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陕西省、青海省、四川省名校联盟2023-2024学年高三第二次月考复习模拟卷（理）01
（集合与逻辑语句，函数，导数，三角函数与解三角形）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
2．已知命题：，使成立，则为（ ）。
A、，使成立 B、，使成立
C、，使成立 D、，使成立
3．点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）。
A、 B、 C、 D、
4．函数的图像可能是（ ）。
A、 B、 C、 D、
5．科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基在年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大满足公式：，其中、分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度。己知某实验用的单级火箭模型结构质量为，若添加推进剂，火箭的最大速度为，若添加推进剂，则火箭的最大速度约为（ ）。
参考数据：、。
A、 B、 C、 D、
6．在中，角、、的对边分别是、、，若，且，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
7．已知函数的图像在点处的切线斜率为，且函数在处取得极大值，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
8．已知，若：，：，则是的（ ）。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
9．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
10．已知表示不超过的最大整数（），如：，，。定义，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
11．如图所示，已知函数（，）的图像与轴的交点中，离轴最近的是点，点为图像的一个最高点，若点、均在函数的图像上，则的值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
12．三个互异的正数、、满足：、，则关于、、下列判断正确的是（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共20分。
13．化为角度是 。
14．在对应法则的作用下中元素与中元素一一对应，则与中元素对应的中元素是 。
15．设，，若对于任意实数都有，则满足条件的的所有取值的和为
。
16．若对于曲线上的任意一点处的切线，总存在曲线上的一点处的切线，使，则实数的取值范围为 。
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知函数。
（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；
（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围。
18．（本小题满分12分）设，命题：函数在上单调递减，命题：不等式的解集是。若命题与命题一真一假，求实数的取值范围。
19．（本小题满分12分）函数的最小值为，。
（1）求的解析式；
（2）若，求及此时的最大值。
20．（本小题满分12分）在中，内角、、的对边分别为、、，且满足：
。
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
21．（本小题满分12分）已知函数（）。
（1）若，函数在区间上的最小值为，求的值；
（2）设，若函数有极值，求实数的取值范围。
22．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）当时，求过原点且与相切的直线方程；
（2）若（）有两个不同的零点、（），不等式恒成立，求实数的取值范围。绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
陕西省、青海省、四川省名校联盟2023-2024学年高三第二次月考复习模拟卷（理）01
（集合与逻辑语句，函数，导数，三角函数与解三角形）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】，故选B。
2．已知命题：，使成立，则为（ ）。
A、，使成立 B、，使成立
C、，使成立 D、，使成立
【答案】B
【解析】为前不否后否，但前有量词必须改量词，故选B。
3．点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】设，则，，∴，故选B。
4．函数的图像可能是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】定义域为，
且，则为奇函数，排除了B、C，
当时，，
当时，，且，∴时，故选A。
5．科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基在年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大满足公式：，其中、分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度。己知某实验用的单级火箭模型结构质量为，若添加推进剂，火箭的最大速度为，若添加推进剂，则火箭的最大速度约为（ ）。
参考数据：、。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】由题意可知，则，
∴，故选C。
6．在中，角、、的对边分别是、、，若，且，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由三角形面积公式可得，∴，
∴，故选A。
7．已知函数的图像在点处的切线斜率为，且函数在处取得极大值，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】，由题意得：，解得，时，在处取得极值，
∴，故选C。
8．已知，若：，：，则是的（ ）。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】不能推出，当、时，满足：，但不满足：；
能推出，当时，，
∴是的必要不充分条件，选B。
9．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】令，，则，
若，则，∴，单调递增，，不符合题题意，舍去，
若，那么，不符合题题意，舍去，
若时，显然，∴在定义域单调递减，无限接近但小于，成立，
若时，，则，∴恒成立，
∴在定义域单调递减，无限接近但小于，成立，
∴，故选B。
10．已知表示不超过的最大整数（），如：，，。定义，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】，，
同理可知，，…，且，
∴
，故选B。
11．如图所示，已知函数（，）的图像与轴的交点中，离轴最近的是点，点为图像的一个最高点，若点、均在函数的图像上，则的值为（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】B
【解析】由解得或，∴点在函数的图像上，
由解得或，∴点在函数的图像上，
则的周期，∴，，
由得，，又，则，故选B。
12．三个互异的正数、、满足：、，则关于、、下列判断正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵，∴，
设（），则，令，解得，
当时，，∴在内单调递减，
当时，，∴在内单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值为，
当，时，，
设，易知在上单调递减，且，
∴，∴，∴，
又，∴，∴，∴，
当，时，，
设，易知在上单调递减，且，
∴，∴，∴，
又，∴，∴，∴，
综上可得成立，故选D。
二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共20分。
13．化为角度是 。
【答案】
【解析】。
14．在对应法则的作用下中元素与中元素一一对应，则与中元素对应的中元素是 。
【答案】
【解析】依题意可得，解得，∴与中元素对应的中元素是。
15．设，，若对于任意实数都有，则满足条件的的所有取值的和为
。
【答案】
【解析】∵对任意实数都有，∴，
当时，方程等价于，则两函数周期相同，即，
当时，，此时，又，则，
当时，，此时，又，则，
当时，方程等价于，则两函数周期相同，即，
当时，，此时，又，则，
当时，，此时，又，则，
综上可取、、、，和为。
16．若对于曲线上的任意一点处的切线，总存在曲线上的一点处的切线，使，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】∵的导函数，
设上任意一点，∴处的切线的斜率，则，
∵的导函数，
设上任意一点，∴处的切线的斜率，则，
又∵，恒成立，∴，即，
则，，则，解得，
则实数的取值范围为。
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知函数。
（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；
（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围。
【解析】（1）由题意得，解得，则函数的定义域为， 2分
其定义域关于原点对称，又，则函数是偶函数； 4分
（2），∵，∴，∴，
∴，即， 8分
∴要使不等式的解集为空集，则，∴实数的取值范围是。 10分
18．（本小题满分12分）设，命题：函数在上单调递减，命题：不等式的解集是。若命题与命题一真一假，求实数的取值范围。
【解析】当为真命题时，根据对数函数的性质可得，解得， 3分
当为真命题时，设，
当即时，化为，其解集不是，舍去，
当即时，解集为，
要求，解得，
当即时，解集恒不为，舍去，
∴当为真命题时，， 8分
由已知得、两个命题有且只有一个命题，由两种情况：真假或假真，
当真假时有，解集为，当假真时有，解集为，
综上所述，实数的取值范围为。 12分
19．（本小题满分12分）函数的最小值为，。
（1）求的解析式；
（2）若，求及此时的最大值。
【解析】（1）∵，
若，即，则当时，有最小值，
若，即，则当时，有最小值，
若，即，则当时，有最小值，
∴； 6分
（2）若，由所求的解析式知只能是或，
由解得或（舍），由解得（舍），
此时，得，
∴，应有，此时的最大值是。 12分
20．（本小题满分12分）在中，内角、、的对边分别为、、，且满足：
。
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
【解析】（1）在中，，
∵，∴，
∴由正弦定理得：，即， 3分
∴由余弦定理得：，∵，∴； 5分
（2）由正弦定理得：，∴、， 6分
∴
， 10分
∵为锐角三角形，∴且，解得，
∴，∴，
∴。 12分
21．（本小题满分12分）已知函数（）。
（1）若，函数在区间上的最小值为，求的值；
（2）设，若函数有极值，求实数的取值范围。
【解析】（1）的定义域为，，若，则恒成立，∴在上单调递增，2分
∴函数在区间上的最小值为，则； 4分
（2）由题意得：（），的定义域为， 5分
则，而，当且仅当时取等号，分两种情况： 6分
①当时，对任意，恒成立，此时无极值， 7分
②当时，令，方程有两根，，， 8分
∴有两个根，， 9分
当时，，在区间上单调递减，
当或时，在区间和上单调递增， 10分
从而在处取极大值，在处取极小值， 11分
综上所述，若函数有极值，则实数的取值范围为。 12分
22．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）当时，求过原点且与相切的直线方程；
（2）若（）有两个不同的零点、（），不等式恒成立，求实数的取值范围。
【解析】（1）当时，，定义域为，，设切点， 1分
∴，∴，即，解得， 3分
∴，，∴切线方程为：，即； 4分
（2）有两个不同零点、（），
则，， 5分
构造函数，则恒成立，∴为增函数，且，
即有两个不等实根、（），则，
令，，则，，∴，
则、，∴，
而两边取对数，可转化为，即，， 8分
由，可得：，即，
设，定义域为，则，
∵，∴在上单调递减，∴， 9分
①当，即时，，∴当时，，符合题意， 10分
②当，即时，存在，使得，
当时，，∴在内单调递增，
当时，，∴在内单调递减，
∴在处取得极大值也是最大值，∴，不符合题意， 11分
综上所述，实数的取值范围为。 12分
