13.2.3直线与平面位置关系（1）线面平行判定与性质
一、单选题
1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面平行判定定理的条件可得.
【详解】
在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD α.
故选：D.
2．在五棱台ABCDE A1B1C1D1E1中，F，G分别是AA1和BB1上的点，且，则FG与平面ABCDE的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．FG 平面ABCDE D．无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
由线面平行的判定定理得结论．
【详解】
五棱台中，AB∥A1B1，∴四边形AA1B1B是梯形， ∵，∴FG∥AB. 而FG平面ABCDE，AB 平面ABCDE.∴FG∥平面ABCDE.
故选：A.
3．正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，过点作交于，再根据几何关系即可得答案.
【详解】
解：如图，连接，过点作交于，
因为是的中点，所以是的中点，
由正方体的性质易得，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，此时是的中点，故.
故选：B
4．如图，在三棱柱中，，，过作一平面分别交底面三角形的边，于点，，则（ ）
A． B．
C．四边形为平行四边形 D．四边形为梯形
【答案】D
【解析】
【分析】
通过异面直线的定义，可判断A，B；通过长度、平行关系可证明，可判断C，D
【详解】
由于三点共面，平面，平面，故为异面直线，
故A错
由于三点共面，平面，平面，故为异面直线，
故B错
又∵在平行四边形中，，，
∴，，故四边形为平行四边形
∴.
又平面，平面，
∴平面.又平面，平面平面，
∴，∴，
显然在中，
∴，∴四边形为梯形，故C错，D对
故选：D
5．如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解.
【详解】
解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则，
由四边形是菱形，可得，则，
所以，所以，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，所以.
故选：C.
6．已知直线和平面，下列说法正确的是（ ）
A．如果，那么平行于经过的任意一个平面．
B．如果，那么平行于平面内的任意一条直线．
C．若，则 ．
D．若且，则．
【答案】D
【解析】
【分析】
A,D选项考查线面平行的判断，A选项缺少条件，D选项正确；B选项是线面平行推线线平行，需要借助另外一个面；C选项中，平行于同一个面的两条线没有特定的位置关系
【详解】
选项A中，由推出平行于经过的任意一个平面，需要增加一个条件，即不在所在的面内，A选项没有这一限制条件，所以A错误
选项B中，，，，则，所以不是平行于面内所有的线，只能平行于面面的交线，所以B错误
选项C中，两条直线分别平行于面，这两条直线的位置关系是任意的，不能推出平行，所以C错误
选项D为证明线面平行的判定定理，条件充分，正确
故选：D
二、多选题
7．如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项.
【详解】
对于A选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，A正确.
对于B选项，设是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，所以六点共面，B错误.
对于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面.所以C错误.
对于D选项，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以，由于平面，平面，所以平面，D正确.
故选：AD
8．以下命题（其中a，b表示直线， 表示平面），其中错误的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若，，，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据直线与直线、直线与平面的位置关系可知、、是错误的，根据直线与平面平行的性质定理可知是正确的.
【详解】
对于，若则或，故错误；
对于，若则或与异面或与相交；故错误；
对于，若则或，故错误；
对于，根据直线与平面平行的性质定理可知，“若，，，则”是正确的，
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，考查了直线与平面平行的性质定理，属于基础题.
三、填空题
9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是___．
【答案】平面A1C1D，平面A1C1B
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，得出与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是平面A1C1D，平面A1C1B．
【详解】
解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是平面A1C1D，平面A1C1B．
∵AA1∥CC1，AA1=CC1，∴四边形ACC1A1是平行四边形；
∴AC∥A1C1，
又AC平面A1C1D，A1C1平面A1C1D，∴AC∥平面A1C1D；
同理AC∥平面A1C1B．
故答案为：平面A1C1D，平面A1C1B．
10．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件___________时，A1P平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
【答案】P是CC1中点
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质，只需在侧面BCC1B1上找到一点，A1P平面BCD上的任一条线即可，可以取A1PCD，此时P是CC1中点.
【详解】
取CC1中点P，连结A1P，
∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，
∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1PCD，
∵A1P 平面BCD，CD 平面BCD，
∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P平面BCD
故答案为：P是CC1中点.
11．棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．设直线与平面交于点，则________.
【答案】1
【解析】
【分析】
设点为的中点，连接，连接，根据线面平行的判定定理证得平面，再根据线面平行的性质定理证出，由此可得出结论．
【详解】
解：设点为的中点，连接，连接，
∵点为的中点，为棱的中点，
∴，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，且，
又，，
∴，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又，平面，
∴平面，
又设直线与平面交于点，
∴平面平面，
∴由线面平行的性质定理可得，
∴点为的中点，
∴，
故答案为：1．
12．如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形， 分别是侧棱 上的动点，，点在棱上，且，若平面，则___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
先连接AC交BD于O，进而通过线面平行的性质定理得出∥，然后在上截取PQ，使得PQ=PA=1，进而证明∥，得出∥，进一步得到四边形是平行四边形，得出，结合条件的长度关系最后得到答案.
【详解】
由题意可知，长方体的高为4，底面ABCD是边长为1的正方形，
连接AC交BD于O，连接PO，因为EF∥平面PBD，平面EACF，平面EACF平面PBD=PO，所以∥.
在上截取PQ，使得PQ=PA=1，连接QC，易知O为AC的中点，所以∥，
所以∥，又∥，所以四边形是平行四边形，所以.
又，所以，所以CF=1.
故答案为：1.
四、解答题
13．如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，点在棱上，平面．
求证：为的中点；
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连接交于点，连接，根据线面平行的性质可得，结合正方形的性质易知是的中点，即是中位线，即可证结论.
【详解】
证明：连接，交于点，连接．
∵面，面面，面，面，
∴．
∵四边形是正方形，，即是的中点．
∴△中是中位线，故为的中点．
14．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.已知G，H分别为EC，FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
取中点，连结、，推导出平面平面，由此能证明平面．
【详解】
证明：取中点，连结、，
、为、的中点，
且，且，由线面平行的判定定理得平面，
又，，由线面平行的判定定理得平面，
，，平面，平面
平面平面，
面，平面．
15．如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l.
求证:（1）l∥BC;
（2）MN∥平面PAD．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先由BC∥AD证明BC∥平面PAD，再结合平面PBC∩平面PAD=l，由线面平行推出线线平行，即得证；
（2）取PD的中点E，连接AE，NE，可证明四边形AMNE是平行四边形，即 MN∥AE，由线线平行推线面平行，即得证
【详解】
（1）∵ ABCD
∴BC∥AD，
又BC平面PAD，平面PAD
∴BC∥平面PAD.
又∵平面PBC∩平面PAD=l，
平面PBC
∴l∥BC.
（2）如图，取PD的中点E，连接AE，NE，
则NE∥CD，且NE=CD，
又AM∥CD，且AM=CD，
∴NE∥AM，且NE=AM.
∴四边形AMNE是平行四边形.∴MN∥AE.
又∵AE 平面PAD，MN平面PAD，
∴MN∥平面PAD.13.2.3直线与平面位置关系（1）线面平行判定与性质
一、单选题
1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
2．在五棱台ABCDE A1B1C1D1E1中，F，G分别是AA1和BB1上的点，且，则FG与平面ABCDE的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．FG 平面ABCDE D．无法判断
3．正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图，在三棱柱中，，，过作一平面分别交底面三角形的边，于点，，则（ ）
A． B．
C．四边形为平行四边形 D．四边形为梯形
5．如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
6．已知直线和平面，下列说法正确的是（ ）
A．如果，那么平行于经过的任意一个平面．
B．如果，那么平行于平面内的任意一条直线．
C．若，则 ．
D．若且，则．
二、多选题
7．如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（ ）
A． B．
C． D．
8．以下命题（其中a，b表示直线， 表示平面），其中错误的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若，，，则
三、填空题
9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是___．
10．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件___________时，A1P平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
11．棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．设直线与平面交于点，则________.
12．如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形， 分别是侧棱 上的动点，，点在棱上，且，若平面，则___________.
四、解答题
13．如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，点在棱上，平面．
求证：为的中点；
14．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.已知G，H分别为EC，FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
15．如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l.
求证:（1）l∥BC;
（2）MN∥平面PAD．
