第2课 定义与命题
知识点01 定义、命题、定理的含义
1.定义：一般地，能清楚地规定某一名词或者术语的意义的语句叫做该名词或术语的定义．
2.命题 ：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题．
3.定理：用推理方法判断为正确的命题叫做定理
注：定理是真命题，但不是全部真命题都可以称为定理，通常只把一些常用的真命题列为定理．
知识点02 命题的结构
1.命题的结构：命题一般由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
2.命题的一般形式：“如果…，那么…”，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
知识点03 真命题与假命题
1.真命题：正确的命题叫真命题，
2.假命题：不正确的命题叫做假命题．
注：要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确的．
要判定一个命题是假命题，通常只需给出一个反例
考点01 定义、命题、定理的含义
【典例1】
1．下列选项中不是命题的是（ ）
A．过直线外一点作这条直线的垂线
B．带根号的数都是无理数
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
【即学即练1】
2．下列语句中：（1）你去哪里？（2）2022年北京冬奥会；（3）对顶角相等；（4）3不是奇数．命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点02 命题的结构
【典例2】
3．命题“如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”的题设是 ，结论是 ，它是 命题．
【即学即练2】
4．把下列命题改成“如果…那么…”的形式．
(1)不相交的两条直线是平行线
(2)相等的两个角是对顶角
(3)经过一点有且只有一条垂线
(4)直角都相等．
考点03 判断命题的真假
【典例3】
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行
C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条
【即学即练2】
6．下列语句是假命题的有（ ）
A．同角的余角相等
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．同位角相等
D．同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
题组A 基础过关练
7．下列句子中是命题的是( )
A．画∠A＝30° B．您好！ C．对顶角不等 D．谁？
8．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．其中真命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
9．下列命题是假命题的是( )
A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3 B．对顶角相等
C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除 D．内错角相等
10．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．内错角相等 B．对顶角相等
C．同位角相等 D．互补的两个角是邻补角
11．命题一般都由条件和结论两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是 ．
12．一个命题由“题设”和“结论”两部分组成．则命题“如果同旁内角互补，那么两直线平行”的题设是 ．
13．命题：直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a//c；则此命题为 命题．（填真或假）
14．把下面的命题改写成“如果…那么…”形式：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 ．
15．下面语句是那个定义的特征？
(1)连接三角形的顶点和对边中点的线段；（2）三角形一边的延长线和另一边组成的角
（3）不等式组中各个不等式的解集的公共部分（4）点到直线的垂线段的长度；
16．指出下列命题的题设和结论：
（1）“平行于同一直线的两条直线互相平行”命题的题设、结论．题设是： ，结论是： ．
（2）“两个负数的和是负数”命题的题设、结论．题设是： ，结论是： ．
（3）“相交的两条直线一定不平行”命题的题设、结论．题设是： ，结论是： ．
（4）“任意两个偶数之差是偶数”命题的题设、结论．题设是： ，结论是： ．
题组B 能力提升练
17．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．同旁内角互补 B．若，则
C．直角都相等 D．相等的角是对顶角
18．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝ B．x＝3 C．x＝﹣ D．x＝π
19．下列命题中
①相等的角是对顶角；②无理数就是开方开不尽的数；③同旁内角互补；④数轴上的点与实数一一对应．其中是真命题的有（ ）
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
20．把命题“两个锐角的和是锐角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ．
21．判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论．
(1)内错角相等；
(2)对顶角相等；
(3)画一个60°的角．
22．写出下列命题的条件和结论．
(1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(2)绝对值等于3的数是3；
(3)如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线．
题组C 培优拔尖练
23．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．如果b＜a，那么a＞b B．同旁内角互补
C．垂线段最短 D．反向延长射线MN
24．下列命题中是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．若，则
C．等角的补角相等 D．两条直线不相交就平行
25．对顶角相等是 （真或假）命题，此命题的题设是 结论是
26．请举出一个关于角相等的定理： ．
27．已知下列语句：①平角都相等；②画两个相等的角；③两直线平行，同位角相等；④等于同一个角的两个角相等吗；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥等腰三角形的两个底角相等，其中是命题的有 （填序号）
28．指出下列命题的条件和结论．
(1)一个锐角的补角大于这个角的余角；
(2)不相等的两个角不是对顶角；
(3)异号两数相加得零．
29．举反例说明下列命题是假命题．
（1）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；
（2）无限小数是无理数；
（3）两直线被第三条直线所截，同位角相等．
参考答案：
1．A
【分析】根据命题的概念判断即可．
【详解】解：A、过直线外一点作这条直线的垂线，不是命题，符合题意；
B、带根号的数都是无理数，是命题，不符合题意；
C、三角形任意两边之和大于第三边，是命题，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查命题的概念，判断一件事情的语句叫做命题；命题必须是一个完整的句子，它必须对某一件事情作出肯定或者否定的判断，命题一般为陈述句，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
2．B
【分析】根据命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题，进行判断即可．
【详解】解：（1）你去哪里？是疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
（2）2022年北京冬奥会，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
（3）对顶角相等，对问题作判出了判断，是命题，符合题意；
（4）3不是奇数，对问题作出了判断，是命题，符合题意；
命题共有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义，难度不大．
3． ∠1＝∠2，∠2＝∠3； ∠1＝∠3； 真
【分析】根据命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项即可作答．
【详解】解：“如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”的题设是：∠1＝∠2，∠2＝∠3．结论是∠1＝∠3，是真命题．
故答案为：∠1＝∠2，∠2＝∠3；∠1＝∠3；真．
【点睛】本题主要考查了命题的定义，命题分为题设和结论两部分，对于以“如果…，那么…”形式叙述的命题，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
4．(1)如果两条直线不相交，那么这两条直线平行
(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
(3)如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直
(4)如果所有的角是直角，那么它们都相等
【分析】(1)根据命题及其组成即可写得；
(2) 根据命题及其组成即可写得；
(3) 根据命题及其组成即可写得；
(4) 根据命题及其组成即可写得．
【详解】（1）解：不相交的两条直线是平行线，
∵原命题的条件是：“两条直线不相交”，结论是：“这两条直线平行”，
∴命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两条直线不相交，那么这两条直线平行”；
（2）解：相等的两个角是对顶角，
∵原命题的条件是：“两个角相等”，结论是：“这两个角是对顶角”，
∴命题“相等的两个角是对顶角”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；
（3）解：经过一点有且只有一条垂线，
∵原命题的条件是：“经过一点”，结论是：“有且只有一条垂线”，
∴命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直”；
（4）解：直角都相等．
∵原命题的条件是：“所有的直角”，结论是：“都相等”，
∴命题“直角都相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果所有的角是直角，那么它们都相等”．
【点睛】本题考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成，把命题写成“如果…，那么…”的形式时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
5．B
【分析】利用平行公理及平面内两直线的位置关系分别判断即可确定答案．
【详解】两直线平行，同位角相等，故A错误，是假命题，不符合题意；
平行于同一条直线的两直线平行，故B正确，是真命题，符合题意；
平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故C错误，是假命题，不符合题意；
过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故D错误，是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题的真假，涉及平行的公理及平面内两直线的位置关系等，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．C
【分析】根据平行线的性质、余角以及同位角的定义等相关知识分别判断即可．
【详解】解：A、同角的余角相等，是真命题，不符合题意；
B、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故本选项说法错误，是假命题，符合题意；
D、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，是真命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了命题的真假判断，解题关键是熟悉平行线的性质、余角以及同位角的定义等知识．
7．C
【分析】命题是能判断真假的陈述句,根据命题的定义即可解题.
【详解】解：A. 画∠A＝30°,不能判断真假,错误,
B. 您好！感叹句,错误,
C. 对顶角不等,假命题,是命题,
D. 谁？疑问句,错误,
故选C
【点睛】本题考查了命题的判断,属于简单题,熟悉命题的定义是解题关键.
8．A
【分析】依据对顶角、同位角、平行公理以及点到直线的距离的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故说法错误；
②同位角不一定相等，故说法错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了对顶角、同位角、平行公理以及点到直线的距离的概念，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
9．D
【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、如果，，那么，正确，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，正确，是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质，难度不大．
10．B
【分析】根据内错角、对顶角、同位角、邻补角的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、内错角不一定相等，则此项命题为假命题，不符题意；
B、对顶角相等，则此项命题是真命题，符合题意；
C、同位角不一定相等，则此项命题为假命题，不符题意；
D、互补的两个角不一定是邻补角，则此项命题为假命题，不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了内错角、对顶角、同位角、邻补角、命题，熟练掌握对顶角相等是解题关键．
11．两个角是对顶角
【分析】根据命题的定义和结构进行分析即可．
【详解】命题“对顶角相等”可写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故命题的条件是：两个角是对顶角．
故答案为：两个角是对顶角
【点睛】考核知识点：命题．理解命题的定义和结构是根据．
12．同旁内角互补
【分析】根据命题的特点，每个命题都由题设和结论两部分组成，题设是条件，结论是结果即可求解．
【详解】解：题设是同旁内角互补，结论是两直线平行．
故答案为：同旁内角互补．
【点睛】考查的是命题的组成，解题的关键是熟知每个命题都由题设和结论两部分组成，题设是条件，结论是结果．
13．真
【分析】根据平行线的性质定理判断即可．
【详解】解：∵a⊥b，c⊥b，
∴a∥c，
∴直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a∥c；则此命题为真命题；
故答案为：真．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断该命题的真假关键是要熟悉课本中与平行线有关的性质定理．
14．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等
【分析】把命题改写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
【详解】解：“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”写成“如果…，那么…”的形式为如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等．
故答案为：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等．
【点睛】本题考查的是命题和定理，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
15．（1） 三角形的中线；（2）三角形的外角；（3）不等式组的解集 ；（4）点到直线的距离.
【分析】定义：对概念的内涵或词语的意义所做的简要而准确的描述.
【详解】（1） 三角形的中线 （2）三角形的外角（3）不等式组的解集 （4）点到直线的距离.
【点睛】了解定义的含义是解题的关键.
16． 两条直线平行于同一条直线 这两条直线互相平行 有两个负数 它们的和是负数 两条直线相交 它们一定不平行 有任意两个偶数 它们的差是偶数
【分析】对每一个命题，根据命题的结构，写出题设、结论即可求解．
【详解】解：（1）“平行于同一直线的两条直线互相平行”可以改写成“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”．
题设是：两条直线平行于同一条直线，结论是：这两条直线互相平行；
（2）“两个负数的和是负数”可以改写成“如果有两个负数，那么它们的和是负数”．
题设是：有两个负数，结论是：它们的和是负数；
（3）“相交的两条直线一定不平行”可以改写成“如果两条直线相交，那么它们一定不平行”．
题设是：两条直线相交，结论是：它们一定不平行；
（4）“任意两个偶数之差是偶数”可以改写成“如果有任意两个偶数，那么它们的差是偶数”．
题设是：有任意两个偶数，结论是：它们的差是偶数
故答案为两条直线平行于同一条直线，这两条直线互相平行；有两个负数，它们的和是负数；两条直线相交，它们一定不平行；有任意两个偶数，它们的差是偶数．
【点睛】本题考查了命题与定理，命题由题设和结论两部分组成，找题设和结论的关键是会把命题写成“如果…那么…”的形式．
17．C
【分析】根据平行线的性质，有理数的乘方运算，对顶角的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 两直线平行，同旁内角互补，故该选项是假命题，不符合题意；
B. 若，则，故该选项是假命题，不符合题意；
C. 直角都相等，故该选项是真命题，符合题意；
D. 相等的角不一定是对顶角，故该选项是假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握相关定理性质是解题的关键．
18．A
【分析】根据二次根式的乘法法则、无理数的概念判断即可．
【详解】解：A、当x＝时，x2＝（）2＝3，3不是无理数，
则命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题，故本选项符合题意；
B、x＝3不是无理数，不能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题，故本选项不符合题意；
C、当x＝时，x2＝（）2＝，是无理数，不能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题，故本选项不符合题意；
D、当x＝π时，x2＝π2，π2是无理数，不能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．理解要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可是解题的关键．
19．A
【分析】利用对顶角的定义、无理数的定义、平行线的性质、实数与数轴的关系逐项判断即可求解．
【详解】解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故①错误；
无理数包括开方开不尽的数、无限不循环小数、含的数，因此不能说无理数就是开方开不尽的数，故②错误；
两直线平行的情况下，同旁内角互补，故③错误；
数轴上的点与实数一一对应，故④正确；
综上，真命题有1个．
故选A．
【点睛】本题考查判断命题的真假，熟练掌握对顶角与无理数的定义，平行线的性质，实数与数轴的关系是解题的关键．
20．如果两个角都是锐角，那么这两个角的和也是锐角
【分析】根据命题都可以写成“如果”、“那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，从而得出答案．
【详解】解：如果两个角都是锐角，那么这两个角的和也是锐角．
故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角的和也是锐角．
【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是了解“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．
21．(1)是命题．题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等
(2)是命题．题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等
(3)不是命题
【分析】（1）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可；
（2）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可；
（3）根据命题的定义判断即可．
【详解】（1）解：是命题．题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等；
（2）是命题．题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等；
（3）不是命题．
【点睛】本题考查了命题，解决本题的关键是理解命题是判断一件事情的语句，命题的题设为条件部分，结论为由条件得到的结论．
22．(1)条件：两条直线被第三条直线所截；结论：同旁内角互补
(2)条件：一个数的绝对值等于3；结论：这个数是3
(3)条件：∠DOE＝2∠EOF；结论：OF是∠DOE的平分线
【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．
【详解】（1）解：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补的题设是两条直线被第三条直线所截，结论是同旁内角互补；
（2）解：绝对值等于3的数是3的题设是一个数的绝对值等于3，结论是这个数是3；
（3）解：如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线的题设是∠DOE＝2∠EOF，结论是OF是∠DOE的平分线．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，写出一个命题的题设和结论常常改写成“如果…那么…”的形式；熟练地掌握命题的组成是解题的关键．
23．D
【分析】根据命题的定义一一判断即可．
【详解】解：A、如果b＜a，那么a＞b，是命题，本选项不符合题意；
B、同旁内角互补，是命题，本选项不符合题意；
C、垂线段最短，是命题，本选项不符合题意；
D、反向延长射线MN，不是命题，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查命题与定理，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．C
【分析】根据平行线性质，补角、平行线、平方等定义逐项判断．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
B、若，则，故原命题是假命题；
C、等角的补角相等，故原命题是真命题；
D、在同一平面内，两条直线不相交就平行，故原命题是假命题；
故选：C
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握补角、平方运算、平行线等定义．
25． 真
两个角是对顶角 这两个角相等
【分析】根据对顶角相等得出是真命题，再将该命题写成“如果……，那么……”的形式，即可解答．
【详解】解：对顶角相等可以改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，此命题是真命题，题设是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，
故答案为：真，两个角是对顶角，这两个角相等．
【点睛】本题考查命题与定理、判断命题的真假，会判断一个命题的真假，会将一个命题改写成“如果……，那么……”的形式，找准命题的题设和结论是解答的关键．
26．两直线平行，同位角相等
【分析】任意写出一个角相等的定理即可．
【详解】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
【点睛】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可．
27．①③⑤⑥
【分析】根据命题的定义可进行求解．
【详解】解：平角都相等，它是命题；
画两个相等的角为描叙性语言，它不是命题；
两直线平行，同位角相等，它是命题；
等于同一个角的两个角相等吗是疑问句，它不是命题；
邻补角的平分线互相垂直，它是命题；
等腰三角形的两个底角相等，它是命题．
故答案为①③⑤⑥．
【点睛】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键．
28．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】根据命题由题设和结论两部分组成，然后分别写出四个命题的题设和结论．
【详解】（1）如果一个角是锐角，那么这个角的补角大于这个角的余角.
条件：一个角是锐角；结论：这个角的补角大于这个角的余角.
（2）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.
条件：两个角不相等；结论：这两个角不是对顶角.
（3）如果两个数异号，那么这两个数相加得零.
条件：两个数异号；结论：这两个数相加得零.
【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；命题由题设和结论两部分组成．
29．见解析
【分析】根据命题举出使得命题不成立的命题即可．
【详解】解：（1）当a=3，b=﹣1时，满足a+b＞0，但a＞0，b＞0不成立；
（2）如为无限循环小数，但分数是有理数；
（3）如图，为同位角，但是
只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理、论证得到的真命题称为定理．
