人教A版（2019）选择性必修第二册《4.4 数学归纳法》提升训练
一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）某同学回答“用数学归纳法的证明”的过程如下：
证明：当时，显然命题是正确的．假设当时，有，那么当时，，所以当时命题是正确的，由可知对于，命题都是正确的，以上证法是错误的，错误在于
A. 从到的推理过程没有使用归纳假设 B. 假设的写法不正确
C. 从到的推理不严密 D. 当时，验证过程不具体
2.（5分）用数学归纳法证明：时第一步需要证明
A.
B.
C.
D.
3.（5分）已知，则
A. B.
C. D.
4.（5分）在用数学归纳法证明不等式“当时”时，第步由不等式成立，推证时左边的表达式为
A.
B.
C.
D.
5.（5分）用数学归纳法证明为自然数且时，第一步应
A. 证明时， B. 证明时，
C. 证明时， D. 证明时，
6.（5分）在用数学归纳法证明：当，，，时求证，由时不等式成立，推证的情形时，应该给时不等式左边
A. 加 B. 减 C. 乘以 D. 除以
7.（5分）用数学归纳法证明“不等式对一切正整数恒成立”的第二步中，已经假设时不等式成立，推理成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明
A.
B.
C.
D.
8.（5分）用数学归纳法证明不等式的过程中由递推到时不等式左边应添加的项为
A.
B.
C.
D.
9.（5分）用数学归纳法证明时，到时，不等式左边应添加的项为
A.
B.
C.
D.
10.（5分）用数学归纳法证明：从到，若设，则等于
A. B.
C. D.
11.（5分）用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，能被整除”，在第二步的证明时，正确的证法是
A. 假设时命题成立，证明时命题也成立
B. 假设是正奇数时命题成立，证明时命题也成立
C. 假设是正奇数时命题成立，证明时命题也成立
D. 假设时命题成立，证明时命题也成立
12.（5分）用数学归纳法证明，则从“到”，左边所要添加的项是
A. B.
C. D.
13.（5分）利用数学归纳法证明等式：，当时，左边的和，记作，则当时左边的和，记作，则
A. B.
C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）用数学归纳法证明“”时，有不等式成立，推证时，左边应增加的项是_________________________.
15.（5分）用数学归纳法证明…中，当时，应在的左端加上_________________________.
16.（5分）用数学归纳法证明…的过程中，第二步假设当时等式成立，则当时应得到的式子为________.
17.（5分）比较与的大小时会得到一个一般性的结论，用数学归纳法证明这一结论时，第一步要验证________.
18.（5分）已知数列的前项和为，且若，则________.
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）对于任意正整数，猜想与的大小关系，并给出证明．
20.（12分）已知数列满足，。
求，，；
归纳猜想数列通项公式，并证明结论的正确性。
21.（12分）在数列中，，其中
求，，；
猜想的通项公式，并加以证明．
22.（12分）已知．
证明：
分别求，；
试根据的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．
23.（12分）平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这个圆的交点个数为，猜想的表达式，并用数学归纳法证．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：用数学归纳法应这样证明：
当时，显然命题是正确的；
假设当时，有，即；
则当时，，
所以当时命题是正确的，
由可知对于，命题都是正确的．
原题目中的证法是错误的，错误在于从到的推理过程没有使用归纳假设；
只是用了放缩法和不等式的性质，不符合数学归纳法的要求．
故选：．
此证明中，从推出成立中，没有用到假设成立的形式，不是数学归纳法．
该题考查了数学归纳法证明命题的应用问题，正确理解数学归纳法证明命题的要求是解答该题的关键．
2.【答案】C;
【解析】
该题考查数学归纳法的证明，属于基础题．
直接利用数学归纳法写出时左边和右边的表达式即可，不等式的左边需要从加到，不要漏掉项．
解：用数学归纳法证明，
第一步应验证不等式为：，
故选C．
3.【答案】B;
【解析】解：，
则
故选：．
写出的表达式求解即可．
正确弄清由到时增加和减少的项是解答该题的关键．
4.【答案】C;
【解析】此题主要考查了数学归纳法的步骤的第二步②注意从到的变化显然不是第项，应是第项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以收尾故时最后一项应为所以在后面还有、最后才为即应选择
5.【答案】B;
【解析】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立；
结合本题，
时，右，左，成立，
第一步应证明时，成立．
故选：．
根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证时，命题是否成立．
该题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意的取值范围．
6.【答案】C;
【解析】解：左边的特点：个相乘，
由时为，当时，为，
推证的情形时，应该给时不等式左边乘以
故选：
观察不等式左侧表达式的特点，是二项式，然后判断时相乘的表达式即可．
本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，表达式的形式问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．
7.【答案】B;
【解析】解：假设时不等式成立，即不等式，
时，不等式成立：即不等式，
即不等式，
所以利用放缩过程主要是证明：
即
故选：
写出的不等式以及时的不等式，即可判断结论．
此题主要考查数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8.【答案】C;
【解析】
该题考查数学归纳法，属于基础题．
当和时，分别写出左边，两者比较，即可得解．
解：当时，左边，
那么当时，左边，
故由到时不等式左边增加了，
故选：．
9.【答案】C;
【解析】
此题主要考查运用数学归纳法证明不等式的问题，属于基础题.
将，分别代入作差即可.
解：当时，左边 .
当时，左边 ，
所以不等式左边应添加的项为，
故选
10.【答案】B;
【解析】解：由数学归纳法证明时，
从“”到“”的证明，左边需增添的一个因式是，
则，
故选：．
根据“”到“”时，等式左边添加两项，，同时减少一项，可判断．
该题考查数学归纳法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是基础题．
11.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了数学归纳法的证题步骤，属于基础题．根据数学归纳法的证明步骤结合选项求解即可．
解：根据题意，结合数学归纳法的证明步骤，在第二步的证明时，
假设是正奇数时命题成立，证明时命题也成立，
或写成假设时命题成立，证明时命题也成立，
结合选项可得选项符合题意，
故选
12.【答案】D;
【解析】解：当时，等式的左边为，
当时，等式的左边为，
故从“到”，左边所要添加的项是．
故选：．
根据式子的结构特征，求出当时，等式的左边，再求出 时，等式的左边，比较可得所求．
该题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从到项的变化．
13.【答案】C;
【解析】解：依题意，…，
则…，
…
…，
故选：
通过分别写出与的表达式，对应相减即得结论．
此题主要考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于基础题．
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查了运用数学归纳法证明，是基础题.
解：用数学归纳法证明“”时，
有时左端为不等式成立，
推证时，左端为，
所以时，左边应增加的项是，
故答案为
15.【答案】
;
【解析】
此题主要考查数学归纳法的应用，属中档题.
解：数学归纳法证明…中，
当时，，
当时，左端应为
，
应加上
故答案为
16.【答案】…
;
【解析】
此题主要考查了数学归纳法的概念问题，知识点少，属于基础题，需要同学们对数学归纳法的概念理解记忆.
解：将式子中的用替换，
由到等式的左边增加了一项即当时，
有，
注意左边最后一项为，
故答案为…
17.【答案】当时，;
【解析】
此题主要考查数学归纳法，验证后，，时，不成立，当时，结论成立，故可得结果．
解：当时，不成立；
当时，不成立；
当时，，结论成立．
故答案为当时，
18.【答案】;
【解析】
此题主要考查由数列的前项和与通项的关系求通项，属于中档题．
利用得到，猜想，再用数学归纳法证明即可．
解：，解得，
当时，，
得
因为，猜想
下用数学归纳法证明：
时，满足；
假设时，，
则当时，，
所以，即时也成立，
综合对，都有，
故答案为
19.【答案】;
【解析】时，；
时，；
时，，
猜想时，
证明：
①当时，由以上知结论成立；
②假设当时，，
则时，
而，因为，故，
所以，即，
即，
即时，结论成立，由①，②知，对任意，结论成立
20.【答案】解：由且，
所以，，
由猜想
下面用数学归纳法证明：
①当时，由已知，所以成立；
②假设时，成立.
当时，，
当时，猜想成立.
综上可知，猜想对一切都成立.;
【解析】
此题主要考查数列的应用，熟悉数列的递推公式是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题.
由题意得，运用数列的递推公式即可求解；
由可知，直接运用数学归纳法即可求解.
21.【答案】解：，，其中
，，
，同理可得；
由此可猜想出数列的通项公式为，
证明：①当时，，等式成立．
②假设当时等式成立，即
则当时，
所以，当时等式也成立．
由①②可知数列的通项公式是：;
【解析】
此题主要考查了数学归纳法的应用，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
由于，，其中可得，，，
由此可猜想出数列的通项公式为显然时，等式成立，假设时等式成立，证明时等式也成立.
22.【答案】解：（1）证明：∵f（x）=．
∴f（0）+f（1）=+=+==．
（2）f（-1）+f（2）=+=+=，
f（-2）+f（3）=+=+=．
（3）由（1）（2）猜想一般结论是：f（-x）+f（1+x）=．
证明如下：f（-x）+f（1+x）=+=+=．;
【解析】
由代入计算可得．
代入计算可得，．
由猜想一般结论是：代入即可证明结论．
该题考查函数解析式及其函数值的计算、猜想归纳能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.【答案】解：∵两个圆相交交点为：2个，
三个圆相交交点为：6个，
四个圆相交交点为：12个，
…
平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，
则交点个数f（n）==n（n-1）．
证明：①当n=2时，两个圆有2个交点，命题成立．
②假设n=k（k≥1）时，命题成立，即k个圆有k（k-1）个交点．
当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，共有k（k-1）+2k=（k+1）k个交点．
∴n=k+1时，命题也成立．
由①、②知，对任意的n∈N*，命题都成立．;
【解析】
推出个圆的交点公式，个圆的交点个数，个圆的交点个数，进行归纳推理，易得到结论，再利用数学归纳法的证明方法，验证时命题成立，然后假设时命题成立，证明时命题也成立即可．
此题主要考查了进行简单的合情推理．归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想考查数学归纳法的应用，是中档题．
