2023-2024学年山东省德州市宁津第一实验中学九年级（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≠﹣1
2．（3分）下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．＝2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）
4．（3分）下面四组数，其中是勾股数组的是（ ）
A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，52 D．6，7，8
5．（3分）已知+（b+3）2＝0，则（a+b）2017的值为（ ）
A．0 B．2017 C．﹣1 D．1
6．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AB在数轴上，若以点A为圆心，则点M所表示的数为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．
7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧；
②作直线PQ交AB于点D；
③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．
若AB＝2，则AM的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．（3分）甲、乙二人在相同条件下各射靶10次，每次射靶成绩如图所示，经计算得甲＝乙＝7，S2甲＝1.2，S2乙＝5.8，则下列结论中不正确的是（ ）
A．甲、乙的总环数相等 B．甲的成绩稳定
C．甲、乙的众数相同 D．乙的发展潜力更大
9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
10．（3分）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）把一元二次方程（x+1）2＝2化为一般形式为 ．
12．（3分）一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为3，平均数为2 ．
13．（3分）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AFCE是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）．
14．（3分）如图，根据函数图象回答问题：方程组的解为 ．
15．（3分）如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为 米．
三、解答题（本大题共5个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（16分）（1）计算：3÷；
（2）分解因式：xy2﹣x；
（3）解方程：
①5（m+8）﹣6（2m﹣7）＝﹣m+22；
②x2﹣2x﹣3＝0．
17．（7分）某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示：
测验类别 平时测验 期中测验 期末测验
第1次 第2次 第3次
成绩 100 106 106 105 110
（1）该同学上学期5次测验成绩的众数为 ，中位数为 ；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为 ；
（3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照2：3：5的比例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）．
18．（10分）已知一次函数的图象经过M（﹣2，﹣3），N（1，3）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设图象与x轴、y轴交点分别是A、B，求点A、B的坐标．
19．（10分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
20．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝，y轴分别交于A，B两点
（1）求正方形ABCD的面积；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．
2023-2024学年山东省德州市宁津第一实验中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≠﹣1
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．（3分）下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义“对于每一个确定的x值，存在确定的唯一的y值与之对应”进行判断即可．
【解答】解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，则是函数；
其中选项A、B、C均可能会有2个交点，不符合题意，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的定义和图象，理解对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应是解答本题的关键．
3．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．＝2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、ax2+bx+c＝0当a＝6时，不是一元二次方程；
B、+＝2不是整式方程；
C、x2+4x＝x2﹣1是一元一次方程，故C错误；
D、5（x+1）2＝5（x+1）是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．（3分）下面四组数，其中是勾股数组的是（ ）
A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，52 D．6，7，8
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2 的三个数，称为勾股数．由此判定即可．
【解答】解：A、32+62＝58，能构成勾股数，故正确；
B、0.3，8.5，所以不是勾股数；
C、（37）2+（46）2≠（52）2，不能构成勾股数，故错误；
D、63+72≠32，不能构成勾股数，故错误．
故选：A．
【点评】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
5．（3分）已知+（b+3）2＝0，则（a+b）2017的值为（ ）
A．0 B．2017 C．﹣1 D．1
【分析】根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，根据乘方法则计算即可．
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，
解得，a＝5，
则（a+b）2017＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
6．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AB在数轴上，若以点A为圆心，则点M所表示的数为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．
【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M表示的数．
【解答】解：由题意得，AC＝＝＝，
故可得AM＝，BM＝AM﹣AB＝，
又∵点B表示的数为2，
∴点M表示的数为﹣2，
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理及数轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般．
7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧；
②作直线PQ交AB于点D；
③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．
若AB＝2，则AM的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【分析】证明△AMB是等腰直角三角形，即可得到答案．
【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，
∴DA＝DM＝DB，
∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，
∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，
∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，
∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查尺规作图中的相关计算问题，解题的关键是根据作图证明△AMB是等腰直角三角形．
8．（3分）甲、乙二人在相同条件下各射靶10次，每次射靶成绩如图所示，经计算得甲＝乙＝7，S2甲＝1.2，S2乙＝5.8，则下列结论中不正确的是（ ）
A．甲、乙的总环数相等 B．甲的成绩稳定
C．甲、乙的众数相同 D．乙的发展潜力更大
【分析】分别求出甲、乙的总环数，以及众数就可以解决．
【解答】解：A、甲的总环数＝7×10＝70
∴甲、乙的总环数相等
B、∵S2甲＜S6乙∴甲的成绩稳定．
C、由图可知：甲中7出现次数最多，
∴甲的众数为7；乙中8出现次数最多，
∴乙的众数为8．甲、乙的众数不相同
D、因为乙超过8环的次数多．
故选：C．
【点评】主要考查众数、平均数和方差的定义与应用．同时要注意：对于一组数据而言，方差越大，波动性越大，反之也成立．
9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB＝OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE＝AB．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB＝24÷4＝6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝AB＝．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理和性质是解题的关键．
10．（3分）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可．
【解答】解：由题意知，函数关系为一次函数y＝﹣2x+4，y随x的增大而减小，y＝8，
当y＝0时，x＝2．
故选：D．
【点评】本题考查学生对计算程序及函数性质的理解．根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y＝﹣2x+4，然后根据一次函数的图象的性质求解．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）把一元二次方程（x+1）2＝2化为一般形式为 x2+2x﹣1＝0 ．
【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【解答】解：（x+1）2＝5，
x2+2x+2＝2，
x2+5x﹣1＝0，
故答案为：x6+2x﹣1＝5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
12．（3分）一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为3，平均数为2 2 ．
【分析】因为众数为3，表示3的个数最多，因为2出现的次数为二，所以3的个数最少为三个，则可设a，b，c中有两个数值为3．另一个未知数利用平均数定义求得，从而根据中位数的定义求解．
【解答】解：因为众数为3，可设a＝3，c未知，
平均数＝（1+2+2+2+4+3+c）＝2，
解得c＝4，
将这组数据按从小到大的顺序排列：0、1、3、2、3、2、3，
位于最中间的一个数是2，所以中位数是6，
故答案为：2．
【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
13．（3分）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AFCE是平行四边形 BF＝DE（答案不唯一） （只需添加一个正确的即可）．
【分析】由平行四边形的判定定理，通过对角线互相平分得出结论．
【解答】解：添加的一个条件为BF＝DE；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO、BO＝DO，
∵BF＝DE，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故答案为：BF＝DE（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质，通过对角线互相平分解题是关键．
14．（3分）如图，根据函数图象回答问题：方程组的解为 ．
【分析】首先观察函数的图象y＝kx+3经过点（﹣3，0），然后求得k值确定函数的解析式，最后求得两图象的交点求方程组的解即可；
【解答】解：根据图象知：y＝kx+3经过点（﹣3，6），
所以﹣3k+3＝4，
解得：k＝1，
所以解析式为y＝x+3，
当x＝﹣2时，y＝2，
所以两个函数图象均经过（﹣1，2）
所以方程组的解为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查一次函数与二元一次方程组，关键是能根据函数图象的交点解方程组．
15．（3分）如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为 600 米．
【分析】过点C作CO⊥AB，垂足为O，由图可看出，三角形OAC为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求斜边．
【解答】解：过点C作CO⊥AB，垂足为O，
∵BD＝900，
∴OC＝900，
∵∠EAC＝30°，
∴∠ACO＝30°．
在Rt△AOC中，
∵AC＝2OA，
设OA＝x，则AC＝2x，
（6x）2﹣x2＝OC5＝9002，
∴x2＝270000，
∴x＝300
∴AC＝600米．
故答案为600．
【点评】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理．
三、解答题（本大题共5个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（16分）（1）计算：3÷；
（2）分解因式：xy2﹣x；
（3）解方程：
①5（m+8）﹣6（2m﹣7）＝﹣m+22；
②x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】（1）按照根式的乘除运算计算即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（3）①按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答；
②按照因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）3÷×＝3××；
（2）xy2﹣x＝x（y2﹣8）＝x（y+1）（y﹣1）；
（3）①2（m+8）﹣6（6m﹣7）＝﹣m+22，
去括号，得5m+40﹣12m+42＝﹣m+22，
移项，得8m﹣12m+m＝22﹣40﹣42，
合并同类项，得﹣6m＝﹣60，
化系数为1，得m＝10；
②x3﹣2x﹣3＝6，
（x﹣3）（x+1）＝7，
x﹣3＝0或x+5＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的混合运算，二次根式的乘除，因式分解，解一元一次和一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（7分）某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示：
测验类别 平时测验 期中测验 期末测验
第1次 第2次 第3次
成绩 100 106 106 105 110
（1）该同学上学期5次测验成绩的众数为 106 ，中位数为 106 ；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为 104 ；
（3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照2：3：5的比例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）．
【分析】（1）将5次测验成绩重新排列后，根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）将平时测验成绩相加后除以3即可得；
（3）根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：（1）将5次测验的成绩重新排列为100、105、106，
∴该同学上学期5次测验成绩的众数为10（7分）、中位数为10（6分），
故答案为：106、106；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为＝104，
故答案为：104；
（3）该同学上学期数学学科的总评成绩为104×2.2+105×0.6+110×0.5＝107.8≈107，即该同学总评成绩约为10（7分）．
【点评】本题主要考查众数、中位数和加权平均数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及加权平均数的计算公式．
18．（10分）已知一次函数的图象经过M（﹣2，﹣3），N（1，3）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设图象与x轴、y轴交点分别是A、B，求点A、B的坐标．
【分析】（1）把经过的点的坐标代入，求解得到k、b的值即可得解；
（2）根据一次函数的解析式即可求出点A、B的坐标．
【解答】解：（1）∵设一次函数为y＝kx+b（k≠0），
由题意得，
解得，
∴这个一次函数的解析式为y＝2x+1；
（2）当x＝2时，y＝1，2x+4＝0，
解得x＝﹣，
∴A（﹣，7），1）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．
19．（10分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由题意可证四边形ODEC是平行四边形，通过证明四边形ODEC是菱形，可得OE⊥DC；
（2）由题意可得∠DAO＝30°，AC＝4，根据直角三角形的性质可得CD＝2，AD＝2，根据矩形的面积公式可求矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC＝OA＝OB，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，
（2）∵DE＝2，且四边形ODEC是菱形
∴OD＝OC＝DE＝2＝OA，
∴AC＝8
∵∠AOD＝120，AO＝DO
∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90°
∴CD＝2，AD＝
∴S矩形ABCD＝2×2＝4
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
20．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝，y轴分别交于A，B两点
（1）求正方形ABCD的面积；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正方形的面积计算公式，即可求出正方形ABCD的面积；
（2）利用正方形的性质可得出AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝90°，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作CF⊥x轴于点F，易证△BCE≌△ABO，△DAF≌△ABO，再利用全等三角形的性质结合点C，D所在的位置，即可得出点C，D的坐标；
（3）作点B关于y轴的对称点B′，连接B′D交x轴于点M，此时BM+DM取得最小值，即△MDB的周长最小，由点B的坐标可得出点B′的坐标，利用待定系数法可求出直线B′D的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点M的坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝，
∴点B的坐标为（0，1），
∴OB＝7；
当y＝0时，x+1＝0，
解得：x＝﹣7，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝6．
在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，
∴AB＝＝＝，
∴正方形ABCD的面积为AB3＝（）2＝2．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝90°．
过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作CF⊥x轴于点F．
∵∠CBE+∠ABC+∠ABO＝180°，∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△BCE和△ABO中，
，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴BE＝AO＝2，CE＝BO＝1，
∴点C的坐标为（﹣2，1+2），5）；
同理，可证出：△DAF≌△ABO，
∴DF＝AO＝2，AF＝BO＝1，
∴点D的坐标为（﹣5﹣1，2），8）．
（3）作点B关于y轴的对称点B′，连接B′D交x轴于点M，即△MDB的周长最小．
∵点B的坐标为（0，1），
∴点B′的坐标为（8，﹣1）．
设直线B′D的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B′（6，﹣1），2）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴直线B′D的解析式为y＝﹣x﹣1．
当y＝8时，﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣6，
∴点M的坐标为（﹣1，0）．
∴在x轴上存在点M，使△MDB的周长最小，4）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理，求出AB的长；（2）利用全等三角形的性质，求出BE，CE，AF，DF的长；（3）利用两点之间线段最短，找出点M的位置．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/15 14:43:31；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677
