天津市南开中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的值为( )
A. B. C. D.
2. 在中，“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
3. 函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
4. 若，则( )
A. B. C. D.
5. 函数是( )
A. 偶函数，在是增函数 B. 奇函数，在是增函数
C. 偶函数，在是减函数 D. 奇函数，在是减函数
6. 已知角的终边上一点，且，则( )
A. B. C. D.
7. 设，，则( )
A. B. C. D.
8. 若，其中，则( )
A. B. C. D.
9. 函数的部分图像为( )
A.
B.
C.
D.
10. 将函数的图像先向右平移个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 已知集合，，则__________．
12. 函数的零点个数为 ．
13. 已知，则的最小值为__________．
14. 已知函数的部分图象如图所示，则__________．
15. 天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮．如图，已知天津之眼的半径是，最高点距离地面的高度为，开启后按逆时针方向匀速转动，每转动一圈．喜欢拍照的南鸢同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱．已知在距离地面超过的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是__________分钟．
16. 已知函数，若，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
已知，求的值．
18. 本小题分
已知函数．
求其最小正周期和对称轴方程；
当时，求函数的单调递减区间和值域．
19. 本小题分
已知函数，记．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，并说明理由；
是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查诱导公式，属于较易题．
利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得．
【解答】
解： ．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判断．
结合三角形内角与充分、必要条件的知识确定正确选项．
【解答】
解：在 中， ，
所以 ，
所以在 中，“ ”是“ ”的充要条件．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数零点所在区间的判断．
首先判断函数的单调性，再根据零点存在定理判断即可．
【解答】
解：因为 定义域为 ，
且 在 上单调递增，
又 ， ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 在 上存在唯一零点．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的关系等，属于基础题．
由，再利用二倍角公式和同角三角函数的关系化简即可得解．
【解答】
解：由，
结合二倍角公式和同角三角函数的关系，
化简原式．
故答案选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属于基础题．
利用奇偶性定义判断 的奇偶性，根据解析式结合指数函数的单调性判断 的单调性即可．
【解答】
解：由
且函数定义域为，故 为奇函数，
又 是增函数， 为减函数，
为增函数．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的定义，属于基础题．
由三角函数的定义可列方程解出 ，需注意 的范围．
【解答】
解：由三角函数定义 ，
解得 ，由 ，知 ，则 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数的运算，属于中档题．
根据题意可得，，然后可得，，进而即可求得结果．
【解答】
解：依题意得，，
因此，，
所以
．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数性质，涉及辅助角公式．
化简已知条件，结合，求得 的值．
【解答】
解：依题意 ，
，
所以 ， ，
由于 ，所以 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数图像的识别．
先判断奇偶性排除，再利用 排除，求导判断单调性可排除．
【解答】
解：因为函数的定义域为，且 ，所以 为偶函数，排除；
因为 ，排除；
当 时， ， ，
当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，排除．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图象变换及零点问题，属于较难题．
根据的图象变换规律，求得的解析式，根据定义域求出的范围，再利用正弦函数的图象和性质，求得的取值范围．
【解答】
解：函数的图象先向右平移个单位长度，可得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，
得到函数的图象，周期，
由，则，
若函数在上没有零点，结合正弦函数的图象观察
则
，
，解得，
又，解得，
当时，解，当时，，可得，
．
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合交集运算，属于基础题．
由对数函数单调性，求出集合，再根据交集的定义即可求解．
【解答】
解： ， ，
，
故答案为： ．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数的零点，属于基础题．
分段分别求出的根，即可得到函数的零点个数．
【解答】
解：当时，，
令得，或，
当时，，
令得，，
综上所述，函数的零点为，，，零点个数为，
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
利用基本不等式中“”的妙用即可求解．
【解答】
解：因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的图象与性质，属于基础题．
由图象可得最小正周期 的值，进而可得 ，又函数图象过点 ，利用 即可求解．
【解答】
解：由图可知 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
因为函数 的图象过点 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数在实际生活中的应用，属于中档题．
借助三角函数模型，设 ，以轴心 为原点，与地面平行的直线为 轴，建立直角坐标系，由题意求出解析式，再令 ，解三角不等式即可得答案．
【解答】
解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点 ，
以轴心 为原点，与地面平行的直线为 轴，建立直角坐标系．
设 时，南鸢同学位于点 ，以 为终边的角为 ，
根据摩天轮转一周大约需要 ，可知座舱转动的角速度约为 ，
由题意，可得 ， ，
令 ， ，可得 ，
所以南鸢同学可以拍到最美景色的时间是 分钟，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数与不等式综合，属于中档题．
原问题等价于 时， 恒成立和 时， 恒成立，从而即可求解．
【解答】
解：由题意，因为 ，不等式 恒成立，
所以 时， 恒成立，即 ，所以 ；
时， 恒成立，即 ，
令 ，
则 ，
由对勾函数的单调性知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 时， ，所以 ；
综上， 所以 的取值范围是 ．
故答案为：
17.【答案】解：依题意，
；
将 两边平方得， ，
即 ，即 ，
所以 ．
【解析】本题考查同角三角函数的基本关系以及三角恒等变换，属于中档题．
利用凑特殊角的方法结合和角的正弦公式化简求解作答；
将给定等式两边平方，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系计算作答．
18.【答案】解：依题意， ，
则 ，由 ，解得 ，
所以函数 的最小正周期为 ，对称轴方程为 ．
由知，因 ，则 ，
而正弦函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 解得 ，由 解得 ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，
，而 ，即 ，
所以函数 的单调递减区间是 ，值域为 ．
【解析】本题考查三角恒等变换以及正弦型函数性质，属于中档题．
利用倍角公式、辅助角公式化简函数 ，结合正弦函数的性质计算作答．
确定函数 的相位范围，再借助正弦函数的性质计算作答．
19.【答案】解：由题意知
要使 有意义，则有 ，得
所以函数的定义域为：
由知函数的定义域为： ，关于原点对称，
函数 为 上的奇函数．
，
假设存在这样的实数 ，则由
可知
令 ，则 在 上递减，
在 上递减，
是方程 ，即 在 上的两个实数解，
问题转化为：关于 的方程 在 上有两个不同的实数解
令 ，
则有 ，
解得 ，又 ， ，
所以不存在实数，使得当时，的值域为．
【解析】本题考查对数型函数综合应用，属于较难题．
根据真数大于，分别求和定义域，为这两个定义域的交集；
根据函数奇偶性的定义，即可判断；
先根据定义域和值域求出，，的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题．
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