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2023—2024学年高中三年级摸底考试
数学试题
本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B. C.3 D.5
3.已知平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为（ ）
A.12 B.18 C.21 D.24
5.过点与圆相切的两条直线垂直，则（ ）
A. B. C. D.4
6.“曲线恒在直线上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
7.已知为锐角，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. B. C.85 D.120
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知函数的最大值为2，则（ ）
A. B.的图象关于点对称
C.是图象的一条对称轴 D.在上单调递增
10.已知非零实数，满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A.直线
B.直线
C.
D.过，，三点的平面截正方体的截面面积为
12.已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（ ）
A. B.直线过定点
C.的最小值为 D.的最小值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则圆锥的体积为________.
14.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，并记录正面向上的点数，记事件为“第一次的点数大于第二次的点数”，记事件为“两次点数之和为偶数”，则的值为________.
15.已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________.
16.若函数的图象关于直线对称，且有且仅有4个零点，则的值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知中，内角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求外接圆的半径；
（2）若，求的面积.
18.（12分）随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响.为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下：
年份编号 1 2 3 4 5
年份 2018 2019 2020 2021 2022
销售额（单位：万元） 1513 1465 1202 1060 860
（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额.
参考公式及数据：，，，
，，.
19.（12分）等差数列满足，，正项等比数列满足，是和的等比中项.
（1）求和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
20.（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，点是棱的中点，点是棱上一点.
（1）证明：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
21.（12分）已知双曲线：的一条渐近线方程为，点在上.
（1）求的方程；
（2）过右焦点的直线交于，两点，若，求的方程.
22.（12分）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）证明：当且时，.
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D B D A D C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 AD BCD ABC ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.39
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）【解析】（1）因为，
所以，
所以，
因为，
所以，即
所以，即
（2）由（1）可知：，，
因为，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以.
18.（12分）【解析】（1）由已知数据可得，，，
所以，，
所以，
因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系
（2）由已知数据可得，，
所以，
，
所以，关于的回归方程为
令，则（万元）
所以预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元.
19.（12分）【解析】（1）法一：由题意可得：，
解得，，
所以，；
法二：由题意可得，，所以，
则，
所以.
又且，，
所以，
所以.
（2）因为，
所以
20.（12分）【解析】（1）在正方形中，有，
又，，
所以，又，
所以，又，所以，
又，点是棱的中点，所以有，
又，所以，
又，所以.
（2）如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，设点，，
设平面的法向量，
，
令，可得，
又，
所以直线与平面所成角的正弦值，
化简可得，即，
所以或（舍），
即点，由可得，，，
所以点到平面的距离.
21.（12分）【解析】（1）由题，所以，
故双曲线的方程为.
（2）显然直线的斜率不为0，
设：，，，
则联立双曲线得：，故，，，
，
化简得：，
故，
即，或
当时，直线过点，不合题意，舍去，
所以直线的方程.
22.（12分）【解析】（1）方法一：由题意知，，，
①当时，，在上单调递减，所以，当时，，不合题意；
②当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，，不合题意；
③当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，对于任意的，，符合题意；
④当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，，不合题意.
综上所述，.
（2）由（1）知，时，即，当且仅当时等号成立.
令，其中且，则有，
又，所以，，即
所以.
所以，原不等式得证.
