2023/2024 学年度第一学期开学检测试卷
高二数学
班级______ 姓名_______学号______ 成绩________
一．选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项）
(1)设集合 A { z z 为虚数},B { z z 为纯虚数},C { z z 为复数}, 则 A,B,C 间的关系为
( )
（A） A B C （B） B A C （C） B C A （D） A C B
(2)已知 A(0,1),B(3, 2),且 AC 2CB,则 AC的坐标为 ( )
（A） (2, 1) （B） (6, 5) （C） (6, 6) （D） (2, 2)
(3)某市 6 月前 10 天的空气质量指数为 35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数
据的第 70 百分位数是( )
（A）86 （B）85.5 （C）85 （D）84.5
(4)向量 a，b， c在正方形网格中的位置如图所示．若向量 c λa μb，
则 λ μ的值等于 ( )
（A）1 （B） 1 （C） 3 （D） 3
(5)将函数 y sin x cos x的图象向右平移 个单位，所得图象的函数解析式为 ( )
2
（A） sin x cos x （ B ） co s x s in x （C） sin x cos x （D ） sin x cos x
(6)已知四面体 中， 点M 在棱 上， 为BC中点，
ABCD DA a,DB b,DC c, DA DM 3MA,N
则MN ( )
3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1
（A） a b c （B） a b c （C） a b c （D） a b c
4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2
(7)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，点 E ,F 分别是棱 A1C1,BC的中点，
则下列结论中不．正．确．的是 ( )
（A）CC1 // 平面 A1ABB1 （B） AF //平面 A1B1C1
（C） EF // 平面 A1ABB1 （D） AE // 平面 B1BCC1
(8)已知 A,B,C,D,E是空间中的五个点，其中点 A,B,C不共线，
uuur uuur uuur
则“存在实数 x, y，使得 DE xAB yAC ”是“ DE / /平面ABC”的( )
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
1
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(9)在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研
究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度为 20 C,但当气温上升到
31 C 时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，
且该景区 6 时 14 时的气温 T (单位： C )与时间 t(单位：小时)近似满足函数关系式
T 25 10sin( π 3π t ), 则在 6 时 14 时中，观花的最佳时段约为( )(参考数据：
8 4
sin π 0.6 )
5
（A）6.7时 11.6时 （B）6.7时 12.2时 （C）8.7时 11.6时 （D）8.7时 12.2时
(10)已知函数 f (x)
sin x
2 ，给出下列四个结论：x x
① f (x)存在无数个零点； ② f (x)在 (1, )上有最大值；
③若 f (2023.7) a，则 f ( 2022.7) a； ④区间 (1 ,1)是 f (x)的单调递减区间.
2
其中所有正确结论的序号为( )
（A）①②③ （B）②③④ （C）①③ （D）①②③④
二．填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
(11)若复数 z满足 i z 3 4i,则 z ________.
(12)某地区有高中生 3000 人，初中生 6000 人，小学生 6000 人.教育部门为了了解本地区中小学
生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例
分配样本，总样本量为 150，那么在高中生中抽取了 人.
(13)已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为 2,3, 3，则长方体
的体对角线的长等于 _____；球的表面积等于 _______．
(14)在 ABC中，c 8， B 30 ，请给出一个 b的值，使得满足条件的三角形恰有两个，则
b的一个值是 .
(15)如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M，N 分别是棱 A1B1，A1D1 的中点，
点 P在线段CM 上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN 截正方体 ABCD A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；
2
②直线 B1D1到平面CMN 的距离是 ；2
③存在点 P，使得 B1PD1=90 ；
4 5
④△ PDD1面积的最小值是 .5
2
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其中所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（共 6小题，共 85 分）
（16）（本题满分 14 分）
f (x) sin(2x ) cos2x( π) π已知函数 ， 是 f (x)的一个零点.
2 12
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）请把 f (x)的解析式化简成 Asin( x )(A 0, π 0, )的形式；
2
π π
（Ⅲ）当 x [ , ]时，若曲线 y f (x)与直线 y m有 2个公共点，求m的取值范围．
6 3
（17）（本题满分 14 分）
某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在 10 分及以上的为一等品，低于 10 分的
为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的 10 件产品的评分：
9.6 10.1 9.7 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 10.1 10.2
1 10
经计算得 x210 i 98.048，其中 xi为抽取的第 i件产品的评分， i 1，2，3， ，10．i 1
（Ⅰ）求这组样本平均数和方差；
（Ⅱ）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高 0.2 .根据以上随机抽取的 10 件产
品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问前提下，再从改进后生产的产品中随机抽取的 10 件产品，估计这 10 件产品
平均等级是否为一等品？说明理由.
（18）（本题满分 13 分）
向量OA与OB的夹角为 , OA 2, OB 1,OP tOA,OQ (1 t)OB.
（Ⅰ）请用 , t的关系式表示 PQ ;
1
（Ⅱ） PQ 在 t0 时取得最小值.当0 t0 时,求夹角 的取值范围.5
3
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（19）（本题满分 15 分）
如图，四边形 ABCD是矩形，PA 平面 ABCD，DE 平面 ABCD，AB DE 1，AD PA 2，
点 F 在棱 PA上．
（Ⅰ）求证： BF // 平面CDE；
（Ⅱ）求二面角C PE A的余弦值；
1
（Ⅲ）若点 F 到平面PCE的距离为 ，求线段 AF 的长.
3
（20）（本题满分 14分）
在 ABC中， 2cos2 B 2sin B cos B 1.
2 2 2
（Ⅰ）求 B；
（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得 ABC存在且唯一，求 ABC的面积.
条件①： cos A
1
6；条件②：b 2 ；条件③：AB 边上的高为 .2 2
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.
（21）（本题满分 15 分）
设m,n N*，已知由自然数组成的集合 S {a1,a2 , ,an}(a1 a2 an )，集合 S1,S2 , ,Sm是
S的互不相同的非空子集，定义 n m 数表：
x11 x12 x1m
x21 x22 x
2m
1, a S ,
，其中 x
i j
ij 0, ai S j , x x
n1 n2 xnm
设 d (ai ) xi1 xi2 xim (i 1,2, ,n)，令 d (S )是 d (a1),d (a2 ), ,d (an )中的最大值．
1 0 1
（Ⅰ）若m 3 S {1,2,3} ， ，且 0 1 1 ，求 S1,S2 ,S3及 d (S )；
1 0 0
（Ⅱ）若 S {1,2, ,n}，集合 S1,S2 , ,Sm中的元素个数均相同，若 d (S) 3，求 n的最小值；
（Ⅲ）若m 7，S {1,2, ,7}，集合 S1,S2 , ,S7 中的元素个数均为 3，且 Si S j (1≤ i j≤ 7)，
4
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求证： d (S )的最小值为 3．
答案：
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C B C D B C A
填空题
11.5 12. 30 13. 4,16π (前 3 后 2)
14． 4 b 8即可 15．①③④
解答题：
16.解：（Ⅰ）由题设 f ( π ) sin( π ) cos( π ) 0．
12 6 6
sin( π) 3所以 ．
6 2
π π 2π π π因为 ， 所以 ． ………2 分
2 2 3 6 3
所以 π π ．
6 3
π
所以 ． ………4 分
6
f (x) sin(2x π（Ⅱ）由（Ⅰ） ) cos2x
6
3
sin 2x 1 cos2x
2 2
sin(2x π )． ………8 分
6
π x π π π 5π（Ⅲ）因为 ≤ ≤ ， 所以 ≤ 2x ≤ ．
6 3 6 6 6
π π π
于是，当且仅当 2x ，即 x 时， f (x)取得最大值1；
6 2 6
2x π π π 1当且仅当 ，即 x 时， f (x)取得最小值 ．
6 6 6 2
5
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2x π 5π π π又 ，即 x 时， f ( ) sin 5π 1 ． ………12 分
6 6 3 3 6 2
1
所以m的取值范围是 [ ,1)． ………14 分
2
x 9.6 10.1 9.7 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 10.1 10.217.解：（Ⅰ）样本平均值 9.9
10
2 1 10 1 102 2 2
样本方差 s (xi x) xi x 98.048 9.92 0.038 .……10 6分i 1 10 i 1
（Ⅱ）估计改进后该厂生产的产品评分的平均数 X x 0.2 10.1，
方差 S 2 s2 0.038 . ……10 分
（Ⅲ）可以认为是一等品.因为改进后该厂生产的产品评分由样本数据估计平均数为
10.1 10，所以可以认为这 10 件产品平均等级为一等品.
不一定是一等品.因为样本数据具有随机性，所以新样本平均值不一定达到 10分及
以上，所以新样本平均等级不一定是一等品. ……14 分
18.解：（Ⅰ） PQ OQ OP (1 t)OB tOA,
2
PQ [(1 t)OB tOA]2 (5 4cos )t 2 (2 4cos )t 1,
PQ (5 4cos )t 2 (2 4cos )t 1 7分
t (2 4cos ) 1 2cos （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 0 ,2(5 4cos ) 5 4cos
t 1 2cos 0 (0,
1),
5 4cos 5
且 [0, π], π 2π故 ( , ). 13分
2 3
19.解：（Ⅰ）证明：在矩形 ABCD中， AB // CD .
因为 AB 平面CDE，CD 平面CDE，
所以 AB //平面CDE .
因为 PA 平面 ABCD， DE 平面 ABCD，
所以 PA // DE
因为 PA 平面CDE，DE 平面CDE，
6
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所以 PA //平面CDE .
又因为 PA 平面 PAB， AB 平面 PAB， PA AB A.
所以平面 PAB // 平面CDE .
因为 BF 平面 PAB，
所以 BF // 平面CDE . ┄┄┄┄┄┄ 5 分
（Ⅱ）因为 PA 平面 ABCD， AD 平面 ABCD， AB 平面 ABCD，
所以 PA AD， PA AB .
又因为 ABCD是矩形， AD AB ，
所以 AD, AB,PA两两垂直，如图建立空间直角坐标系 A xyz，
则C(1,2,0)， P(0,0,2)， E(0,2,1)，
所以CE ( 1,0,1)， PE (0,2, 1) .
设平面 PEC 的一个法向量为 n (x, y, z)，则
n CE 0, x z 0,
即
n PE 0, 2y z 0.
令 x 2，则 y 1， z 2 .
于是 n (2,1,2) .
取平面 PEA的法向量为 m (1,0,0) .
则 cos m,n m n 2 2 .
|m || n | 1 4 1 4 3
由图可知二面角C PE A为锐角，
2
所以二面角C PE A的余弦值是 . ┄┄┄┄┄┄10 分
3
（Ⅲ）令线段 AF 的长为 t，则 F (0,0, t)， t [0,2].
所以CF ( 1, 2,t)，
CF n 2 2 2t 2t 4
因为点 F 到平面 PCE的距离 d .
| n | 4 1 4 3
2t 4 1
所以 ，即 2t 4 1 .
3 3
7
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t 3 t 5解得 或 （舍）.
2 2
3
所以线段 AF 的长为 . ┄┄┄┄┄┄15 分
2
20.
解：（Ⅰ）由已知可得： cosB sin B 0, tan B π 1,而 B (0, π), B= . 5分
4
（Ⅱ）选①②：
cos A 1 , A (0, π),
2
A 2π ;
3
a b bsin A
由正弦定理可得 , a 3;
sin A sin B sin B
S 1 absinC 1故 ABC 3 2 sin(π
2π π) 6 6 2 3 3 . 14分
2 2 3 4 2 4 4
选①③：
cos A 1 , A (0, π),
2
A 2π ;
3
CD 6
设线段CD是 AB 边上的高的高，而 sin(π A) , AC b 2;
AC 3
2
b c bsin
π
c 12 6 2 ;
sin B sin(π 2π π ) sin π 2
3 4 4
故 S 1 ABC c CD
1 6 2 6 3 3
. 14分
2 2 2 2 4
选②③，第二问得 0 分.
21.
解：（Ⅰ） S1 {1,3},S2 {2},S3 {1,2}， d (S ) 2．....................................4 分
（Ⅱ）设 ai S 使得 d (ai ) d (S) 3，
则 d (ai ) xi1 xi2 xim ≤m，
所以m≥ 3．
8
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所以 S {1,2, ,n}至少有 3 个元素个数相同的非空子集．
当 n 1时， S {1}，其非空子集只有自身，不符题意．
当 n 2时， S {1,2}，其非空子集只有{1},{2},{1,2}，不符题意．
当 n 3时， S {1,2,3}，元素个数为 1 的非空子集有{1},{2},{3}，
元素个数为 2 的非空子集有{1,2},{2,3},{1,3}．
当{S1,S2 ,S3} {{1},{2},{3}}时， d (1) d (2) d (3) 1，不符题意．
当{S1,S2 ,S3} {{1,2},{2,3},{1,3}}时， d (1) d (2) d (3) 2，不符题意．
当 n 4时， S {1,2,3,4}，令 S1 {1,2} S2 {1,3} S3 , 4}， , , {1
1 1 1
1 0 0
则 ， d (S) d (1) 3 ．0 1 0
0 0 1
所以 n的最小值为 4．................................................................9 分
（Ⅲ）由题可知， S j {i | xij 1,1≤ i≤7}，记 | S j |为集合 S j ( j 1,2, ,7)中的元素个数，
则 | S j | x1 j x2 j x7 j 3为数表 第 j列之和．
因为 d(i) xi1 xi2 xi7 (i 1,2, ,7)是数表 第 i行之和，
所以 d(1) d(2) d(7) | S1 | | S2 | | S7 | 3 7 21．
因为 d (i)≤ d (S )(i 1,2, ,7)，所以 21 d(1) d(2) d(7) ≤7d(S) ．
所以 d (S )≥ 3．
当 S1 {1,2,3},S2 {1,4,5},S3 {1,6,7},S4 {2,4,6}，
1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1 0
S5 {3,4,7},S6 {3,5,6},S7 {2 5,7}时， 0 1 0 1 1 0 0 ， ,
0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0
0 0 1 0 1 0 1
d (S) 3．所以 d (S )的最小值为 3．.............................................................15 分
9
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