洛宁县2023-2024学年高三上学期第二次月考
数学试题
全卷共2页，四大题，分值150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 【信阳09月一模】已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 【TOP二十名校调研】命题“”的否定是（ ）
A. B.
C D.
3. 【信阳09月一模】 已知，是函数图象上两条相邻的对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
4. 【洛阳月考】向量，，．若与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
5. 【洛阳月考】函数的部分图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
6. 【天一联考】若，为锐角，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7. 【运城高三摸底调研】在数列中，如果存在非零的常数T，使得对于任意正整数n均成立，那么就称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期．已知数列满足，若，（，），当数列的周期为3时，则数列的前2024项的和为（ ）
A．676 B．675 C．1350 D．1349
8.【洛阳月考】 已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 【信阳09月一模】已知，满足，则（ ）
A. B. C. D.
10. 【信阳09月一模】已知，为坐标原点，终边上有一点.则（ ）
A. B. C. D.
11. 【信阳09月一模】已知在等边三角形中，，为的中点，为的中点，延长交占，则（ ）
A. B. C. D.
12. 【信阳09月一模】若数列满足（为正整数），为的前项和则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 【TOP二十名校调研】已知，设函数，则的单调递减区间是__________．
14．【天一联考】在中，，E是线段AD上的动点，设（x，），
则 ．
15．【天一联考】已知数列满足，，则满足的最小正整数 ．
16．【天一联考】已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 【运城高三摸底调研】在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
且．
（1）求角A；
（2）若，求周长的范围．
18. 【运城高三摸底调研】在等比数列中，，，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19. 【四川广安9月月考】某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工，已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完，每千件的销售收入为万元，已知
（1）请写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；
（2）月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润（精确到0.1万元）.
20. 【四川广安9月月考】已知定义域为的函数是奇函数
（1）求的值；
（2）若存在，使成立，求的取值范围.
21. 【运城高三摸底调研】已知函数，，．
（1）当时，求证：；
（2）若对恒成立，求实数a的取值范围
22. 【四川广安9月月考】 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式有解，求实数t的取值范围；
（3）若函数有两个零点x1，x2，证明：．
洛宁县2023-2024学年高三上学期第二次月考
数学试题答案详解
一．单选题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A A C A C D
1.B【解析】，，故.故选B.
2. D
3. A【解】，故，故，当时，，故，又，故.故选A.
4. A.由题意，，由与垂直，则，
即，解得.故选：A.
5. C. ∵的定义域为R.定义域关于原点对称，
，
∴是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，
当时，令可得或，
∴时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，故选：C.
6. A. ，
，∴，
即，得，显然，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为．故选：A
7. C
8 D.由定义知道，又由的定义域知道，∴有.
然后在同一直角坐标系中先分别画出 和的图象，如图所示：
设方程的三个根从大到小依次排列为，由图知.
现在在同一直角坐标系中先分别画出，，，的图象如下图：
由图可知分别与，，的图象分别交于一共七个点，
∴方程有7个根，
则函数的零点个数为7. 故选：D.
二．多选题：
题号 9 10 11 12
答案 BC AB AB ABD.
9.BC【解】取，，则，故A错误；
构造函数，则，
故为增函数，故，即，故B正确；
，故与两式相乘得，故C正确；
，故D错误. 故选BC.
10.AB【解】，故，又，，故是第一象限角，又，故，故A正确；，故，故B正确；，故C错误；，故D错误. 故选AB.
11.AB【解】如图，，故A正确；
设，则，
又，，三点在一条直线上，故，故，
即，，故，故B正确；
，故，故C错误；
，，
故，故D错误，故选AB.
12.ABD【解】，故A正确；
由知，，
两式相减得， 故，故当时，为常数列，
故， 故，故，故B正确；
，故C错误；
，
故，故D正确.
故选ABD.
三．填空题:
13．（开区间，半开半闭区间也正确）
14．2如图，由题意知，因为A，E，D三点共线，
∴，即 ．
15．5由，解得，又，∴．由，可得，∴是首项为，公比为3的等比数列，∴，
易知是递增数列，又，，∴满足的最小正整数．
16．由题意，对任意，都有成立，即．构造函数，则，∴函数在R上单调递增．不等式即，即．∵，
∴．故当时，，
∴不等式的解集为，即所求的x的取值范围为．
四．解答题:
17．解：（1）∵， 由正弦定理得，
由余弦定理得． ∵，∴；…………………… 4分
（2）由（1）知，又已知，由正弦定理得：
∵ ∴， ……………… 6分
∵ ∴ ∴
∴ ∴周长的范围是 ……… 10分
18．解：（1）由题意设等比数列的公比为q（），因为，∵
∴ 解得 ∴， …………… 4分
（2）由（1）可得 ， …………………… 5分
∴ …………………… 11分
∴ …………………… 12分
19．解：（1）当时，，
当时，，
…………………… 6分
（2）①当时，，， 令，可得
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
时，（万元）； …………………… 8分
②当时，（万元）
（当且仅当时取等号）. 综合①②知，当时，y取最大值14.1，…………… 10分
故当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元.
……………… 12分
20．解：（1）∵函数是定义在上的奇函数，∴， 即，∴，
又∵，∴，将代入，解得，
经检验符合题意， ∴，. ……………… 4分
（2）由（1）知：函数，
∴函数在上是减函数，(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数). ………6分
∵存在，使成立，
又∵函数是定义在上的奇函数， ∴不等式化为，………… 8分
又∵函数在上是减函数，所以，∴， …………… 10分
令，
由题意可知：问题等价转化为，又∵， ∴.
故的取值范围为. ……………… 12分
21．解：（1）时，，， 令，， ……………… 2分
令，则， ∴在上是增函数，
∴， ∴在上是增函数， ∴，……… 4分
∴时，， ∴； ………………6分
（2）∵对恒成立，
∴对成立，令，则，……8分
令，则， ∵， ∴，
∴，∴在上是减函数， ∴， ……………… 10分
∴在上是减函数， ∴，
∴，∴， 即． ……………… 12分
22．解：（1），
单调递增； 单调递减；………… 3分
（2）有解，
∴，，
，
单调递增， ……………… 6分
单调递减；单调递增；
∴， ∴. ……………… 8分
（3）有两个零点x1，x2，
有两个根x1，x2， 不妨设，由（1）可知两根也是与的两个交点的横坐标，
且，，于是，由于在单调递减，故等价于．
而，故等价于．①
设，则①式为．
∵． ……………… 10分
设，
当时，，故在单调递增，
∴，从而，因此在单调递增．
又，故，故，于． ……………… 12分
【关键】：本题第(3)问是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数
证明不等式.
