平罗县中2023-2024学年高三上学期第一次月考
数学（理）
一、选择题(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，则复数的虚部为 （ ）
A. -2 B. C. D. -1
3.已知命题总有，则为 （ ）A. 使得 B. 使得
C. 总有 D. 总有
4、已知向量与的夹角为，，则 （ ）
A. 2 B. C. D. 4
5、已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则 ( ）
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a
6、如果实数满足条件， 那么的最大值为 ( ）
A．2 B. -3 C．-2 D．1
宋元时期数学名著《算数启蒙》中“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，
松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的 （ ）
A．2 B. 3 C．4 D．5
8、下列各式中，值为的是 （ ）
A. B. C. D.
9、下函数的大致图象为 （ ）
A. B. C. D.
10、设函数，则使成立的一个充分不必要条件是 （ ）
A．0
A． B． C． D．
12、定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，若关于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m≠0)恰有5个实数解，则实数m的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知幂函数的图象过，则＝ .
14、函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 .
15、若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.
16、若函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是 .
三、解答题（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；求数列的前项和．
18.（12分）全国和美乡村篮球大赛（村BA）西北赛区比赛2023年8月27日在在宁夏固原市西吉县和原州区开赛，某校开展了相关知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩分为四组：，，，，得到的频率分布直方图如图所示，将成绩在内定义为“优秀”，成绩低于分为“非优秀”
（1）求的值：并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这名学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取名，求抽取的名学生的成绩中恰有一名优秀的概率；
（2）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关？
参考公式及数据：，．
19.（10分）已知在中，角的对边分别为,．
（1）若，求. （2）若，求面积的最大值；
20.（12分）已知函数f(x)＝mex－x，m∈R.
（1）当m＝2时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； （2）试讨论函数f(x)的单调性．
21. （12分）21. ( 12分) 已知函数，其中且.
（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性；
（2）对于函数，当时，，求实数m的取值范围；
（3）当时，的值恒为负数，求函数a的取值范围.
请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.（10分）选修44：坐标系与参数方程
若曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线l：与曲线相交于A、B两点，设线段AB的中点为M， 求的最大值．
（10分）（选修4-5：不等式选讲）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最大值为,若不等式有解，求的取值范围.平罗县中2023-2024学年高三上学期第一次月考
数学（理） 答案版
一、选择题(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，，则 （ B ）
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，则复数的虚部为 （ D ）
A. -2 B. C. D. -1
3.已知命题总有，则为 （ B ）A. 使得 B. 使得
C. 总有 D. 总有
4、已知向量与的夹角为，，则 （ A ）
A. 2 B. C. D. 4
5、已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则 ( C ）
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a
6、如果实数满足条件， 那么的最大值为 ( D ）
A．2 B. -3 C．-2 D．1
宋元时期数学名著《算数启蒙》中“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，
松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的 （ C ）
A．2 B. 3 C．4 D．5
8、下列各式中，值为的是 （ B ）
A. B. C. D.
9、下函数的大致图象为 （ A ）
A. B. C. D.
10、设函数，则使成立的一个充分不必要条件是 （ A ）
A．0
A． B． C． D．
12、定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，若关于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m≠0)恰有5个实数解，则实数m的取值范围为 （ A ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知幂函数的图象过，则＝ .2
14、函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . (，-1)
15、若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________. (－8，1]
16、若函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是 . (，]
三、解答题（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
求数列的前项和．
【答案】解：当时，． …………………………………………………1分
当时，， ……………………………………………………4分
因为当时，，满足上式， ……………………………………………………5分
所以． ……………………………………………………6分
因为． ……………………………………………………9分
所以． ……………………………………………………12分
18.（12分）全国和美乡村篮球大赛（村BA）西北赛区比赛2023年8月27日在在宁夏固原市西吉县和原州区开赛，某校开展了相关知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩分为四组：，，，，得到的频率分布直方图如图所示，将成绩在内定义为“优秀”，成绩低于分为“非优秀”
（1）求的值：并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这名学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取名，求抽取的名学生的成绩中恰有一名优秀的概率；
（2）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关？
参考公式及数据：，．
【答案】解：由题可得 ，………………………………………………………………1分
解得 ， …………………………………………………………………………2分
由题可得，这 名学生中成绩非优秀的有 名，…………………………………3分
所以抽取的 名学生中成绩非优秀的有 名，成绩优秀的有名，…………………………4分
记成绩优秀的 名学生为，，，成绩非优秀的 名学生为，，
从这 名学生中随机抽取 名，有 ，，，，，，，，，，共 种情况，其中这 名学生的成绩恰有一名优秀共有 种情况， ……………………………………………………………5分
所以这 名学生的成绩恰有一名优秀的概率为 ； ……………………………………………………………6分
充完整的 列联表如下表所示： ………………………………………8分
则 的观测值 ……………………………………10分
， ……………………………………11分
所以没有 的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关． ……………………………………12分
19.（10分）已知在中，角的对边分别为,．
（1）若，求.
（2）若，求面积的最大值；
【答案】 解：（1）因为，由正弦定理得，………………………………………………………………1分
又，故 ， ………………………………………………………………2分
， ………………………………………………………………4分
， ………………………………………………………………5分
. ………………………………………………………………6分
（2）由余弦定理得, ………………………………………………………………8分
，当且仅当时取等号；……………………………………………………………10分
解得 ……………………………………………………………11分
故，即面积的最大值为.………………………………………………12分
20.（12分）已知函数f(x)＝mex－x，m∈R.
(1)当m＝2时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)试讨论函数f(x)的单调性．
【答案】解 (1)因为m＝2，
所以f(x)＝2ex－x，则f(0)＝2，切点为（0,2）…………………………………………………………………………1分
又因为f′(x)＝2ex－1， …………………………………………………………………………3分
所以f′(0)＝2－1=1，即k=1 …………………………………………………………………………4分
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是y－2＝1(x－0)，
即y＝x+2. …………………………………………………………………………5分
(2)因为f(x)＝mex－x，m∈R，x∈R，
所以f′(x)＝mex－1， …………………………………………………………………………6分
当m≤0时，f′(x)＝mex－1<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；…………………………………8分
当m>0时，令f′(x)＝0，得x＝－ln m， …………………………………………………………………………9分
当x<－lnm时，f′(x)<0，分当x>－ln m时，f′(x)>0，…………………………………………………………10分
所以f(x)在(－∞，－ln m)上单调递减，在(－ln m，＋∞)上单调递增，……………………………11分
综上，当m≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当m>0时， f(x)在(－∞，－ln m)上单调递减，在(－ln m，＋∞)上单调递增．………………12分
21. （12分）21. ( 12分) 已知函数，其中且.
（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性；
（2）对于函数，当时，，求实数m的取值范围；
（3）当时，的值恒为负数，求函数a的取值范围.
【答案】解：（1）由得，…………………………1分
因为定义域为R，关于原点对称， …………………………………………………………………………2分
且，所以为奇函数，……………………………………3分
（2） 因为，当及时，，
所以为R上的单调增函数；……………………………………………………………………………5分
由得，……………………………6分
又，则， ………………………………………………………………………8分
得；…………………………………………………………………………………………………………9分
（3）因为为R上的单调增函数，所以当时，的值恒为负数，
所以恒成立，
， ………………………………………………………………………………10分
整理得，所以，.……………………………………………11分
又且，所以实数a的取值范围是.……………………12分
请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.（10分）选修44：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线l：与曲线相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，
求的最大值．
【答案】解：（1）曲线C的普通方程为，…………………………………2分
由，得；…………………………………5分
（2）解法1：联立和，
得， …………………………………6分
设、，则， --8分
由， 得，…………………………………9分
当时，|OM|取最大值．…………………………………10分
（10分）（选修4-5：不等式选讲）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最大值为,若不等式有解，求的取值范围.
【答案】解：（I）当时，， 此时无解……………………………1分
当时，，由解得;……………………………3分
当时，，此时恒成立……………………………4分
综上所述，的解集为 ……………………………5分
（II）由（I）可知，……………………………6分
易知函数的最大值为8， ……………………………7分
若有解，得有解 ……………………………8分
即， ……………………………9分
所以. …………………………… 10分.
