2023-2024学年江苏省基地大联考高三上学期第一次质量监测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列可能是函数的图象的是( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影封神榜，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为( )
A. B. C. D.
7. 已知正方体的棱长为，则以点为球心，为半径的球面与平面的交线长为( )
A. B. C. D.
8. 对，，当时，，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则
A. 这一星期内甲的日步数的中位数为
B. 这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差
C. 这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差
D. 这一星期内乙的日步数的上四分位数是
10. 已知事件，，且，，则下列说法正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果与相互独立，那么
D. 如果与相互独立，那么
11. 已知函数的定义域为，且，函数的图象关于点对称，，则( )
A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称
C. D.
12. 已知，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在二项式的展开式中，常数项是____________．
14. 已知同一平面内的单位向量，，，满足，则____________．
15. 已知随机变量，，，且，，则____________．
16. 已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程： ， ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
市场监管部门统计了某网红饮品小店在年月至月的销售收入单位：万元，得到以下数据：
月份
销售收入
根据表中所给数据，求出关于的线性回归方程，并估计年月份该小店的销售收入；
为调查顾客对该小店的评价情况，随机抽查了名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断能否有的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”．
喜欢 不喜欢 总计
男
女
总计
附：线性回归方程：，
其中，，，
18. 本小题分
设函数， ．
求的极值；
对于，，都有，求的取值范围．
19. 本小题分
如图，直三棱柱中，，，平面平面．
求证：；
求二面角的正弦值．
20. 本小题分
第届亚运会将于年月日至月日在中国杭州举办．中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和，其中，甲、乙、丙三人晋级与否互不影响．
试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；
若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望．
21. 本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点．
若是直线与平面的交点，试确定的值；
若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积．
22. 本小题分
已知函数，．
求证：；
若函数在上存在最大值，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算、分式不等式的求解，属于基础题．
解不等式，化简集合，，再根据交集的概念，即可求出结果．
【解答】
解：，
解得，
所以，
，
所以
所以．
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的运算问题和模长的计算问题，属于基础题．
根据复数代数形式的运算求出复数，再计算模长的大小．
【解答】
解：由，得，
解得，
所以．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分条件与必要条件的判断．
由必要条件、充分条件与充要条件判断即可．
【解答】
解：由“”可得或
即，或，，
故“”成立，充分性成立；
反之，若成立，则不一定成立，
如，，满足，但，无意义，
故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，属于中档题．
本题根据排除法求解，先计算，发现，所以函数为偶函数，排除选项；再代入特殊值，计算得，所以排除选项，，所以排除，可得．
【解答】解：因为，且定义域为，
所以，
所以函数为偶函数，排除选项；
，所以排除；
，所以排除．
故答案选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了复合函数单调性的应用，属于中档题．
令，由条件利用复合函数的单调性可得在上，且单调递减，所以，求得的范围．
【解答】
解：令，则，
因为函数在上单调递减，
所以在上，且在上单调递减，
所以 ，
解得，
实数的取值范围是．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分步乘法计数原理、排列与组合的综合应用，属于基础题．
根据丙的位置进行分类，结合排列、组合的知识点，即可求出结果．
【解答】
解：利用分类讨论的方法解决，如图的个位置，
根据丙的位置进行分类：
当丙在位置时，不同的坐法有种；
当丙在位置时，不同的坐法有种
当丙在位置时，不同的坐法有种；
由对称性知丙在位置，，时坐法的种数和丙在位置，，时相同，
综上，不同的坐法种数有．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查球面与平面的交线长度，球的结构，属于中档题．
由正方体性质，求出到平面的距离，再由球的结构，得到截面圆的半径，进而得到交线长度即可．
【解答】
解：如图：
设到平面的距离为，
由，则，
即，
解得，
而球半径，故平面截球所得截面圆半径，
从而圆周长．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究恒成立问题，属于较难题．
对于原不等式进行同构处理，可得，构造函数，可知函数在上单调递增，求导，令恒成立，即可求出的取值范围．
【解答】
解：对于任意，当时，成立，
两边取对数化简可得，
即恒成立，
令，
，
在上单调递增，
在恒成立，
在恒成立，
只需，
在的最大值为，
，
则实数的取值范围是．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查折线图、中位数、方差、百分位数、极差，属于基础题．
根据题意，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：选项，这一星期内甲的日步数从小到大为：
，，，，，，，
所以中位数为，选项A正确
选项，这一星期内甲的日步数的极差为，
这一星期内乙的日步数的极差为，故B正确；
选项，甲有极端值，对方差的影响大，
所以甲日步数的方差大于乙，故C错误
选项，这一星期内甲的日步数从小到大为：
，，，，，，，
因为，
所以这一星期内乙的日步数的上四分位数是，故D错误．
故选AB．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件和对立事件的相关概念，相互独立事件同时发生的概率等知识，属于基础题．
根据定义结合选项依次求解作答即可．
【解答】
解：对于，如果，则，故A正确
对于，如果，则，故B正确
对于，如果与相互独立，
则
，故C不正确
对于，如果与相互独立，
则
，故D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的周期性及奇偶性，函数的对称性，属于中档题．
根据题意可得函数的周期性、奇偶性及对称性，结合赋值即可逐一判断．
【解答】
解：，则，
则，则函数为周期函数，且最小正周期为，
函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，的定义域为，
所以函数为奇函数，，故选项A错误；
，令，，
所以，则，
，，
的图象关于直线对称，故选项B正确；
，，
，故选项C正确；
，，
则，故选项D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于中档题．
根据对数运算法则、基本不等式计算即可求得．
【解答】
解：因为，所以，，其中，所以，故A正确
，故B正确
由于，，
则，故C错误
，故D正确．
故选ABD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，基础题
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
【解答】
解：二项式的展开式为，
令，解得，
故常数项为，
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，向量的模，考查简单的运算能力，属于基础题．
由条件可得，再计算求得 ，即可求解．
【解答】
解： 已知，且，
，
即，得，
所以 ，
所以 ．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项分布与正态分布的期望，属于基础题.
由正态分布的性质以及二项分布的期望公式即得.
【解答】
解：由P(Y2)=，Y~N(μ,σ2)得μ=2，即E(Y)=2，
故E(X)=6p=2，即p=.
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，利用导数求曲线的切线方程，属于中档题．
设直线与曲线 的切点为，直线与曲线 的切点为，利用导数的几何意义求得切线方程，得到 ，即可求解．
【解答】
解：设直线与曲线的切点为，
直线与曲线的切点为，
因为在点处的切线的斜率为，
在点处的切线的斜率为，
则直线的方程可表示为或，
所以
由可得，
代入可得，即，
所以或，解得或，
所以直线的方程为或．
17.【答案】解：由已知得：，，
，，
所以，，
则关于的线性回归方程为．
令，得，
所以估计年月份小店的销售收入有万元．
填写列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男
女
合计
，
所以有的把握认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关”
【解析】本题考查了回归直线方程和独立性检验，是基础题．
根据题意，由最小二乘法计算可得、的值，将其代入回归直线的方程即可得答案；
由公式得出，对照临界值表可得结论．
18.【答案】解：函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
故函数的极大值为，极小值为；
对于，，都有，则．
由可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，故．
所以，故．
【解析】本题考查利用导数研究函数的极值及不等式恒成立问题的应用，属于中档题．
利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；
分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围．
19.【答案】证明：如图所示，
过点做，交于点，
又平面侧面，平面侧面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又三棱柱为直三棱柱，
则底面，底面，
所以，又，
所以侧面，
又侧面，
故AB；
过点作于点，连结，
由可知，，
因为，，所以，
由可知，平面，平面，
则，且，
所以为二面角的一个平面角，
在中，，，
所以，
故二面角的正弦值为．
【解析】本题考查了线线垂直的证明，涉及了线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的性质定理的应用，考查了二面角的求解，解题的关键是正确找到二面角的平面角．
过点做，交于点，结合面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理即可证明；
过点作于点，连结，推导出即为二面角的平面角，求解即可．
20.【答案】解：甲进入决赛的概率为，
乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为
因为，所以．
当时，当时，．
设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，则
，
整理得，解得或．
由，所以，
即丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为，，
所以丙进入决赛的概率为．
设进入决赛的人数的可能取值为：，，，．
所以，
，
，
．
所以，的分布列为
所以，．
【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量及其分布列和期望，属于中档题．
利用相互独立事件同时发生的概率公式，分别求得甲，乙，丙进入决赛的概率，即可判断；
根据甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为 ，列出方程求解丙进入决赛的概率，进而的可能取值为，，，，分别求得，，，，即可得到的分布列进而求出期望．
21.【答案】解：取的中点，连接，则，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
，，，
设，
则
，
设平面的法向量，
则，所以，取，
易知，所以，解得，此时；
设，
则
，
则，
整理得，解得或舍去，
，，设平面的法向量为，
则，所以
取，又，
则点到平面的距离即点到平面的距离为，
由已知条件，在中，，可得，
，
所以，．
【解析】本题主要考查直线与平面所成角的向量求法，棱锥的体积，考查空间想象能力，属于较难题．
取的中点，连接，则，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由，通过向量垂直的坐标运算求出，即可求解；
设，利用向量法求出点到平面的距离即点到平面的距离，然后再由棱锥的体积公式进行求解即可．
22.【答案】解：，
要证明，只要证明．
设，，
则，
令，则令，则，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，即，
即，即．
由题可得，
令，，则，
当时，，在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，无最大值，不符合题意
当时，，在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，无最大值，不符合题意．
当时，由，可得，
所以，，在上单调递增，
，，在上单调递减．
由知：．
所以当时，
取，则，且．
又，所以由零点存在性定理，存在，使得，
所以当时，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上存在最大值，符合题意．
综上，实数的取值范围为．
【解析】本题主要考查利用导数证明不等式，利用导数根据函数的最值求参，属于较难题．
要证明，只要证明，设，，通过导函数确定函数的单调性，从而求出最值，即可证明．
令，，则，再对进行讨论结合即可得到答案．
第1页，共1页
