绝密★启用前
陕西省、青海省、四川省部分学校2024届高三上学期9月联考
数学考试（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B. C.2 D.1
3.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.的图象关于直线对称
B.的图象关于点对称
C.的最小正周期为
D.若将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象
4.已知的每条边长均为2，，分别是，的中点，则（ ）
A. B. C. D.3
5.已知函数是偶函数，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.设双曲线，的离心率分别为，，若，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
8.已知两个共中心的正方形的边长分别为2和4，在如图所示的阴影中随机取一点，则直线的倾斜角不大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.的内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，在该圆柱的底面内任取一点，则当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
11.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某网络直播平台调研“大学生是否喜欢观看体育比赛直播与性别有关”，从某高校男、女生中各随机抽取100人进行问卷调查，得到如下数据（，）.
喜欢观看 不喜欢观看
男生
女生
通过计算，有95%以上的把握认为大学生喜欢观看直播体育比赛与性别有关，则在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为（ ）
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
A.55 B.57 C.58 D.60
12.已知椭圆的两条弦，相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则（ ）
A.2 B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若，满足约束条件则的最小值为______.
14.执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的正整数的最小值为______，最大值为______.（本题第一空3分，第二空2分）
15.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，其比值为，上述比例又被称为黄金分割.将底和腰之比等于的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为，则______.
16.已知正三棱柱内接于半径为2的球，若直线与平面所成的角为30°，则______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
设等差数列的前项和为，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若，求的值.
18.（12分）
某校组织了600名高中学生参加中国共青团相关的知识竞赛，将竞赛成绩分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据，，成等差数列，成绩落在区间内的人数为300.
（1）求出频率分布直方图中，，的值；
（2）估计该校学生分数的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）现采用分层抽样的方法从分数落在，内的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行现场知识答辩，求抽取的这2人中恰有1人的得分在区间内的概率.
19.（12分）
将沿它的中位线折起，使顶点到达点的位置，使得，得到如图所示的四棱锥，且，，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求四棱锥的体积.
20.（12分）
设抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与交于，两点，.
（1）求的值；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程.
21.（12分）
设函数（且）.
（1）当时，求的单调区间；
（2）设，证明：当时，.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，求的值.
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围.
陕西省、青海省、四川省部分学校2024届高三上学期9月联考
数学试题参考答案（文科）
1.B 因为，，所以.
2.C 因为，所以.
3.D 因为，所以，，A错误，B错误.显然的最小正周期为，C错误.将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象，D正确.
4.C 因为是的中位线，所以，，.又，所以.
5.D 因为是偶函数，所以，解得.
6.A 因为，所以所求切线的斜率，故该切线的方程为.
7.A 因为，所以，解得.
8.B 满足“直线的倾斜角不大于”这个条件的点构成的区域为图中的阴影部分，根据几何概型的定义，可知所求概率为.
9.A 因为，所以，整理得，所以.因为，所以.又，所以，从而.又，所以.
10.B 四棱锥体积，其中为到的距离，因为正方形的面积为定值，所以当为的中点时，四棱锥的体积最大，连接，，此时其侧面积.
11.C 因为
，所以，又，所以，解得，
故在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为58.
12.D 设，，则，，，.由题知，关于轴对称，，关于轴对称，所以，，即，，所以，.因为，在椭圆上，所以即，解得.
13. 画出可行域（图略）知，当直线过点时，取得最小值.
14.6；17 执行程序框图，
，，，，满足；，，满足；
，，满足；，，满足.
所以，，所以正整数的最小值和最大值分别为6和17.
15. 设这个黄金三角形的另一个底角为，顶角为，因为，所以，则.
16. 取的中点，连接，（图略），易知为直线与平面所成的角.设的外接圆半径为，边长为，正三棱柱的高为，则，，所以，即.又因为三棱柱内接于半径为2的球，所以，所以，解得，即.
17.解：（1）设等差数列的公差为，依题意得……3分
解得……4分所以.……5分
（2）由（1）得，……6分
所以，……8分
所以.……9分
由，解得，……11分
因为，所以.……12分
18.解：（1）由已知可得，……1分
则，即，
又因为，，成等差数列，所以，……3分
解得，.……4分
（2）可知，，
设中位数为，则，由，解得，即中位数为69，…6分
平均数为.……8分
（3）成绩位于区间内的学生有人，成绩位于区间内的学生有人，……9分
通过分层抽样抽取的6人中成绩位于的人数为，这4人分别记为，，，，成绩位于的人数为，这2人分别记为，.……10分
从上述6人中抽取2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，……11分
其中恰有1人的得分在区间内的基本事件有，，，，，，，，共8种，故所求概率.……12分
19.（1）证明：取的中点，连接，，
因为为的中位线，所以，且，……1分
同理可证，且.……2分
所以，，四边形为平行四边形，所以.……4分
因为平面，平面，所以平面.……5分
（2）解：取的中点，连接，因为，所以.
易知，，所以平面，从而.
因为，所以平面，且.……7分
因为，所以，……8分
又因为为的中位线，所以，，……9分
因为，所以四边形ABDE的面积.……11分
所以四棱锥的体积.……12分
20.解：（1）由题意知，直线的方程为，设，，……1分
联立方程组消去得，则.……3分
因为，所以，解得.……5分
（2）由（1）知，，设线段的中点为，则，线段的中垂线方程为.……7分
设圆心为，易知点在直线上，
即……9分
消去得，解得或……11分
所以所求圆的方程为或.……12分
注：少写一个圆的方程扣2分.
21.（1）解：当时，因为，所以，……1分
令，得，……2分
所以在上单调递减，在上单调递增.……4分
（2）证明：（法一）易知当时，，，所以.……6分
由题设知，.……7分
令，得，……8分
由上可知，，故.……10分
当时，，单调递减，当时，，单调递增.……11分
又，所以当时，.……12分
（法二）因为，且，所以在上单调递增.……5分
又，设，则，可知在上单调递减，所以，即.……7分
又，设，则，可知在上单调递增，所以，即.……9分
所以存在唯一的，使得，且在上单调递减，在上单调递增.…11分
因为，所以当时，.……12分
22.解：（1）曲线的参数方程为（为参数），其普通方程为，即，……2分
则的极坐标方程为.……3分
直线的方程为，所以直线的极坐标方程为.……5分
（2）设，，将代入，……7分
得，……8分所以，……9分所以.……10分
23.解：（1）化简得.……1分
当时，解得，所以；……2分
当时，解得，此时无解；……3分
当时，解得，所以.……4分
综上所述，原不等式的解集为.……5分
（2）因为……7分所以.……8分
由题意知，解得，所以的取值范围是.……10分
