的面积之比为：，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，即“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
【解答】
解：不等式中包含等于号，
必须用实心圆点，
可排除、，
不等式中是大于等于，
折线应向右折，
可排除．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由三角形的外角的性质可知，
，
故选：．
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，根据三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：若点在轴上，则，故C错误．
平行于轴的直线上的所有点的纵坐标相同，平行于轴的直线上的所有点的横坐标相同，与表示两个不同的点，故A，，说法正确，但不符合要求．
故选C．
根据平行于轴的直线上的所有点的纵坐标相同；平行于轴的直线上的所有点的横坐标相同；与表示两个不同的点；若点在轴上，则，等知识进行判断即可．
本题考查了对平面坐标中点的位置的理解，注意平行于坐标轴的直线上点的坐标特点：平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：，，，，直角三角形全等还有定理．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】
解：、在和中，
，
≌，故本选项不符合题意；
B、在和中，
，
≌，故本选项不符合题意；
C、在和中，
，
≌，故本选项不符合题意；
D、根据、和不能推出≌，故本选项符合题意；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：过点作直线的垂线段，即画边上的高，
所以画法正确的是选项．
故选：．
从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据概念判断．
本题考查了三角形的高的概念，解决问题的关键是能够正确作三角形一边上的高．
7.【答案】
【解析】解：全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，逆命题是真命题；
B.直角三角形两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是真命题；
C.如果，那么的逆命题是如果，那么，逆命题是假命题；
D.两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题；
故选：．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，然后进行判断即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是知道如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
8.【答案】
【解析】解：建立平面直角坐标系，如图，
在第一象限内的格点上画出一点，如图，
，此时，
故选：．
由点坐标为，点坐标为即可确定出平面直角坐标系；
先确定的垂直平分线，以为底的等腰三角形的顶点在的垂直平分线上，再在第一象限内的格点上找出腰长是无理数的格点即可．
本题考查了坐标与图形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、无理数、作图复杂作图等知识，熟练掌握坐标与图形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由不等式，可得：把一些书分给几名同学，如果分给个同学，则每人可多分本；若每人分本，则有剩余．
故选：．
根据不等式表示的意义解答即可．
本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
10.【答案】
【解析】解：连接，
，是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一，添加辅助线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求解．
本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，利用三角形的内角和等于求解也可，是基础题，比较简单．
12.【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】【分析】
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
【解答】
解：命题“对顶角相等”的题设为：对顶角，结论为：相等．
故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
13.【答案】
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于，而小于．
又第三边是偶数，则此三角形的第三边是．
故答案为：．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步进行分析．
此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：移项，得：，
系数化为，得：，
由数轴知，
，
解得：，
故答案为：．
移项、系数化为得出，由数轴知，据此可得，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，，
点，到轴的距离分别为，，
，
，
，
故答案为：．
可以联想到的面积公式，根据即可求解．
本题考查了钝角三角形的高，点的坐标，根据面积相等列出等式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：中，，，，
，
将边沿翻折，使点落在上的点处，
，，
，
，即，
，
在中，
将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处
，，
且
故答案为
由题意可得，根据，可得，根据勾股定理可求，由折叠可求，可得，即可求的长．
本题考查了折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质求是本题的关键
17.【答案】解：，
得，，
解得：，
得，，
解得，
为非正数，为负数，
，
由得，，
由得，，
所以的取值范围是；
的解为，
，
，
又，
整数的值为．
【解析】先解方程组求出、，再根据为非正数，为负数列出不等式组，求解即可得到的取值范围；
根据不等式的解法，不等式两边都除以，不等号的方向改变，，列式求解即可．
本题考查了二元一次方程组的解法，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式的解法，先把看作常数，表示出、是解题的关键．
18.【答案】解：，
，
；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为：，
其解集在数轴上表示为：
．
【解析】根据解一元一次不等式的步骤求解即可；
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，将不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的方法．
19.【答案】已知 全等三角形的对应角相等 在同一个三角形中，等角对等边
【解析】解：，已知
垂直的定义
是的中点，
，
又，
在和中，，
≌
全等三角形的对应角相等
在同一个三角形中，等角对等边．
故答案：已知；；；全等三角形的对应角相等；在同一个三角形中，等角对等边．
证明≌，得出，即可得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】证明：，，
，即，
在和中，
．
C.
【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得对应角相等．由，知，再利用“”证明即可得．
21.【答案】解：较为所求；
线段即可所求；
为的角平分线．
【解析】由三角形面积公式即可画出图形；
由三角形中线的定义，即可画出线段；
由角平分线性质定理的逆定理，即可画出的角平分线．
本题考查三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，作图应用与设计作图，关键是掌握三角形面积公式，角平分线性质定理的逆定理．
22.【答案】解：在中，
，
，
旋转木马处到出口处的距离为；
，，
，
，
，
海洋球处到出口处的距离为：；
在与中，由勾股定理得：
，
，
，
入口到出口处的距离与海洋球到过山车处的距离相等．
【解析】根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出；
由同理得，从而求出的长；
利用勾股定理求出，的长，即可判断．
本题主要考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：设二月份冰箱每台售价为元，则一月份冰箱每台售价为元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
答：二月份冰箱每台售价为元；
根据题意，得：，
解得：，
且为整数，
，，，，．
洗衣机的台数为：，，，，．
有五种购货方案；
设总获利为元，购进冰箱为台，洗衣机为台，
根据题意，得：，
中的各方案利润相同，
，
．
答：的值为．
【解析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用．
设二月份冰箱每台售价为元，则一月份冰箱每台售价为元，根据数量总价单价结合卖出相同数量的冰箱一月份的销售额为万元而二月份的销售额只有万元，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
根据总价单价数量结合预计用不多于万元的资金购进这两种家电共台，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合及为正整数，即可得出各进货方案；
设总获利为元，购进冰箱为台，洗衣机为台，根据总利润单台利润购进数量，即可得出关于的函数关系式，由为定值即可求出的值．
24.【答案】解：，
，
，
，
．
点，关于直线对称，
，
；
，
，
，
，
，，
，
，
．
，
解得：，
；
分两种情况：
当点在线段上时，
，，
，
．
，
，
即．
，
．
，即是的中点，
，，
．
，．
，，
，
，
解得：；
当点在线段的延长线上时，
，
，
，
，
，
点，，重合，
，
；
综上所述，的值是或．
【解析】利用勾股定理求出，再根据轴对称的性质得，即可得出结论；
证明，构建方程求出即可．
分两种情况，当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别求出的值即可．
本题是三角形的综合题，考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
