1.4 有理数的乘除法
一、单选题
1．（2022秋·广西贵港·七年级统考期末）的倒数是（ ）
A．2022 B． C． D．
2．（2022秋·广西贵港·七年级统考期末）已知数，在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·广西贺州·七年级统考期末）（-3）×2的结果是（ ）
A．-1 B．1 C．-6 D．-5
4．（2022秋·广西防城港·七年级统考期末）5的相反数的倒数是（ ）
A． B．5 C． D．
5．（2022秋·广西柳州·七年级统考期末）对有理数a，b，规定运算如下：a※b＝a＋ab，则－2※3的值为( )
A．－10 B．－8
C．－6 D．－4
6．（2022秋·广西钦州·七年级统考期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c．下列结论：①a+b+c>0；②abc>0；③a+b c<0；④0<<1．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③
7．（2022秋·广西河池·七年级统考期末）甲、乙二人从第一层开始比赛爬楼梯，甲爬到第4层时，乙恰好爬到第3层，照这样的速度，甲爬到第16层时，乙爬到第（ ）层．
A．9 B．10 C．11 D．12
8．（2022秋·广西南宁·七年级统考期末）下列算式中，积为负数的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022秋·广西柳州·七年级期末）若x是不等于1的有理数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，而是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……以此类推，则等于（ ）
A． B． C． D．3
10．（2022秋·广西北海·七年级统考期末）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022秋·广西桂林·七年级统考期末）如图，数轴上a，b，c三个数所对应的点分别为A，B，C，已知：，且b的倒数是它本身，且a，c满足．，若将数轴左右折叠，使得点A与点B重合，则与点C重合的点表示的数是 ．
12．（2022秋·广西桂林·七年级统考期末）4的倒数为 ；3的相反数是 ；的绝对值是 ．
13．（2022秋·广西防城港·七年级统考期末）化简 ．
14．（2022秋·广西南宁·七年级期末期末）定义一种新运算：（）；（），则的值 ．
三、解答题
15．（2022秋·广西防城港·七年级统考期末）食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值（单位：克） -5 -2 0 1 3 6
袋 数 1 4 3 4 5 3
(1)这批样品的平均质量比标准质量多还是少？
(2)若每袋标准质量为500克，则抽样检测的总质量是多少？
16．（2022秋·广西钦州·七年级统考期末）某食品厂在产品中抽出20袋样品，检查其重量是否达标，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示：
与标准重量的差（单位：克） -4 -2 -1 0 3 4 7
袋数 2 5 1 6 3 2 1
（1）这批样品的平均重量比标准重量多还是少，多或少几克？
（2）若每袋标准重量为600克，则这批样品的总重量是多少？
17．（2022秋·广西贺州·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)
18．（2022秋·广西玉林·七年级统考期末）某果农把自家果园的草莓包装后再进行销售，原计划每天卖10箱，但由种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有所增减，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足额记为负，单位：箱）
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值
(1)根据表格可知，销售量最多的一天比最少的一天多卖出__________箱；
(2)本周实际销售总量超过或不足计划数量多少箱？请通过计算说明理由；
(3)若每箱草莓的售价为65元，已知果园有3个工人，每人每天的开支为80元，卖出每箱草莓需支出包装费5元，那么该果农本周共获利多少元？
19．（2022秋·广西柳州·七年级期末）暴雨天气，交通事故频发，一辆警车从位于一条南北走向的主干道上的某交警大队出发，一整天都王这条主干道上执勤和处理事故，如果规定向北行驶为正，那么这辆警车这天处理交通事故行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，．
请问：
(1)第几个交通事故刚好发生在该交警大队门口？
(2)当交警处理完最后一个事故时，该警车在哪个位置？
(3)如果警车的耗油量为每千米0.1升，那么这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油多少？
20．（2022秋·广西南宁·七年级期末期末）计算：
21．（2022秋·广西南宁·七年级期末）出租车司机小李某段时间在东西走向的大街上进行营运，规定向东为正，向西为负，他所接送的六位乘客的里程如下：（单位：千米），+6，，+3.5，，．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李处在第一次出发时的什么位置？
(2)若小李这段时间共耗油3升，则出租车的耗油量是每千米多少升？（精确到0.01升）
(3)小李预计每月行驶里程为0.8万千米，若每升油的价格为8.5元，那么小李每月在耗油方面需要多少元？
22．（2022秋·广西玉林·七年级统考期末）有20袋大米，以每袋25千克为标准．超过或不足的千克数分别用正负数来表示．
记录如下表：
与标准质量的差值（单位：千克） 0 0.5 1.5 2.5
袋数 1 2 3 5 4 3 2
(1)20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？
(2)与标准重量比较，20袋大米总计超过多少千克或不足多少千克？
(3)若大米每千克售价6元，出售这20袋大米可卖多少元？
23．（2022秋·广西南宁·七年级期末）年月日到日，第十九届中国东盟博览会在广西南宁举行．为保障会场周边道路安全，某巡警大队一巡逻车沿东西方向的民族大道来回巡逻，早晨从A地出发，傍晚到达B地，约定向东为正方向，当天行驶路程记录如下：，，，，，，，（单位：千米）
(1)第______次行驶后距地最远．
(2)B地在A地什么方向？距离A地多远？
(3)若汽车每千米耗油升，出发前汽车油箱有油升，求到达B地后汽车还剩多少油？
24．（2022秋·广西玉林·七年级期末）某果农把自家果园的草莓包装后再进行销售，原计划每天卖10箱，但由种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有所增减，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足额记为负，单位：箱）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值
(1)根据表格可知，销售量最多的一天比最少的一天多卖出 箱；
(2)本周实际销售总量超过或不足计划数量多少箱？请通过计算说明理由；
(3)若每箱草莓的售价为65元，已知果园有3个工人，每人每天的开支为80元，卖出每箱草莓需支出包装费5元，那么该果农本周共获利多少元？
25．（2022秋·广西南宁·七年级统考期末）运算律是解决许多数学问题的基础，在运算中有重要的作用，充分运用运算律能使计算简便高效．
例如：．
解：．
(1)计算：，A同学的计算过程如下：
原式．
请你判断A同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
(2)请你参考例题，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：．
参考答案：
1．C
【分析】利用倒数的定义得出答案．
【详解】解：，
是的倒数，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．相乘等于1的两个数互为倒数．
2．C
【分析】根据数轴得出，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可．
【详解】解：从数轴可知：，
A、，故原式不正确；
B、，故原式不正确；
C、，故原式正确；
D、，故原式不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对法则的理解能力，难度不是很大．
3．C
【分析】根据有理数乘法的运算法则计算即可得答案．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查有理数乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘都得0，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．C
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，两数相乘为1的数互为倒数．
【详解】解：5的相反数为，的倒数为，故5的相反数的倒数是．
故答案为：C．
【点睛】本题考查倒数和相反数．熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键．
5．B
【分析】根据新定义,将－2※3转换成正常运算即可解题.
【详解】解：由题可知－2※3=-2+（-2）3=-2-6=-8
故选B.
【点睛】本题考查了有理数的运算,属于简单题,将新定义式转换成正常运算式是解题关键.
6．B
【分析】先由数轴得出a＜-2＜b＜-1＜0＜c＜1，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则等分别分析，可得答案．
【详解】解：由数轴可得：
a＜-2＜b＜-1＜0＜c＜1，
∴a+b+c＜0，故①错误；
∵a，b，c中两负一正，
∴abc＞0，故②正确；
∵a＜0，b＜0，c＞0，
∴a+b-c＜0，故③正确；
∵a＜-2＜b＜-1，
∴0＜＜1，故④正确．
综上，可知，正确的是②③④．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键．
7．C
【分析】根据题意可以求得甲乙两人的速度的关系，然后即可得到甲爬到第16层时，乙爬到第几层，本题得以解决．
【详解】解：设每两层楼之间的距离为，
则甲从第一层到第四层爬的高度是，乙从第一层到第三层爬的高度是，
故甲的速度是乙的速度的倍，
甲爬到16层，爬了，则乙爬了，故此时乙爬到11层，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的除法，解答本题的关键是明确题意，求出甲爬到第16层时，乙爬到第几层．
8．D
【分析】根据几个非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，任何数乘0，都得0，进行判断即可．
【详解】解：，不符合题意；
B、，2个负号，积为正数，不符合题意；
C、，2个负号，积为正数，不符合题意；
D、，3个负号，积为负数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查有理数乘法的符号法则．熟练掌握同号为正，异号为负，任何数乘0，都得0，以及几个非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，然后即可发现数字的变化特点，从而可以得到的值．
【详解】解：由题意可得，
解：∵，是的差倒数，，
∴,
同理可得，
，
，
，
依此规律得出结果每三个数一循环，
∵，
∴
故选C．
【点睛】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点．
10．D
【分析】将变形为，根据有理数的乘法法则，约分化简即可．
【详解】解：
．
故选D．
【点睛】本题考查有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11．
【分析】由数轴和题意得到，由非负数的性质，求出，，然后根据折叠的性质，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵，且b的倒数是它本身，
∴，
∵，
∴，，
∵将数轴左右折叠，使得点A与点B重合，
∴折叠的点为，
∴与点C重合的点表示的数是；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数轴及数轴上两点间的距离公式的运用，非负数的性质，倒数的定义，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
12． 3
【分析】互为倒数的两个数的积等于1；互为相反数的两个数的和等于0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；
【详解】解：根据定义得：4的倒数是；3的相反数是﹣3；﹣3的绝对值是﹣（﹣3）=3；
故答案为：；﹣3；3
【点睛】本题考查有理数的运算，倒数、相反数、绝对值的概念，掌握概念是解题的关键．
13．
【分析】根据分数的基本性质，分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变．约分的依据是分数的基本性质，把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分．分子和分母的公因数只有1的分数，就是最简分数，由此解答即可．
【详解】解：
故填：
【点睛】本题考查分数的基本性质和最简分数的意义．
14．
【分析】根据定义的新运算进行即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题是新定义问题，考查了有理数的四则混合运算，明确题中的新定义是关键．
15．(1)这批样品的平均质量比标准质量多，每袋都1.2克
(2)抽样检测的20袋样品总质量是10024克
【分析】（1）根据有理数的加法，可得总质量比标准质量多，根据平均数的意义，可得答案；
（2）根据标准质量加上比标准质量多的，可得答案．
【详解】（1）解：根据题意，得：
（-5）×1+（-2）×4+0×3+1×4+3×5+6×3=-5+（-8）+4+15+18=24（克），
平均质量为24÷20=1.2（克），
答：这批样品的平均质量比标准质量多，每袋多1.2克；
（2）500×20+24=10024（克），
答：抽样检测总质量是10024克．
【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数混合计算的实际应用，熟知相关计算法则是解题的关键．
16．（1）这批样品的平均重量比标准重量多，多0.25克；（2）这批样品的总重量是12005克
【分析】（1）根据表格中的数据先求出20袋样本与标准重量的差值和，然后求出平均数即可得到答案；
（2）根据（1）中所求结果进行求解即可．
【详解】解：（1）
克，
克，
∴这批样品的平均重量比标准重量多，多0.25克，
答：这批样品的平均重量比标准重量多，多0.25克；
（2）由题意得：这批样品的总重量是克，
答：这批样品的总重量是12005克．
【点睛】本题主要考查了有理数混合计算的应用，解题的关键在于能够熟练掌握有理数混合计算法则．
17．(1)0
(2)3
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可；
（2）利用有理数的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握和运用有理数混合运算的法则是解决本题的关键．
18．(1)24；
(2)超过13箱；理由见解析
(3)3300元．
【分析】（1）用记录中的最大数减去最小数即可；
（2）将表格中记录的数据相加得出结果，结果的符号表示达到或不足，结果的绝对值表示达到或不足的数量；
（3）利用本周的总收入减去总支出即得结论．
【详解】（1）解：（箱），
即销售量最多的一天比最少的一天多卖出24箱，
故答案为：24；
（2），
答：本周实际销售总量超过13箱；
（3）
（元），
答：该果农本周共获利3300元．
【点睛】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算，解题的关键是正确列出算式并掌握相关运算法则．
19．(1)第5个交通事故刚好发生在某交警大队门口
(2)当交警车辆处理完最后一个事故时，该车辆在交警大队南边6千米的位置
(3)这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油4.2升
【分析】（1）处理交通事故行车的里程和为0时，表示交通事故刚好发生在某交警大队门口；
（2）求出处理交通事故行车的里程之和，即可得到答案；
（3）求出警车从出发执勤到回到交警大队所行驶的路程，再乘耗油量即可得到答案．
【详解】（1）∵，
∴第个交通事故刚好发生在某交警大队门口；
（2）∵，
∴当交警车辆处理完最后一个事故时，该车辆在交警大队南边千米的位置；
（3）（升），
答：这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油升．
【点睛】本题考查有理数的加法、有理数的乘法应用，解题的关键是掌握加法法则及理解正负数的意义．
20．
【分析】先化除法为乘法，然后根据有理数的乘法运算，即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的乘法运算．
21．(1)小李处在第一次出发时的正西方向的千米处
(2)每千米的耗油量为0.07升
(3)小李每月在耗油方面需要元
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位耗油量=耗油量÷行驶路程，可得答案．
（3）单位耗油量×行驶里程×每升价格可得答案．
【详解】（1）根据题意有：（千米），
根据向东为正，向西为负，
可知小李处在第一次出发时的正西方向的千米处；
（2）行驶的总里程为：（千米），
则该车的耗油量为：（升），
答：每千米的耗油量为0.07升．
（3）根据题意有：（元），
答：小李每月在耗油方面需要元．
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的运算等知识，解题的关键是利用单位耗油量乘以行驶路程等于耗油量．
22．(1)最重的一袋比最轻的一袋重千克
(2)20 袋大米总计超过千克
(3)出售这 20 袋大米可卖元
【分析】（1）根据表格中的数据可以求得20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克；
（2）根据表格中的数据可以求得与标准重量比较，20袋大米总计超过或不足多少千克；
（3）根据题意和（2）中的结果结合有理加法及乘法运算即可解答本题．
【详解】（1）解：最重的一袋重千克，最轻的一袋重千克，
20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重：（千克），
答：最重的一袋比最轻的一袋重千克；
（2）解：（千克），
答：20 袋大米总计超过千克；
（3）解：
（元），
答：出售这 20 袋大米可卖元．
【点睛】本题考查正数和负数的实际应用，涉及有理数加减和乘法运算，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．
23．(1)七
(2)B地在A地的正东方向，距离A地千米；
(3)到达B地后汽车还剩升油．
【分析】（1）分别算出各点的位置，取绝对值最大的点即可；
（2）首先根据有理数的加减混合运算，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可；
（3）先求出当天行驶记录的绝对值的和，再用汽车汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出该天需要耗油多少升，即可求到达B地后汽车还剩多少油．
【详解】（1）解：∵路程记录中各点离出发点的距离为：
千米；
千米；
千米；
千米；
千米；
千米；
千米；
千米．
∴第七次行驶后距离地最远．
故答案为：七;
（2）解：∵(千米)，
∴B地在A地的正东方向，距离A地千米；
（3）解：这一天走的总路程为：(千米)，
应耗油(升)，
(升)，
答：到达B地后汽车还剩升油．
【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，有理数的混合运算的应用，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．
24．(1)
(2)超过计划箱
(3)
【分析】（1）用销售最多的数量减去销售最少的数量即可；
（2）把与计划量的差值相加即可得解；
（3）先求得草莓的总数，然后根据售价乘以数量，减去工人开支与包装费即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
∴超过计划箱，
（3）解：
（元）
答：该果农本周共获利元．
【点睛】本题主要考查了正负数的应用和有理数混合运算，准确计算是解题的关键．
25．(1)A同学的计算是错误的，过程见解析
(2)0
【分析】（1）先说明A同学的错误，再把除法变为乘法，最后运用运算律去括号计算即可；
（2）先根据积不变规律变形，再根据乘法运算律可以解答本题．
【详解】（1）解：∵A同学运用乘法分配律时第二个数的符号处理错误，
∴A同学的计算是错误的，
原式=．
（2）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的乘法分配律，解答本题的关键是明确有理数的乘法分配律的计算方法．
