永宁县 2023-2024 学年第一学期月考（一） 6．已知向量 a 2, 1,3 ，b 1,4, 2 ， c 7,5, ，若 a，b， c共面，则实数 （ ）
62 64 60 65
A． B． C． D．
高二数学试卷 7 7 7 7
7．已知直线 l：ax y 2 0 和点 P(2,1)，Q( 3, 2)，若 l与线段 PQ相交，则实数 a的取值范围是（ ）
3 a 2 a 3 a 2 4 a 3 4 3A． B． 或 C． D． a 或 a
班级： 姓名： 考号： . 4 3 4 3 3 2 3 2
时间: 120 分钟 分值：150 分 8. ABCD AB如图，在棱长为 1的正方体 1 1C1D1 DD中，E为线段 1 F BB的中点， 为线段 1 的中点．
一、单项选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 直线 FC1 到平面 AB1E的距离为（ ）．
项是符合题目要求的)
A. 5 B. 30
1．下列向量中，与向量 = ( , , )，平行的是（ ） 3 5
2 1 2 1
A．(1，1，1) B．(－2，3，1) C． － ， 1，－ D
C. D. .
．(－2，－1，1) 3
3 3 3
二、多项选择题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多个
2．如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，E为 A1C1的中点．若 BE ＝x AA1 ＋y AB＋z AD，
选项是符合题目要求的，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分)
则（ ）
9．下列说法正确的有（ ）．
1 1
A．x＝1， y＝－ ， z＝
2 2 A．直线 y ax 3a 2过定点 3,2
1 1
B．x＝1， y＝ ， z＝－ B．过点(2,-1)且斜率为 3 的直线的点斜式方程为 y 1 3 x 2
2 2
C．斜率为 2，在 y轴上的截距为 3的直线方程为 y 2x 3
x 1
1
C． ＝ ，y＝1， z
2 2 D．经过点 1,1 且在 x轴和 y轴上截距相等的直线方程为 x y 2 0
1 1 10.已知向量 = ( , , )， = ( , , )，则下列结论中正确的是（ ）
D． x＝－ ，y＝1， z＝
2 2 A．若| | = ，则 =± B．若 ⊥ ，则 =
3．在空间直角坐标系中，已知点 P(1，2，3)，则下列说法错．误．的是（ ） C．不存在实数 ，使得 = D．若 = ，则 + = ( , , )
A．点 P关于坐标原点对称点的坐标为(－1，－2，－3)
11．给出下列命题，其中正确的是（ ）
B．点 P在 x轴上的射影点的坐标为(1，0，0)
A.对空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 = ，则 ， ， ，
C．点 P关于 Oyz平面对称点的坐标为(1，－2，－3)
四点共面
D．点 P在 Oyz平面上的射影点的坐标为(0，2，3)
4 x my 3 0 4mx y 6 0 m B.若 ， 是两个不共线的向量，且 = +
, ∈ , , ≠ ，则 , , 构成空间的一个
．若直线 与直线 平行，则 （ ）
1 1 基底
A 1 1． 2 B． C． 或 D．不存在2 2 2 1 3 C．若空间四个点 P，A，B，C满足 PC PA PB，则 A，B，C三点共线
5. 4 4已知直线 的方向向量 = ( , , )，直线 的方向向量 = ( , , )，若 = 且 ⊥ ，则 +
D．平面
的一个法向量为 = ( , , )，平面 的一个法向量为 的值是（ ） = ( , , ).若 / / ，
A．-3或 1 B．3或-1 C．-3 D．1 则 k = 8
高二数学试卷 第 1页（共 2 页）
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12.在四面体 P－ABC中，下列命题中正确的是( )． 19. (本小题满分 12分)如图，在长方体 中， = = = ，E为线段
1 2 AD AC AB 的中点，F为线段 的中点．A．若 ＝ ＋ ，则
3 3 BC
＝3BD
(1)求直线 到直线 的距离；
1 PQ PA 1 PB 1
B．若 Q为△ABC的重心，则 ＝ ＋ ＋ PC (2)求点 到平面 的距离．3 3 3
C．若 PA BC＝0 ， PC AB＝0 ，则 PB AC＝0
D．若四面体 P－ABC各棱长都为 2，M，N分别为 PA，BC的中点，则 |MN |＝1
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分) 20． (本小题满分 12分)如图，四棱锥 P－ABCD 中，平面 PBC⊥平面 ABCD，BC⊥平面
13．已知直线 l1 : 3x y 5 0，若直线 l2 l1，则直线 l2的倾斜角大小为_____________． PCD， DA∥BC，CB＝CD＝CP＝3AD＝3．点 F为 PA的中点，点 E在 CD上，且 CE＝1．
14．已知空间向量 = ( , , ), = ( , , )，则向量 在向量 上投影向量的坐标是________ ． (1)求证：BE⊥CF；
(2)求平面 ABP与平面 BPC夹角的余弦值．
15．已知直线 l的一个方向向量为m 1, 2, 1 ，若点 P 1, 1, 1 为直线 l外一点，A 4,1, 2 为
直线 l上一点，则点 P到直线 l的距离为_____ .
16．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其
形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长 a，b，c
及棱间交角α，β，γ(合称为“晶胞参数”)来表征．如图是某种晶体 21．(本小题满分 12)如图，梯形 ABCD中， AB BC 1， AD 2， CBA BAD 90 ，沿对
的晶胞，其中 a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°， 角线 AC将 ABC折起，使点 B在平面 ACD内的投影 O恰在 AC上.
γ＝120°，则该晶胞的对角线 AC1的长为 . (1)求证: AB 平面 BCD ;
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (2)求异面直线BC与 AD所成的角;
17.(本小题满分 10分)三角形的三个顶点是 A(4,0)， B(6,7)，C (0,3) .
（1）求 BC边上的高所在直线的方程. （2）求 BC边的垂直平分线的方程.
22.(本小题满分 12分)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，AA1＝A1C＝
AC＝2，AB＝BC，且 AB⊥BC，O为 AC中点．
(1)求直线 A1C与平面 A1AB所成角的正弦值；
18.(本小题满分 12分)已知 ＝(x,4,1)， ＝(－2，y，－1)， c＝(3，－2，z)， ∥ ， ⊥ c，求： (2)在 BC1上是否存在一点 E，使得 OE∥平面 A1AB？若不存在，说明理由；若存在，确定点 E
(1) ， ， c； (2)) ＋ c与 ＋ c夹角的余弦值． 的位置．
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{#{QQABDQAUogCoQAIAAQgCQQWACAAQkBGAAAoGRAAIMAABABNABAA=}#}永宁县 2023-2024 学年第一学期月考（一）高二年级数学试卷 2所以 a＋c 与 b＋c 夹角的余弦值为－ .。。。。。。。。。。12 分
19
参考答案
19 解【解答过程】（1）建立如图所示以 为 x 轴、y 轴、z轴的空间直角坐标系，
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A C B A D D D AB ACD CD ABC
则 ，
二、填空题
，.。。。。。。。。。。2 分
题号 13 14 15 16
答案 5 18 27 18 10.
6
， ， ，
17 17 17
17
二、解答题（共 70 分） ，故 ，。。。。。。。。。。4 分
k 7 3 217 解：【详解】（1） BC边所在的直线的斜率 。。。。。。。。。。。1 分
6 0 3 设直线 到直线 的距离为 ，则 即为 F 到直线 的距离；
因为BC边上的高与 BC垂直，
3
所以BC边上的高所在直线的斜率为 。。。。。。。。。。。。3 分
2
∴
又 BC边上的高经过点 A 4,0
3
所以BC边上的高所在的直线方程为 y 0 (x 4)即3x 2y 12 0 .。。。。。。。。。。5 分
2 则直线 到直线 的距离为 ．。，。。。。。。。。。。。6 分
k 2（2）由（1）得， BC边所在直线斜率 。。。。。。。。。。6 分
3 （2）设平面 的法向量为 ，
3
所以BC边垂直平分线斜率为 。。。。。。。。。。7 分
2
由 ，。。。。。。。。。。。。8 分
BC的中点坐标 3,5 。。。。。。。。8 分
3
BC 令 ，则 ，所以 。。。。。。。。。。。。。。。10 分所以 边垂直平分线方程 y 5 (x 3)即3x 2y 19 0。。。。。。。。。。10 分
2
x 4 1
18. [解析] (1)因为 a∥b，所以 ＝ ＝ ，。，。。。。。。。1 分
－2 y －1 设点 到平面 的距离为 ， ∴ ，
解得 x＝2，y＝－4，.。。。。。。。3 分
则 a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又 b⊥c，所以 b·c＝0，即－6＋8－z＝0，。。。。。。。。4 分 则点 到平面 的距离为 ．。。。。。。。。。。。。。12 分
解得 z＝2，于是 c＝(3，－2,2)．。。。。。。。。。。。。6 分
20.[解析]．(1)因为平面 PBC⊥平面 ABCD，∠BCP＝90°，所以 PC⊥平面 ABCD，。。。。。。。。。。2 分
(2)由(1)得 a＋c＝(5,2,3)，。。。。。。。。8 分
建立如图所示的空间直角坐标系，可得 A(－1，3，0)，B(－3，0，0)，C(0，0，0)，D(0，3，0)，
b＋c＝(1，－6,1)，。。。。。。。。。。10 分
F 1 3 3 5－12＋3 2 E(0，1，0)， － ， ， ．。。。。。。。，。。。4 分
设 a＋c 与 b＋c 的夹角为θ， 因为 cos θ＝ ＝－ . 2 2 2
38· 38 19 1 3 3
因为 BE＝(3，1，0)，CF＝ － ， ， ，所以2 2 2 BE CF＝0
，
1
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可得 BE⊥CF；.。。。。。。。。。6 分
(2) 由已知得平面 BPC 的一个法向量为(0，1，0)．。。。。。。。8 分 22. [解析](1)如图，因为 A1A＝A1C，且 O 为 AC 的中点，所以 A1O⊥AC，.....。。。。。.1 分
BA n＝0， 2x＋3y＝0， 平面 AA1C1C⊥平面 ABC，交线为 AC，且 A1O 平面 AA1C1C，所以 A1O⊥平面 ABC．.。。。。。。。。2 分
设平面 ABP 的法向量 n＝(x，y，z)．由 可得
BP n＝0， 3x＋3z＝0， 以 O 为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系．
所以平面 ABP 的一个法向量 n＝(3，－2，－3)，。。。。。。。。。10 分 1由题意可知，A1A＝A1C＝AC＝2，又 AB＝BC，AB⊥BC，∴OB＝ AC＝1．2
22
所以平面 ABP 与平面 BPC 夹角的余弦值为 cos ＝ ．。。。。。。。。。12 分
11 所以 O(0，0，0)，A(0，－1，0)，A1(0，0， 3 )，C(0，1，0)，
21.【详解】（1）因为 AB BC 1， CBA 90 ，所以 AC AB2 BC 2 2 ，
C1(0，2， 3 )，B(1，0，0)，。。。。。。。。。。。。。3 分
又 AD 2， BAD 90 ，故 CAD 45 ，。。。。。。。。。。2 分
则有 AC＝(0，1，－ 3 )， AA
2 1 1
＝(0，1， 3 )， AB＝(1，1，0)
由余弦定理得CD2 AC 2 AD2 2AC AD cos 45 2 4 2 2 2 2，
2 设平面 AA1B 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则有
所以DC 2 ，∴ AC 2 DC 2 AD 2 ，∴ AC⊥DC .。。。。。。。。。。。4 分 n AA1＝0， y＋ 3z＝0，
由题意得BO⊥平面 ACD，CD 平面 ACD，∴ BO⊥CD，
3 3
令 y＝1，得 x＝－1，z＝－ ，所以 n＝(－1，1，－ )．。。。。。。。4 分
n AB＝0， x＋y＝0． 3 3
∵ BO AC O， BO, AC 平面 ABC，∴CD⊥平面 ABC，
n A 1C 21
∵ AB 平面 ABC，∴CD⊥ AB，。。。。。。。。。。。。5 分 cos n，A1C ＝ ＝ ．.。。。。。。。。。。。5分| n || A1C | 7
∵ BC CD C， BC,CD 平面 BCD，∴ AB⊥平面 BCD；。。。。。。。。。。6 分 21
因为直线 A1C 与平面 AA1B 所成角θ和向量 n与 A1C所成锐角互余，所以 sin ＝ ． 。。。。。。。。。6 分
（2）取 AD 的中点 E，连接 OE，则OE / /CD，故 AC OE .。。。。。。。。7 分 7
以 O为坐标原点，OA，OE，OB 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系. x＝1－ ， 0
(2)设 E＝(x0，y0，z0)， BE＝ BC1 ，即(x0－1，y0，z0)＝λ(－1，2， 3 )，得 y0＝2 ， .。。。。。。。8 分
z0＝ 3 ，
2
则 A , 0,0 ,B 0,0,
2 ,C 2 , 0,0 ,D 2 , 2,0 ，。。。。。。8分
2 2
2 2 所以 E＝(1－λ，2λ， 3 λ)，得OE＝(1－λ，2λ， 3 λ)．。。。。。。10 分
1
BC 2 ,0, 2 , AD 2, 2,0 令 OE∥平面 A1AB，得OE n＝0 ，即－1＋λ＋2λ－λ＝0，得λ＝ ， ，。。。。。。。。。。10 分 2
2 2
即存在这样的点 E，E 为 BC1的中点．。。。。。。。。。。。12 分
设异面直线 BC与 AD所成的角为 ，
2 ,0, 2
2, 2,0
AD BC 2 2
cos cos AD, BC 1 。。。。。。。。。。。。11 分
AD BC 1 1 2 2 2
2 2
∴ 60 ，即异面直线 BC与 AD所成的角为60 。。。。。。。。。。。12 分
2
{#{QQABDQAUogCoQAIAAQgCQQWACAAQkBGAAAoGRAAIMAABABNABAA=}#}
