2023-2024学年山东省滨州市开发区中学八年级（上）开学数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共20小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是( )
A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断
3. 一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是( )
A. 或 B. C. D. 或
4. 一元二次方程的两个根分别是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 用配方法解方程，配方后可得( )
A. B. C. D.
6. 下列说法正确的是( )
A. 半圆是弧，弧也是半圆 B. 长度相等的两条弧是等弧
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 直径是同一圆中最长的弦
7. 用公式法解一元二次方程，正确的应是( )
A. B. C. D.
8. 如图所示的工件槽的两个底角均为，尺寸如图单位，将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有，，三个接触点，则该球的半径是．( )
A.
B.
C.
D.
9. 下列各数：，，，，，，，其中无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10. 如图，，，点，，在同一直线上，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
11. 若点在第四象限，则点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
12. 如图，能判定的条件是( )
A.
B.
C.
D.
13. 年月日，“天宫课堂”第三课在问天实验舱内开讲某校名学生在线观看了“天宫课堂”第三课，并参与了关于“你最喜爱哪一个太空实验？”的问卷调查，若从中随机抽取名学生的问卷调查情况进行统计分析，则以下说法正确的是( )
A. 名学生是总体 B. 名学生是样本
C. 每一名学生是个体 D. 每一名学生选择的太空实验是个体
14. 在直角坐标系中，将点向右平移两个单位长度得到的点的坐标是( )
A. B. C. D.
15. 不等式组的解集为( )
A. B. C. D. 无解
16. ，满足方程组，则( )
A. B. C. D.
17. 关于的不等式的解集为，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D. 为任意数
18. 如图，的边上的高是( )
A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
19. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
20. 如图，在和中，，，则能说明≌的依据是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共18小题，共72.0分）
21. 若是方程的一个根，则的值为______．
22. 方程的根为______．
23. 当______时，代数式与的值相等．
24. 如图，在矩形中，，若以点为圆心，为半径作，则点，点，点，点四点中在外的是__________．
25. 如图，的直径垂直弦于点，且，，则弦______．
26. 如图，的弦、半径延长交于点，，若，则______度．
27. 写出一个以和为两根且二项系数为的一元二次方程，你写的是______．
28. 若一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围______．
29. 已知、是方程的两个实数根，则的值为______ ．
30. 若、是方程的两实根，则的值等于______ ．
31. 的立方根是______．
32. 方程组的解为______．
33. 如图，、相交于点，平分，若，则的度数是______．
34. 不等式的解集是______ ．
35. 某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，则表示“无所谓”的家长人数为______ ．
36. 如图所示，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于______．
37. 如图，若≌，，，则的长度是______．
38. 从边形的一个顶点出发，可以引______ 条对角线，它们将边形分为______ 个三角形，边形的内角和是______ ，外角和是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共20.0分）
39. 用指定方法解下列一元二次方程
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
四、解答题（本大题共9小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
40. 本小题分
为何值时，方程有两个相等的实数根；并求出这时方程的根．
41. 本小题分
如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径．
42. 本小题分
如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏．已知墙长，问围成矩形的长和宽各是多少？
43. 本小题分
为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒元下调至元，已知每次下降的百分率相同．
求这种药品每次降价的百分率是多少？
已知这种药品的成本为元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？
44. 本小题分
如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
如果、分别从、两点出发，那么几秒后，的面积等于？
在中，的面积能否等于？试说明理由．
45. 本小题分
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件赢利元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．求：
若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？
每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
46. 本小题分
已知的平方根为，的算术平方根为，求的平方根．
47. 本小题分
如图，已知，求证：．
要求：写出证明过程中的重要依据
48. 本小题分
小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有道题，规定答对一道题得分，答错或不答一道题扣分，只有得分超过分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是一元二次方程，故A正确；
B、是分式方程，故B错误；
C、是二元二次方程，故C错误；
D、是一元一次方程，故D错误．
故选：．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系的应用．
已知圆的半径为，点到圆心的距离是，当时，点在内，当时，点在上，当时，点在外．
【解答】
解：的半径为，若，
，
点与的位置关系是点在内，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则：
此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离
有两种情况：
当此点在圆内时，如图所示，
半径；
当此点在圆外时，如图所示，
半径；
故圆的半径为或
故选：．
设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：当此点在圆内；当此点在圆外；分别求出半径值即可．
注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
两边直接开平方得：，
则，，
解得：，．
故选：．
两边直接开平方可得，然后再解一元一次方程即可．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而可对各选项进行判断．
本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：半圆是弧，弧不一定是半圆，故A不符合题意；
同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故B不符合题意；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，不符合题意；
直径是同一圆中最长的弦，故D符合题意；
故选：．
根据垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质判断求解即可．
此题考查了垂径定理，等弧等知识，熟练掌握垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：方程整理得：，
这里，，，
，
，
故选：．
方程整理后，利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设圆心为点，连，交于，如图，
，，
则，
，
在中，设的半径为，，
，
，
解得，，
即该球的半径是．
故选：．
设圆心为点，连，交于，则，，在中，设的半径为，，利用勾股定理得到，解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
9.【答案】
【解析】解：，是有限小数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有：，，共个．
故选：．
根据无理数的定义求解即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
，
故选：．
先根据已知条件求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可．
本题考查了角的计算，是一道基础题．
11.【答案】
【解析】解：点在第四象限，
，，
，
点在第一象限，
故选：．
根据点所在象限判断出、的取值范围，进而可得答案．
此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
12.【答案】
【解析】解：根据，不能得到，故A错误；
根据，不能得到，故B错误；
根据，不能判定，故C错误；
根据，能得到，故D正确；
故选：．
直接利用平行线的判定定理判定即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
13.【答案】
【解析】解：、名学生选择的太空实验是总体，故A不符合题意；
B、名学生选择的太空实验是样本，故B不符合题意；
C、每一名学生选择的太空实验是个体，故C不符合题意；
D、每一名学生选择的太空实验是个体，故D符合题意；
故选：．
根据总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：点向右平移个单位长度后得到的点的坐标为．
故选：．
把点的横坐标加，纵坐标不变得到点平移后的对应点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个整数，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加或减去一个整数，相应的新图形就是把原图形向上或向下平移个单位长度．
15.【答案】
【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：
得，
故选：．
整体思想，两个方程相减．
本题考查了在二元一次方程组下利用整体思想求代数式的值，两式相减可迅速求得结果．
17.【答案】
【解析】解：的解集为，
，
，
故选：．
根据不等式的基本性质解出的取值，即可得出答案．
本题主要此题主要考查了不等式的基本性质不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
18.【答案】
【解析】解：由图可得：的边上的高是．
故选：．
根据三角形的高的定义进行分析即可得出结果．
本题主要考查三角形的角平分线、中线、高，解答的关键是对三角形的高的定义的掌握．
19.【答案】
【解析】解：根据三角形的三边关系，知
A、，不能组成三角形，故A错误；
B、，不能组成三角形；故B错误；
C、，不能组成三角形；故C错误；
D、，能够组成三角形，故D正确．
故选：．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
20.【答案】
【解析】证明：在和中，
，
≌．
故选：．
根据证明三角形全等即可．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
21.【答案】
【解析】解：把代入，得
，
解得：．
故答案是：．
把代入已知方程得到关于的新方程，通过解新方程求得的值即可．
此题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
22.【答案】，
【解析】解：，
，
或，
或．
故答案为：，．
将看作整体，先移项，再提公因式，求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法，是基础知识比较简单．
23.【答案】，
【解析】解：由题意得，
移项得，
分解因式得，
解得，，．
故答案为：，．
代数式与的值相等，则可得到一个一元二次方程，然后移项，套用公式进行因式分解，利用因式分解法即可得到的值．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
24.【答案】点
【解析】【分析】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
【解答】
解：，
点在外，
，
点在上；
，
点在内，
故答案为点．
25.【答案】
【解析】解：连接，如图，
，，
，
，，
，
，
在中，，
．
故答案为．
连接，如图，先计算出，，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
26.【答案】
【解析】解：连接，
，
所以和为等腰三角形，
设度，则，
因为，
所以，
在中，，
解得，
即．
解答此题要作辅助线，根据半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．
此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．
27.【答案】
【解析】解：根据题意得到两根之和为，两根之积为，
则所求方程为．
故答案为：．
由方程的根为和，得到两根之和为，两根之积为，写成方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
28.【答案】且
【解析】解：一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：，
，
的取值范围为： 且．
故答案为： 且．
由一元二次方程有两个不相等实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
此题考查了根的判别式．注意方程有两个不相等的实数根．
29.【答案】
【解析】解：，是方程的两个实数根，
，．
．
故答案为：．
根据方程的根的定义，以及根与系数之间的关系，即可得到，，根据即可求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程根的定义．
30.【答案】
【解析】解：、是方程的两实根，
，．
原式．
故答案为：．
根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后变形原代数式为原式，再代值计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，，则，．
31.【答案】
【解析】解：因为，
所以
故答案为：．
根据立方根的定义求解即可．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．注意一个数的立方根与原数的符号相同．
32.【答案】
【解析】【分析】
由第一个方程得，由第二个方程得，两个方程相加消去，解出，再进一步代入解出即可．
【解答】
解：
由得：，
由得：，
由得：，
解得，
将代入得：，
解得，
所以原方程组的解为．
故答案为：．
【点评】
本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
33.【答案】
【解析】解：，
，，
平分，
，
的度数是：．
故答案为：．
直接利用邻补角的定义结合角平分线的定义得出答案．
此题主要考查了邻补角以及角平分线的定义，正确得出度数是解题关键．
34.【答案】
【解析】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
故答案为：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
35.【答案】
【解析】【分析】
根据赞同的人数和所占的百分比求出接受这次调查的家长人数；再根据表示“无所谓”的家长所占的百分比和总人数，求出表示“无所谓”的家长人数即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
【解答】
解：由条形统计图和扇形统计图可知，赞同的人数是人，占，
接受这次调查的家长人数为人，
人，
表示“无所谓”的家长人数为人．
故答案为：．
36.【答案】
【解析】解：点是的中点，
，，
，
，
点是的中点，
．
故答案为：．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
37.【答案】
【解析】解：≌，，，
，
，
故答案为：．
根据全等三角形的对应边相等解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
38.【答案】
【解析】解：从边形的一个顶点出发，可以引条对角线，它们将边形分为个三角形，边形的内角和是，外角和是．
故答案为：，，，．
根据从边形的一个顶点出发，可以引条对角线，它们将边形分为个三角形，，再根据三角形的内角和是，得出边形的内角和是，最后根据任何多边的外角和都是，即可得出答案．
此题考查了多边形的内角与外角以及多边形的内角线，掌握相关的定义与公式是解题的关键．
39.【答案】解：，
移项，得 ，
两边都除以，得，
两边开平方，得，
移项，得，
解得：，；
，
两边都除以，得，
移项，得，
配方，得，即，
解得：，
即，；
，
这里，，，
，
，
解得：，；
，
方程左边因式分解，得，即，
解得：，．
【解析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
方程利用配方法求出解即可；
方程利用公式法求出解即可；
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
40.【答案】解：
有两个相等的实数根，
，即，解得或，
即当的值为或时，方程有两个相等的实数根，
当时，方程为，解得，
当时，方程为，解得．
【解析】由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于的方程，可求得的值，再解方程即可．
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
41.【答案】解：如图，连接，
是弦的中点，过圆心，
．
．
，
．
设，则，
在中，根据勾股定理，得
，
解得．
的半径为．
【解析】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．
连接，根据垂径定理得出，则，设，则，在中，有，进而可求得半径．
42.【答案】解：设宽为 ，则长为
由题意，得 ，
解得 ，
当时，舍去，
当时，
答：围成矩形的长为、宽为．
【解析】设宽为，则长为，然后根据平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．
此题是利用一元二次方程解决实际问题，解题关键是找到关键描述语，从而找到等量关系准确的列出方程．
43.【答案】解：设这种药品每次降价的百分率是，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：这种药品每次降价的百分率是．
元，
，
按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本．
【解析】设这种药品每次降价的百分率是，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
根据经过连续三次降价后的价格经过连续两次降价后的价格，即可求出再次降价后的价格，将其与元进行比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
44.【答案】解：设后，的面积等于．
此时，，，．
由，得．
即，解得，．
当时，，，的面积等于；
当时，，，的面积等于．
故、分别从、两点出发经过或时的面积等于；
仿得．
整理，得，因为，
所以，此方程无解．
所以的面积不可能等于．
【解析】设、分别从、两点出发，秒后，，，则的面积等于，令该式等于，列出方程求出符合题意的解；
看的面积能否等于，只需令，化简该方程后，判断该方程的与的关系，大于或等于则可以，否则不可以．
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
45.【答案】解：设每件衬衫降价元，商场平均每天盈利元，
则，
当时，，
解得，，
经检验，，都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以，
答：每件衬衫应降价元。
，
当时，的最大值为。
答：当每件衬衫降价元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】设每件衬衫降价元，商场平均每天盈利元，可得每件盈利元，每天可以售出件，进而得到商场平均每天盈利元，依据方程即可得到的值；
用“配方法”可求出的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题关键．
46.【答案】解：的平方根为，
，
解得：，
的算术平方根为，
，
则，
解得：，
则，
故的平方根是：．
【解析】直接利用平方根以及算术平方根的定义得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了平方根以及算术平方根，正确得出，的值是解题关键．
47.【答案】证明：在和中，
≌．
全等三角形对应边相等．
【解析】利用判定三角形全等，得出对应边相等．
三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
48.【答案】解：设小明答对了题，根据题意可得：
，
解得：，
为非负整数，
至少为，
答：小明至少答对道题才能获得奖品．
【解析】在这次竞赛中，小明获得优秀分以上，即小明的得分分，设小明答对了，就可以列出不等式，求出的值即可．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，正确利用代数式表示出小明的得分．
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