成都市田家炳中学高2021级高三第一次月考试题
理科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C．（2，3] D．[-2，3）
2．若复数满足，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（ ）
A．19和2 B．19和3 C．19和4 D．19和8
甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择九寨沟．
则条件概率（ ）
A． B． C． D．
5．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A．1 B． C．3 D．
6．下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则
②已知随机变量服从正态分布且，则
③2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有180种；
④，.
A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①②
7．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存 投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.（参考数据：）
A. 20 B. 27 C. 32 D. 40
8．设命题 在上单调递增，命题，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知为双曲线的一个焦点，为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线相切，则双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．2
10．如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，现将沿AE向上翻折，使点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（ ）
A．存在点P，使得
B．存在点P，使得
C．三棱锥的体积最大值为
D．当三棱锥的体积达到最大值时，三棱锥外接球表面积为4π
11． 已知、是方程的两个根，且，则等于（ ）
A. B. C. 或 D. 或
12．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）
14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X（万次）服从正态分布,则该时段内这200部宣传片中浏览量在万次的个数约为______.
（参考数据：,）
15、数列的首项为2，等比数列满足且，则的值为 ．
16．在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
18．（12分）某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间（单位：时）的频率分布表：
日均收看世界杯时间（时）
频率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.2 0.05
如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；
非足球迷 足球迷 合计
女 70
男 40
合计
(2)将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球迷”人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（12分）在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，
如图2，连接FO，FB，FE，使得．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
20．（12分）已知椭圆的中心为O，左、右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，线段与圆相切于该线段的中点N，且的面积为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.
21．（12分）已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）判断函数零点个数;
（3）用表示的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
22．（10分）[坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
(1)写出C的普通方程；
(2)写出直线l的直角坐标方程并判断l与C有无交点，如果有，则求出交点的直角坐标；如果没有，写出证明过程．
成都市田家炳中学高2021级高三9月月考试题
理科数学答案
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1、C 2．C 3．C 4、A 5、B 6、C 7、B 8、B 9、A 10、A 11、B 12、B
4.【答案】A
【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】由题知，，，所以，
5．解：由三视图可知该几何体为三棱锥，直观图如图，故体积为
故选：B.
本题主要考查了根据三视图求解三棱锥的体积问题,属于基础题型.
6．【答案】C
【分析】利用二项分布概率公式计算判断①；利用正态分布对称性计算判断②；利用条件概率公式计算判断③；利用期望、方差的性质判断④作答.
【详解】对于①，随机变量服从二项分布，，①正确；
对于②，随机变量服从正态分布且，则，
，②正确；
对于③，依题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，
将5名志愿者按分成4组，有种分法，将分得的4组安排到4个项目，有种方法，
所以不同的分配方案共有.③错误
对于④，，，④正确，
所以说法正确的有①②④.
7．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存 投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.（参考数据：）
A. 20 B. 27 C. 32 D. 40
【答案】B
【解析】【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.
【详解】依题意得，解得，，则，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，
所以，所以，
所以.故选：B
8、【答案】B 【分析】求导得：，由已知可得：在上恒成立，即，由，可知：，问题得解.
【详解】由已知可得：，在上单调递增，
即在上恒成立，
令 ，当时等号成立，
. 所以是成立的必要不充分条件.故选：B
9．已知为双曲线的一个焦点，为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线相切，则双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．2
【答案】求出直线的方程，利用点到线的距离公式，得到、、的方程，即可求出离心率．
由题意，设，，则直线的方程为：，
因为以坐标原点为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线相切，
故原点到直线的距离为，即两边同时平方得
故答案为 本题考查求双曲线的离心率，属于中档题．
10．如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，现将沿AE向上翻折，使点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（ ）
A．存在点P，使得
B．存在点P，使得
C．三棱锥的体积最大值为
D．当三棱锥的体积达到最大值时，三棱锥外接球表面积为4π
【答案】A
【分析】连接，为中点，连接，确定，，若， 得到，重合，不成立，A错误，平面时，，B正确，计算得到CD正确，得到答案.
【详解】如图所示：连接，为中点，连接，，
连接，，，，
，故，故，
对选项A：，若，又，则，重合，不成立，错误；
对选项B：当平面时，平面，则，又，
，平面，故平面，平面，
故，正确；
对选项C：当平面时，三棱锥体积最大，
最大值为，正确；
对选项D：平面，平面，故，
，故，故是三棱锥外接球球心，半径为，
故外接球表面积为，正确. 故选：A.
11．已知、是方程的两个根，且，则等于（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理、和角的正切求解作答.
【详解】方程中，，则，
于是，显然，
又，则有，， 所以.
12．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】因为，所以，所以，所以，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
令，则，
所以函数在上递增，
所以，即，即，
所以，即，
综上，. 故选：B.
【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）
【答案】40
【分析】根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项.
【详解】因为二项式系数和，因此，
又，令，常数项为. 故答案为：40.
14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X（万次）服从正态分布,则该时段内这200部宣传片中浏览量在万次的个数约为______.
（参考数据：,）
【答案】164
【解析】因为浏览量X（万次）服从正态分布,所以浏览量X（万次）的均值,方差,,故,,
故.故浏览量在万次的作品个数约为.
15、【答案】2
【分析】根据等比数列定义可写出数列的通项公式，再利用累乘可得出数列的表达式，代入计算即可得.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，
利用等比数列定义可知
所以可得，
， ，
由累乘可得，
整理可得
所以，
又，所以可得；
即. 故答案为：2
16．在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．
【答案】
【分析】根据棱锥体积公式及基本不等式可得体积最大，然后利用长方体的性质及球的体积公式即得.
【详解】由题可知三棱锥的体积为：
，当且仅当时等号成立，
此时，，将三棱锥补成长方体，
则三棱锥外接球的直径为，则，
因此，三棱锥外接球的体积为. 故答案为：.
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17．已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）由已知，∵，∴，
∵，
∴，
又∵，∴，
∴易知数列中任意一项不为，∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由第（1）问，，∴，
∴设数列的前项和为，则①，
①得，②，
①②得，，
∴，
∴. ∴数列的前项和为.
18．某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间（单位：时）的频率分布表：
日均收看世界杯时间（时）
频率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.2 0.05
如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；
非足球迷 足球迷 合计
女 70
男 40
合计
(2)将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球迷”人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由频率分布表求出“足球迷”对应的频率即可得到样本中“足球迷”的人数，从而完善列联表，计算出卡方，即可判断；
（2）由（1）从该地的电视观众中随机抽取人，其为“足球迷”的概率，则，求出相应的概率，从而得到分布列与数学期望.
【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为，
则在抽取的人中，“足球迷”有人，
所以列联表如下：
非足球迷 足球迷 合计
女 70
男 40
合计
所以，
所以有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.
（2）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为，
所以从该地的电视观众中随机抽取人，其为“足球迷”的概率，所以，
即的可能取值为、、、、，
所以，，
，，
，
所以随机变量的分布列为
所以.
19．在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可证明；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作，垂足为M，作，垂足为N，连接，首先由线面垂直得出，则二面角的平面角为，在中，求出即可．
【详解】（1）证明：连接OB，因为为等腰直角三角形，，，
所以，因为O为AC边的中点，所以，
在等边三角形中，，
因为O为AC边的中点，
所以，则，又，
所以，即，
因为，平面，平面，
所以平面．
（2）方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点，
所以，
由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，所以，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
易知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为θ，
则，由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
方法二：
作，垂足为M，作，垂足为N，连接，
因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
又平面平面，
所以二面角的平面角为，
因为，所以，
所以，，
在中，，，
所以，
所以，
所以，即二面角的余弦值为．
20．20．已知椭圆的中心为O，左、右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，线段与圆相切于该线段的中点N，且的面积为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）作出辅助线，得到，，，由椭圆定义求出，由勾股定理求出，得到，求出椭圆方程；
（2）先考虑直线斜率不存在时，不合要求，再考虑直线的斜率存在时，设为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出中点坐标，进而得到，代入椭圆方程，求出，求出答案.
【详解】（1）连接，则，
因为为的中点，为的中点，所以，故，
，
，解得，
由椭圆定义可知，，解得，
由勾股定理得，即，解得，
故， 故椭圆方程为；
（2）由题意得，当直线的斜率不存在时，即，
此时，解得，设，
由于，由对称性可知，为椭圆左顶点，但，故不合要求，舍去，
当直线的斜率存在时，设为，
联立得，，
，
设，则，
，
则中点坐标为，
假设存在点P，使得四边形是平行四边形，则，
将代入椭圆中，得，
解得，
此时直线AB的方程为.
【点睛】圆锥曲线中探究性问题解题策略：
（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；
（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可.
21．解：（1）∵，∴切线的斜率，.
∴函数在点处的切线方程为.
（2）∵，，∴，，，
∴存在零点，且.∵，
∴当时，；当时，由得
.∴在上是减函数.
∴若，，，则.∴函数只有一个零点，且.
（3）解：，故，
∵函数只有一个零点，∴，即.∴.
∴在为增函数在，恒成立.
当时，即在区间上恒成立.
设，只需，
，在单调递减，在单调递增.
的最小值，.
当时，，由上述得，则在恒成立.
综上述，实数的取值范围是.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
(1)写出C的普通方程；
(2)写出直线l的直角坐标方程并判断l与C有无交点，如果有，则求出交点的直角坐标；如果没有，写出证明过程．
【详解】（1）由平方可得，又因为，所以，
因为，当且仅当即时，取等号，
所以C的普通方程为；
（2）由直线l的极坐标方程为可得直线l的直角坐标方程为，
代入C的普通方程可得，解得，
因为，所以舍去，无解， 所以l与C没有交点
