11.3正弦定理与余弦定理的应用
一、单选题
1．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（ ）
A．30m B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.
【详解】
由题设知：，
又，
△中，可得，
在△中，，则.
故选：D
2．如图，在救灾现场，搜救人员从处出发沿正北方向行进米达到处，探测到一个生命迹象，然后从处沿南偏东行进米到达处，探测到另一个生命迹象，如果处恰好在处的北偏东方向上，那么（ ）
A．米 B．米 C．10米 D．米
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形正弦定理即可求解结果．
【详解】
依题意得，
由正弦定理得，所以，
故选：D
3．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（ ）
A．60米 B．120米 C．150米 D．300米
【答案】C
【解析】
【分析】
应用正弦定理有，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.
【详解】
由题设，，
在△中，，即，
所以米.
故选：C
4．年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有三点，且在同一水平面上的投影，满足，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则两点到水平面的高度差为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过做辅助线可得，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以，
在中，，由正弦定理得：
，所以，
所以，
所以．
故选：B．
5．今年第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，点，正北方向的市受到台风侵袭，一艘船从点出发前去实施救援，以的速度向正北航行，在处看到岛在船的北偏东方向，船航行后到达处，在处看到岛在船的北偏东方向.此船从点到市航行过程中距离岛的最近距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造三角形运用正弦定理求解三角形即可得出结果.
【详解】
如图，中，，，，，
由正弦定理得，
所以船与岛的最近距离：
故选：C.
6．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目所给俯角，求出内角，利用正弦定理求解即可.
【详解】
从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，气球的高度是，
所以
所以，
由正弦定理可得，，，
所以.
故选：C
二、填空题
7．《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意画出图象，即可得到，，再利用正弦定理计算可得；
【详解】
解：如图，设震源在C处，则，则由题意可得，根据正弦定理可得，又所以，
所以震源在A地正东处.
故答案为：
8．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .
【答案】70
【解析】
【分析】
画出图形，在中，利用余弦定理，即可求解的长，得到答案.
【详解】
由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，
则李华的行走路线，如图所示，
在中，因为，
由余弦定理可得：
米，
即李华回到自家楼下至少还需走70米.
故答案为：70.
9．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为_________m.
【答案】
【解析】
【分析】
由图中所示，可求出，，利用正弦定理求出，在直角△CMD中求解即可.
【详解】
在△ABM中，，则（m），
在△ACM中，因为，，
所以.
因为，
所以（m），
故（m）.
故答案为：
10．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃观景台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M山峰和N山峰间建一座空中玻璃观景桥.已知两座山峰的高度都是300m，从B点测得M点的仰角，N点的仰角以及，则两座山峰之间的距离_________m.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出的长度，进而在中，结合余弦定理即可求出结果.
【详解】
因为，，
在中，结合余弦定理知
即，
故，所以，
故选：B.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、解答题
11．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为
（1）若两机器人运动方向的夹角为足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍
（i）若足够长，求机器人乙能否挑战成功.
（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？
【答案】（1）最大值是6；（2）（i）不能；（ii）米.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理列方程，结合基本不等式求得两机器人运动路程和的最大值.
（2）（i）结合线线平行作出判断.
（ii）设，利用余弦定理建立和的关系式，进而用表示出，结合二次函数的性质求得的最小值.
【详解】
（1）如图，在中
由余弦定理得，，
所以，
所以，（当且仅当时等号成立），
故两机器人运动路程和的最大值为6.
（2）（i）在中由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故，因为，可知两机器人的运动方向平行，所以不论多长，机器人乙都不可能拦截到甲，所以不可能拦截成功.
（i）设，则，
由余弦定理可得，所以
所以
由题意得对任意恒成立，
故，当且仅当时取到等号.
答：矩形区域的宽至少为2米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲.
12．如图，某公园内有两条道路AB， AP， 现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把△ABC所在区域改造成绿化区域，已知∠BAC=，AB=2km.
（1） 若绿化区域△ABC的面积为，求道路BC的长度；
（2） 绿化区域△ABC每的改造费用与新建道路BC每km修建费用都是角∠ACB的函数，其中绿化区域△ABC改造费用为万元/，新建道路BC新建费用为万元/ km，设，某工程队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建，已知绿化区域改造费与道路新建费用越高，则工程队所获利润也越高，试问当为何值时，该工程队获得最高利润
【答案】（1）；（2）当时，该工程队获得最高利润．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形面积公式求出，再根据余弦定理求出；
（2）设绿化区域改造费与道路新建费用之和为万元，由题意得，由正弦定理可求得，，根据题意结合三角恒等变换公式以及辅助角公式可得，再结合三角函数的性质即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵绿化区域的面积为，
∴，
∵，，
∴，得，
由余弦定理得
，
∴，
即的长度为；
（2）设绿化区域改造费与道路新建费用之和为万元，
∵，，
∴，
由正弦定理得，
，，
则由题意可得
，
∵，
∴，
∴，当且仅当即时取等号，
∴当时，该工程队获得最高利润．
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查简单的三角恒等变换，考查计算能力，属于中档题．11.3正弦定理与余弦定理的应用
一、单选题
1．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（ ）
A．30m B． C． D．
2．如图，在救灾现场，搜救人员从处出发沿正北方向行进米达到处，探测到一个生命迹象，然后从处沿南偏东行进米到达处，探测到另一个生命迹象，如果处恰好在处的北偏东方向上，那么（ ）
A．米 B．米 C．10米 D．米
3．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（ ）
A．60米 B．120米 C．150米 D．300米
4．年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有三点，且在同一水平面上的投影，满足，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则两点到水平面的高度差为（ ）
A． B．
C． D．
5．今年第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，点，正北方向的市受到台风侵袭，一艘船从点出发前去实施救援，以的速度向正北航行，在处看到岛在船的北偏东方向，船航行后到达处，在处看到岛在船的北偏东方向.此船从点到市航行过程中距离岛的最近距离为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.
8．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .
9．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为_________m.
10．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃观景台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M山峰和N山峰间建一座空中玻璃观景桥.已知两座山峰的高度都是300m，从B点测得M点的仰角，N点的仰角以及，则两座山峰之间的距离_________m.
三、解答题
11．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为
（1）若两机器人运动方向的夹角为足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍
（i）若足够长，求机器人乙能否挑战成功.
（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？
12．如图，某公园内有两条道路AB， AP， 现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把△ABC所在区域改造成绿化区域，已知∠BAC=，AB=2km.
（1） 若绿化区域△ABC的面积为，求道路BC的长度；
（2） 绿化区域△ABC每的改造费用与新建道路BC每km修建费用都是角∠ACB的函数，其中绿化区域△ABC改造费用为万元/，新建道路BC新建费用为万元/ km，设，某工程队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建，已知绿化区域改造费与道路新建费用越高，则工程队所获利润也越高，试问当为何值时，该工程队获得最高利润
