福田区外国语学校北校区2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（ ）
A． B． C． D．
2．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋3＞b＋3 B．2a＞2b C．－a＜－b D．a－b＜0
3．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠－1 C．x＝2 D．x＝－1
4．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则□ABCD的周长是（ ）
A．16 B．14 C．26 D．24
5．一元二次方程x2－4x－1＝0配方后正确的是（ ）
A．（x－2）2＝1 B．（x－2）2＝5 C．（x－4）2＝1 D．（x－4）2＝5
6．若关于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k＞－ B．k≥－ C．k＜－ D．k≤－
7．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形
8．已知不等式ax＋b＞0的解集是x＜－2，则函数y＝ax＋b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9． 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
10．如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE＋∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP＋AP的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每题3分，共15分）
11．若x＝－1是关于x的一元二次方程x2－3x－2p＝0的一个根，则p＝ ．
12．如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，AC＝2，则四边形ABCD的面积为 ．
13．公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，设正方形空地原来的边长为xm，则可列方程为 ．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，P是BC延长线上一点，CF⊥AP于F，D，E分别为BC和AC的中点，连ED，EF，若∠APB＝40°，则∠DEF＝ 度．
15．如图，四边形ABCD是菱形，BD＝4，AD＝2，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 ．
三．解答题（共55分）
16．（4分）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．
17．（12分）（1）因式分解：16－4x2； （2）因式分解：4ab2－4a2b－b3．
（3）解方程：＝2． （4）解方程：2（x－1）2＝x－1．
18．（5分）先化简，再求值：（＋）÷，其中m＝4．
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）
20．（8分）如图，在□ABCD中，E为BC边的中点，连接DE，并延长DE交AB的延长线于点F．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形．
（2）若BC＝DF，AD＝8，∠A＝60°，求BD的长．
21．（10分）下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 ＝
解法二 设…… 等量关系：甲商品进价－乙商品进价＝20 －＝20
任务：
（1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．
A．甲种商品每件进价x元
B．乙种商品每件进价x元
C．甲种商品购进x件
（2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为 元/件，乙种商品的进价为 元/件．
（3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，当购进的甲、乙两种商品全部售出后，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价－进价）
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的解析式为y＝2x－2，此直线交x轴于点B，交y轴于点A，直线x＝－3与x轴交于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点M在x轴上方，且在直线x＝－3上，若△MAB面积等于12，请求出点M的坐标；
（3）如图2，已知点C（－3，4），若点P为直线AB上一动点，连接PC，在坐标轴上是否存在点Q，使△PCQ是以Q为直角顶点，PC为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
福田区外国语九年级开学考数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．
2．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋3＞b＋3 B．2a＞2b C．－a＜－b D．a－b＜0
【解答】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、两边都乘以－1，不等号的方向改变，故C不符合题意；
D、两边都减b，不等号的方向不变，故D符合题意；故选：D．
3．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠－1 C．x＝2 D．x＝－1
【解答】解：由题意得，x－2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
4．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则 ABCD的周长是（ ）
A．16 B．14 C．26 D．24
【解答】解：∵在 ABCD中，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，AD∥BC，
∴CE＝BC－BE＝8－3＝5，∠ADE＝∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝5，
∴ ABCD的周长是：2（AD＋CD）＝26．
故选：C．
5．一元二次方程x2－4x－1＝0配方后正确的是（ ）
A．（x－2）2＝1 B．（x－2）2＝5 C．（x－4）2＝1 D．（x－4）2＝5
【解答】解：∵x2－4x－1＝0，
∴x2－4x＝1，
∴x2－4x＋4＝1＋4，
∴（x－2）2＝5．
故选：B．
6．若关于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k＞－ B．k≥－ C．k＜－ D．k≤－
【解答】解：根据题意得Δ＝32－4（－k）＞0，
解得k＞－．
故选：A．
7．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
【解答】解：A．有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项错误；
B．两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；
D．两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
8．已知不等式ax＋b＞0的解集是x＜－2，则函数y＝ax＋b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵不等式ax＋b＞0的解集是x＜－2，
∴当x＜－2时，函数y＝ax＋b的函数值为正数，即直线y＝ax＋b的图象在x轴上方．
故选：A．
9．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE－DF＝2，
故选：B．
10．如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：
①△ABA1≌△CBA2；
②∠ADE＋∠A1CB＝45°；
③点P是直线DE上动点，则CP＋AP的最小值为；
④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠A1BA2＝∠ABC＝90°，
∴∠ABA1＝∠CBA2，
∵BA1＝BA2，
∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确；
过点D作DT⊥CA1于点T，
∵CD＝DA1，
∴∠CDT＝∠A1DT，
∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＋∠CDT＝45°，
∵∠CDT＋∠DCT＝90°，∠DCT＋∠BCA1＝90°，
∴∠CDT＝∠BCA1，
∴∠ADE＋∠BCA1＝45°，故②正确；
连接PA，AC．
∵A，A1关于DE对称，
∴PA＝PA1，
∴PA1＋PC＝PA＋PC≥AC＝，
∴PA1＋PC的最小值为，故③正确；
过点A1作A1H⊥AB于点H，
∵∠ADE＝30°，
∴AE＝A1E＝AD tan30°＝，
∴EB＝AB－AE＝1－，
∵∠A1EB＝60°，
∴A1H＝A1E sin60°＝×＝，
∴△A1BE的面积＝×（1－）×＝，故④错误；
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．若x＝－1是关于x的一元二次方程x2－3x－2p＝0的一个根，则p＝ 2 ．
【解答】解：把x＝－1代入方程x2－3x－2p＝0，得（－1）2－3×（－1）－2p＝0，
解得p＝2．
故答案为：2．
12．如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，AC＝2，则四边形ABCD的面积为 ．
【解答】解：如图，设AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，AC＝2，
∴AC⊥BD，，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴，
∴，
∴菱形ABCD的面积为．
故答案为：．
13．公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，设正方形空地原来的边长为xm，则可列方程为 （x－3）（x－2）＝56 ．
【解答】解：由图可得，
（x－3）（x－2）＝56，
故答案为：（x－3）（x－2）＝56．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，P是BC延长线上一点，CF⊥AP于F，D，E分别为BC和AC的中点，连ED，EF，若∠APB＝40°，则∠DEF＝ 100 度．
【解答】解：∵CF⊥AP，∠APB＝40°，
∴∠FCP＝90°－40°＝50°，
∴∠BCF＝180°－50°＝130°，即∠ECD＋∠ECF＝130°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵D，E分别为BC和AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ACB，
∴∠DEC＝180°－2∠ACB，
∵CF⊥AP，E为AC的中点，
∴EF＝EC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴∠CEF＝180°－2∠ECF，
∴∠DEF＝∠DEC＋∠CEF＝180°－2∠ACB＋180°－2∠ECF＝360°－2×130°＝100°，
故答案为：100．
15．如图，四边形ABCD是菱形，BD＝4，AD＝2，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝DC，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴四边形OGEF是矩形，
如图，连接OE，则OE＝GF，
当OE⊥DC时，GF的值最小，
∵BD＝4，AD＝2，
∴OC＝＝＝4，
∵S△ODC＝OD OC＝DC OE，
∴2×4＝2 OE，
∴OE＝，
则FG的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＜4，
解不等式②，得：x≥－1，
∴不等式组的解集为－1≤x＜4，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
17．（1）因式分解：16－4x2； （2）因式分解：4ab2－4a2b－b3．
（3）解方程：＝2． （4）解方程：2（x－1）2＝x－1．
【解答】解：（1）原式＝4（2＋x）（2－x）；
（2）原式＝－b（4a2－4ab＋b2）＝－b（2a－b）2；
（3）去分母得：3（x＋1）＋2x（x－1）＝2（x＋1）（x－1），
去括号得：3x＋3＋2x2－2x＝2x2－2，
解得：x＝－5，
经检验x＝－5是分式方程的解；
（4）x1＝1，,x2＝．
18．先化简，再求值：（＋）÷，其中m＝4．
【解答】解：原式＝[＋]÷＝ ＝，
当m＝4时，原式＝＝．
19．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）
【解答】解；（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，
可得P点坐标为：（，0）．
20．如图，在 ABCD中，E为BC边的中点，连接DE，并延长DE交AB的延长线于点F．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形．
（2）若BC＝DF，AD＝8，∠A＝60°，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE＝∠FBE，
∵点E为BC边的中点，∴BE＝CE，
∵在△DCE和△FBE中，，∴△CDE≌△BFE（ASA）；
∴CE＝BE，DE＝FE，
∴四边形DBFC是平行四边形．
（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，BC＝DF，
∴四边形DBFC是矩形，
∴∠BDC＝90°，
∵ ABCD中，AD＝8，∠A＝60°，
∴BC＝8，∠DCB＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴DC＝BC＝4，
∴DB＝＝＝4．
21．下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 ＝
解法二 设…… 等量关系：甲商品进价－乙商品进价＝20 －＝20
任务：
（1）解法一所列方程中的x表示 A ，解法二所列方程中的x表示 C ．
A．甲种商品每件进价x元
B．乙种商品每件进价x元
C．甲种商品购进x件
（2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为 50 元/件，乙种商品的进价为 30 元/件．
（3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，当购进的甲、乙两种商品全部售出后，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价－进价）
【解答】解：（1）根据题意可知，解法一所列方程中的x表示甲种商品每件进价x元，解法二所列方程中的x表示甲种商品购进x件
故答案为：A；C．
（2）解方程＝，得x＝50，
经检验，x＝50是原分式方程的解且符合题意；
∴x－20＝30（元），
故答案为：50；30；
（3）设购进甲种商品m件，则购买乙种商品（40－m）件，商品所获总利润为w元，
根据题意可知，w＝（80－50）m＋（45－30）（40－m）
＝15m＋600．
∵50m＋30（40－m）≤1440，
∴m≤12．
∵15＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝12时，W可取得最大值，此时W的最大值为：15×12＋600＝780（元）．
∴最大利润W为780元．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的解析式为y＝2x－2，此直线交x轴于点B，交y轴于点A，直线x＝－3与x轴交于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点M在x轴上方，且在直线x＝－3上，若△MAB面积等于12，请求出点M的坐标；
（3）如图2，已知点C（－3，4），若点P为直线AB上一动点，连接PC，在坐标轴上是否存在点Q，使△PCQ是以Q为直角顶点，PC为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线y＝2x－2交x轴于点B，交y轴于点A，
令x＝0，y＝－2，
令y＝0，x＝1，
∴A（0，－2），B（1，0）；
（2）过M作MN∥AB交x轴于N，连接AN，如图：
∵MN∥AB，△MAB面积等于12，∴△NAB面积等于12，
∴NB |yA|＝12，即NB×2＝12，∴NB＝12，∴N（－11，0）
∵MN∥AB，设直线NM为y＝2x＋c，则0＝2×（－11）＋c，
∴c＝22，
∴直线MN为y＝2x＋22，
令x＝－3得y＝16，
∴M（－3，16）；
（3）存在，设P（t，2t－2）：
①当点Q在x轴负半轴时，过P作PE⊥x轴于E，如图，
∴OE＝t，PE＝2t－2，
∵△PCQ是以Q为直角顶点，PC为底边的等腰直角三角形，
∴PQ＝CQ，∠PQC＝90°，
∴∠PQE＝90°－∠CQD＝∠QCD，
又∵∠PEQ＝∠QDC，
∴△PEQ≌△QDC（AAS），
∴QD＝PE＝2t－2，QE＝CD＝4，
∴OQ＝QE－OE＝OD－QD，
即4－t＝3－2t＋2，
∴t＝1，
∴OQ＝3，
∴Q（－3，0）；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过P作PG⊥y轴于G，如图：
∴PG＝t，OG＝2t－2，
∵△PCQ是以PC为底边的等腰直角三角形，
∴PQ＝CQ，∠PQC＝90°，
∴∠CQF＝90°－∠PQG＝∠GPQ，
又∵∠CFQ＝∠PGQ＝90°，
∴△CQF≌△QPG（AAS），
∴CF＝QG＝3，QF＝PG＝t，
∴OQ＝OG－QG＝OF－QF，
即2t－2－3＝4－t，
∴t＝3，
∴OQ＝4－t＝1，
∴Q（0，1）；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过P作PT⊥y轴于T，如图，
∴BT＝t，OT＝2t－2，
同②可证△CFQ≌△QTP（AAS），
∴CF＝QT＝3，QF＝PT＝t，
∴OQ＝OT＋QT＝OF＋QF，即2t－2＋3＝4＋t，
∴t＝3，
∴OQ＝4＋t＝7，
∴Q（0，7）；
④当点Q在x轴正半轴时，过P作PH⊥x轴于E，如图，
∴OH＝－t，PH＝2－2t，
∵△PCQ是以Q为直角顶点，PC为底边的等腰直角三角形，
∴PQ＝CQ，∠PQC＝90°，
∴∠PQH＝90°－∠CQD＝∠QCD，
又∵∠PHQ＝∠QDC，
∴△PHQ≌△QDC（AAS），
∴QD＝PH＝2－2t，QH＝CD＝4，
∴OQ＝QH－OH＝DQ－OD，
即4＋t＝2－2t－3，
∴t＝－，
∴OQ＝4＋t＝4－＝，
∴Q（，0）；
综上，Q的坐标为（－3，0）或（0，1）或（0，7）或（，0）．
