思维拓展：长方体和正方体综合（试题）数学六年级上册苏教版
一、选择题
1．下面能折成正方体盒子的是（ ）。
A． B．
C． D．
2．用若干个棱长1厘米的小正方体拼成一个长方体，如果拿去2块（如图），它的表面积和体积与没有拿之前相比（ ）。
A．都变小了 B．表面积不变，体积变小 C．表面积变大，体积变小
3．有若干根10厘米和8厘米长的小棒和若干团橡皮泥团，小强想做一个长和宽都是8厘米，高是10厘米的长方体框架，需要8厘米的小棒（ ）根。
A．4 B．6 C．8 D．12
4．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍。
A．4 B．2 C．8 D．16
5．若一个正方体的表面积是平方厘米，则它的底面积是（ ）平方厘米。
A． B． C．
6．用若干个边长2分米的小正方体搭成一个模型，从正面看是，从上面看是，从右面看是，这个模型的体积是（ ）立方分米。
A．6 B．7 C．48 D．56
二、填空题
7．一只蚂蚁在棱长12厘米的正方体顶点A处，它只能沿着正方体的棱爬行，并且每条棱最多只能经过一次，蚂蚁最多能爬行 ( )厘米。
8．一根木料长2米，横截面是边长3分米的正方形，截成两段后表面积比原来增加( )平方分米。
9．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了72平方厘米。原来长方体的体积是( )立方厘米。
10．几个1立方厘米的正方体木块摆了一个物体。下面是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是( )立方厘米。
11．一个长方体长5厘米、宽4厘米、高3厘米，如果高增加a厘米，那么这个长方体体积增加( )立方厘米，表面积增加( )平方厘米。
12．下面是一个有盖的长方体纸盒的展开图，纸盒的体积是( )立方厘米。
13．有一个长方体玻璃鱼缸，长12分米，宽8分米，它前面的面积是36平方分米，这个鱼缸左面的玻璃破损，需重配一块( )平方分米的玻璃；这个鱼缸最多能注( )升水。
14．用一根长厘米的铁丝正好做成一个正方体，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
三、解答题
15．“十一”期间，学校将每个教室的屋顶和四壁粉刷一新。经测量六（1）班的教室长8米，宽6米，高3.5米，黑板和门窗共14平方米，求粉刷的面积一共有多少平方米？如果每平方米使用涂料0.8千克，粉刷六（1）班的教室共使用了涂料多少千克？
16．一个长40厘米，宽25厘米，高30厘米长方体水槽，里面装了一半的水。
（1）求出这个水槽的容积；
（2）这时水跟水槽接触部分的面积是多少平方厘米？
（3）如果将一个棱长6厘米的正方体铁块放进去，水面会上升多少厘米？
17．下图表示一个长方体展开图的3个面。
（1）画出展开图的另外三个面，并标出名称。
（2）如果每个小正方格的边长是1厘米，这个长方体的底面积是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
18．在一个棱长为20厘米的正方体容器中有16厘米深的水，现在将沉入水中的两根长1分米，横截面为40平方厘米的长方体铁棒取出，水面会下降多少厘米？
19．淘气爸爸制作了一个长方体鱼缸（无盖），下面的两块玻璃正好是这个鱼缸的后面和左面，他至少需要多少平方分米玻璃？你能计算出这个鱼缸的容积是多少立方分米吗？（玻璃厚度忽略不计）
20．学校器材室买来两根长度相同的铁丝，其中一根铁丝刚好焊成一个棱长为6厘米的正方体框架，如果用另一根铁丝焊成一个长8厘米，宽7厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？
参考答案：
1．A
【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。
【详解】A．，属于正方体展开图的“1－4－1”型，能折成正方体，符合题意；
B．，不属于正方体展开图的特征，不能折成正方体；
C．，不属于正方体展开图的特征，不能折成正方体；
D．，不属于正方体展开图的特征，不能折成正方体。
下面能折成正方体盒子的是。
故答案为：A
【点睛】熟练掌握正方体展开图的特征是解答本题的关键。
2．B
【分析】观察图形可知：拿去2块，那么会减少5个小正方形的面积，同时又多出了5个小正方形的面积，所以表面积不变；体积表示物体所占空间的大小是物体的体积，则拿走2块小正方体，体积少2个小正方体的体积，所以体积变小，据此即可选择。
【详解】由分析可知：
用若干个棱长1厘米的小正方体拼成一个长方体，如果拿去2块（如图），它的表面积和体积与没有拿之前相比表面积不变，体积变小。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，熟练掌握长方体表面积和体积的意义是解题的关键。
3．C
【分析】长方体有12条棱，12条棱可以分3组：4条长，4条宽，4条高，长、宽、高分别相等。已知长和宽都是8厘米，高是10厘米，则长需要4条，宽需要4条，所以8厘米的小棒一共需要8根。
【详解】4＋4＝8（根）
需要8厘米的小棒8根。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查了长方体的认识，掌握长方体的特征是解答本题的关键。
4．C
【分析】假设正方体的棱长为1，扩大到原来的2倍，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出扩大前后正方体的体积，进而求出它们之间的关系。
【详解】假设正方体的棱长为1，
1×1×1＝1
2×2×2＝8
8÷1＝8
一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的8倍。
故答案为：C
【点睛】本主要考查了正方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
5．A
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，用正方体的表面积除以6即可求出它的底面积。
【详解】150÷6＝25（平方厘米）
它的底面积是25平方厘米。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
6．C
【分析】根据从正面、上面和右面观察到的几何体的形状可知，该几何体由6个小正方体拼成，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求解即可。
【详解】综合三视图，我们可以得出，这个几何模型一共有2层，底层有4个小正方体，第二层靠右边应该有2个小正方体，如图：
因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4＋2＝6（个）
2×2×2
＝4×2
＝8（立方分米）
8×6＝48（立方分米）
故答案为：C
【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查。另外要掌握正方体的体积公式。
7．108
【分析】从A出发沿着棱前进，移动到每个顶点的时候都有两种选择，每次选择都避开返回已走过顶点的棱即可，画出图形解答即可。
【详解】如图：
最多走过9条棱，
12×9＝108（厘米）
蚂蚁最多能爬行108厘米。
【点睛】本题主要考查了最大与最小，数形结合是本题解题的关键。
8．18
【分析】根据题意可知，把长方体锯成2段，表面积增加了2个正方形面，正方形的边长是3分米，根据正方形的面积公式，用3×3×2即可求出增加的表面积。
【详解】3×3×2＝18（平方分米）
一根木料长2米，横截面是边长3分米的正方形，截成两段后表面积比原来增加18平方分米。
【点睛】本题主要考查了立体图形的切拼，明确表面积增加了哪些面，体积没有发生变化。
9．108
【分析】如果长方体的高增加3厘米，则长方体的侧面积增加，根据侧面积＝底面周长×高，据此可知侧面增加的面积除以增加的高度，即可求出长方体的底面周长，因为高增加3厘米，就成为一个正方体，说明长方体的底面是一个正方形，根据正方形的周长公式，用底面周长除以4即可求出底面的长和宽，再减去3即可求出长方体原来的高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出原来长方体的体积。
【详解】72÷3＝24（厘米）
24÷4＝6（厘米）
6－3＝3（厘米）
6×6×3＝108（立方厘米）
原来长方体的体积是108立方厘米。
【点睛】本题主要考查了长方体表面积公式和体积公式的灵活应用，要注意表面积减少了哪些面是解答本题的关键。
10．5
【分析】观察图形可知，这个立体图形有1层，共3排，中间1排有3个，前排有1个，靠中间1排的左边，后排有1个，靠中间1排的右边，所以这个立体图形一共有（1＋3＋1）个，每个小正方体是1立方厘米，据此得出这个物体的体积。
【详解】1＋3＋1＝5（个）
5×1＝5（立方厘米）
这个物体的体积是5立方厘米。
【点睛】本题是考查从不同方向观察物体和几何体以及三视图的画法，目的是训练学生的观察能力。
11． 20a 18a
【分析】由题意可知，增加的表面积实际上就是高为2分米的长方体的侧面积，于是利用侧面积＝底面周长×高，代入数据即可求解，根据长方体的体积公式，增加的体积＝长×宽×增加的高，据此解答。
【详解】5×4×a＝20a（立方厘米）
（5＋4）×2×a
＝9×2×a
＝18a（平方厘米）
这个长方体体积增加20a立方厘米，表面积增加18a平方厘米。
【点睛】解答此题的关键是：明白增加部分是一个什么样的图形，从而利用公式求解。
12．30
【分析】观察图形可知，长方体的长是6厘米，长方体的两条长和一条高合起来是13厘米，求长方体纸盒的高，高＝13厘米－6厘米×2；长方体的两条高和一条宽合起来是7厘米，求长方体纸盒的宽，宽＝7厘米－高×2，代入数据，求出长方体的宽和高，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】高：13－6×2
＝13－12
＝1（厘米）
宽：7－1×2
＝7－2
＝5（厘米）
体积：6×5×1
＝30×1
＝30（立方厘米）
下面是一个有盖的长方体纸盒的展开图，纸盒的体积是30立方厘米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，关键是求出宽和高的值。
13． 24 288
【分析】根据前面的面积＝长×高，用36÷12即可求出长方体的高；再根据左面的面积＝宽×高，代入数据即可求出左面的面积；再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出鱼缸的体积，再把单位换算成升。
【详解】36÷12＝3（分米）
3×8＝24（平方分米）
12×8×3＝288（立方分米）
288立方分米＝288升
需重配一块24平方分米的玻璃；这个鱼缸最多能注288升水。
【点睛】本题主要考查了长方体表面积的认识、长方体体积（容积）公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
14． 54 27
【分析】根据题意，36厘米就是正方体的棱长之和。正方体有12条棱，且长度相等，则用36除以12即可求出正方体的棱长。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算。
【详解】（厘米）
表面积：（平方厘米）
体积：（立方厘米）
则这个正方体的表面积是54平方厘米，体积是27立方厘米。
【点睛】本题考查正方体表面积和体积的计算。根据正方体棱长的特点，求出正方体的棱长是解题的关键。
15．132平方米；105.6千克
【分析】根据题意可知，涂漆的面积＝上、左、右、前、后面的面积－门窗的面积，据此用8×3.5×2＋6×3.5×2＋8×6－14即可求出涂漆的面积，再乘0.8即可求出粉刷涂料的总千克数。
【详解】8×3.5×2＋6×3.5×2＋8×6－14
＝56＋42＋48－14
＝132（平方米）
132×0.8＝105.6（千克）
答：粉刷的面积一共有132平方米；粉刷六（1）班的教室共使用了涂料105.6千克。
【点睛】本题主要考查了长方体表面积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
16．（1）30升
（2）2950平方厘米
（3）0.216厘米
【分析】（1）根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（2）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2sh＋2bh，把数据代入公式解答。
（3）根据正方体的体积公式：V＝a3，求出铁块的体积，然后用铁块的容积除以水槽的底面积即可。
【详解】（1）40×25×30
＝1000×30
＝30000（立方厘米）
30000立方厘米＝30升
答：这个水槽的容积是30升。
（2）30÷2＝15（厘米）
40×25＋40×15×2＋25×15×2
＝1000＋1200＋750
＝2950（平方厘米）
答：这时水跟水槽接触部分的面积是2950平方厘米。
（3）6×6×6÷（40×25）
＝36×6÷（40×25）
＝216÷1000
＝0.216（厘米）
答：水面会上升0.216厘米。
【点睛】此题主要考查长方体的体积公式、长方体的表面积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
17．（1）见详解；（2）12；52；24
【分析】（1）根据长方体的展开图的特征，相对面的面积相等，画出这个长方体展开图的另外3个面；
（2）根据长方体的底面积＝长×宽，用4×3即可求出长方体的底面积；再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。
【详解】（1）如图：
（2）4×3＝12（平方厘米）
这个长方体的底面积是12平方厘米，
（4×3＋4×2＋3×2）×2
＝（12＋8＋6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
长方体的表面积是52平方厘米；
4×3×2＝24（立方厘米）
长方体的体积是24立方厘米。
【点睛】本题主要考查了长方体的展开图、长方体的表面积公式和体积公式的应用，要熟练掌握公式。
18．2厘米
【分析】由于1分米＝10厘米，根据长方体体积公式：横截面积×长＝长方体的体积，把数代入求出铁棒的体积，再乘2即可求出两根铁棒的体积，再根据水面变化的高度＝物体的体积÷容器的底面积，把数代入即可求解。
【详解】1分米＝10厘米
10×40×2÷（20×20）
＝800÷400
＝2（厘米）
答：水面会下降2厘米。
【点睛】本题主要考查长方体的体积公式，熟练掌握它的体积公式并灵活运用。
19．160平方分米；192立方分米
【分析】根据长方体的特征可知，长方体左面的长等于长方体的宽，左面的宽等于长方体的高，后面的长等于长方体的长，后面的宽等于长方体的高，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】8×6＋8×4×2＋6×4×2
＝48＋64＋48
＝160（平方分米）
8×6×4
＝48×4
＝192（立方分米）
答：他至少需要160平方分米玻璃，这个鱼缸的容积是192立方分米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，长方体的表面积公式、容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．3厘米
【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出正方体的棱长总和；长方体棱长总和与正方体棱长总和相等，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。
【详解】6×12÷4－8－7
＝72÷4－8－7
＝18－8－7
＝10－7
＝3（厘米）
答：它的高是3厘米。
【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体棱长总和公式和正方体棱长总和公式是解答本题的关键。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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