人教A版（2019）必修第一册《5.1 任意角和弧度制》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）若是第三象限的角，则是
A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角
C. 第二或第三象限的角 D. 第二或第四象限的角
2.（5分）已知一扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为
A. B. C. D.
3.（5分）某扇形的圆心角为，半径为，那么该扇形弧长为
A. B. C. D.
4.（5分）如果弧度的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长为
A. B. C. D.
5.（5分）一个半径为的扇形的面积为，则这个扇形的中心角的弧度数为
A. B. C. D.
6.（5分）已知扇形的弧长是，圆心角的弧度数是，则扇形所在圆的半径是
A. B. C. 或 D.
7.（5分）自行车的大链轮有齿，小链轮有齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是
A. B. C. D.
8.（5分）将分针拨快分钟，则分针转过的弧度数是
A.
B.
C.
D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是 ( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
10.（5分）下列各角中，与角终边相同的角是
A. B. C. D.
11.（5分）下列命题中正确的是
A. 若角的终边上有一点，则角不是象限角
B. 和均是第一象限角
C. 若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是
D. 若，且角与角的终边相同，则的值是或
12.（5分）下面说法不正确的是
A. 终边相同的角都相等 B. 钝角是第二象限的角
C. 第一象限的角是锐角 D. 第四象限的角为负角
13.（5分）是第一象限角，则可能是
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）与角终边相同的角的集合中，最小正角是 ______ ，最大负角是 ______ ．
15.（5分）一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为，一列火车以的速度逆时针方向通过，求火车经过后转过的弧度数为 ______.
16.（5分）一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为 ，一列火车以 的速度通过， 间转过________弧度．
17.（5分）已知一扇形的圆心角为弧度，半径为，则该扇形的面积为______．
18.（5分）若扇形的弧长是，圆心角是弧度，则扇形的半径是______，扇形的面积是______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）写出角在下列位置时的集合
角的终边在如图所示的阴影中包括边界；
角的终边在如图所示的阴影中包括边界
20.（12分）一条弦的长度等于半径，这条弦所对的圆心角是多少弧度？
21.（12分）是第______象限角．
22.（12分）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在0°-360°范围内的角写出来：
（1）420°；
（2）-135°．
23.（12分）已知周长为的扇形铁皮，再加一个底面制成一个圆锥容器，扇形的圆心角为多大时，容器的外表面积最大？
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：是第三象限的角，，，，
，，
故当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角，
故选：．
由，利用不等式的性质求出，，讨论的奇偶性，得到的终边所在的象限．
该题考查象限角、轴线角的判定，体现了分类讨论的数学思想．求出的取值范围是本题的难点．
2.【答案】C;
【解析】解：设扇形的弧长为，半径为，扇形的圆心角的弧度数是，
则由题意可得：，，
可得：，解得：，，
可得：．
故选：．
根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形的面积公式即可求解．
这道题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，此题属于基础题型．
3.【答案】A;
【解析】解：扇形的圆心角为，半径为，
扇形弧长为，
故选：．
利用扇形弧长的计算公式，可得结论．
该题考查了扇形弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形弧长的计算公式．
4.【答案】A;
【解析】【试题解析】
解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为，
其所对的圆心角为
故半径为
这个圆心角所对的弧长为
故选：．
连接圆心与弦的中点，解得半径为，由弧长公式求弧长即可．
该题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，熟练记忆弧长公式也是正确解答该题的关键．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用扇形面积计算公式即可得出．
解：设这个扇形的中心角的弧度数为，
则，解得
故选：
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查弧长公式，属于基础题.
根据弧长公式列式，即可求出扇形所在圆的半径.
解：扇形的弧长是，圆心角的弧度数是，
，
解得
故选
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查弧度制，属于基础题.
根据大链轮转过一周时，大链轮转齿，而小链轮有齿，故小链轮转周，一周为弧度，计算小链轮转过的弧度数即可.
解：由题意，当大链轮转过一周时，小链轮转过周，
故选
8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查弧度制的应用，属于基础题．
将时钟拨快分钟，则分针顺时针转过，化为弧度，即可得到结论．
解：将时钟拨快分钟，则分针顺时针转过，
将时钟拨快分钟，分针转过的弧度数是
故选
9.【答案】AC;
【解析】因为角的终边在x轴的上方，所以，，则有，.故当，时，，，为第一象限角；当，时，，，为第三象限角.故选AC.
10.【答案】A;
【解析】
此题主要考查终边相同的角的特征，凡是与终边相同的角，一定能写成，的形式，属于基础题．
与终边相同的角一定可以写成 的形式，，检验各个选项中的角是否满足此条件．
解：与终边相同的角一定可以写成 的形式，，
令可得，与终边相同，
故选
11.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查象限角、终边相同的角以及圆心角的弧度数，属于中档题；
根据象限角的概念判断，根据终边相同角判断，对于，由可解得.
解：对于，因为点在轴上，所以角的终边在轴负半轴上，所以角不是象限角，故正确
对于，，因为为第一象限角，所以为第一象限角，由于，因为不是第一象限角，所以不是第一象限角，故错误
对于，可得解得，或所以圆心角的弧度数为，或，故错误
对于，因为角的与角的终边相同，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，或，故正确.
故选
12.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查终边相同的角、象限角的概念，属于基础题.
根据终边相同的角、象限角的概念一一判断即可.
解：终边相同的角不一定相等，比如，故错误；
钝角是第二象限角，所以正确；
第一象限的角不一定是锐角，比如，故错误；
第四象限的角可能是正角，比如，所以错误.
故选
13.【答案】ABC;
【解析】【试题解析】
此题主要考查象限角的概念与表示，属于基础题.
根据为第一象限角得到的范围，然后分类讨论即可.
解：因为是第一象限角，
，，
，，
当时，为第一象限角，
当时，为第二象限角，
当时，为第三象限角，
所以可能是第一象限角，第二象限角，第三象限角.
故选
14.【答案】240°;-120°;
【解析】解：根据终边相同的角相差的整数倍，
故与终边相同的角可表示为：．
则当时，，此时为最大的负角．
当时，，此时为最小的正角．
故答案为：，
根据终边相同的角相差的整数倍，利用集合的描述法可写出符合条件的集合，进行求解即可．
这道题主要考查终边相同的角的集合，注意集合的表示方法是解答该题的关键，属基础题．
15.【答案】;
【解析】解：因为圆弧的半径为，弧长为，
所以弧度数为
故答案为：
根据题意求出弧长，再计算弧度数．
此题主要考查了弧长公式的应用问题，是基础题．
16.【答案】;
【解析】
根据弧长公式来求弯道所对的圆心角的度数．
解：设弯道所对的圆心角的度数是 ，则
即弯道所对的圆心角的度数是
17.【答案】;
【解析】解：根据扇形的面积公式可得．
故答案为：．
直接代入扇形的面积公式即可求解．
该题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．
18.【答案】2 ; 4 ;
【解析】解：由弧长公式可得，解得．
扇形的面积．
故答案为：，．
利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出．
该题考查了扇形的面积计算公式、弧长公式，属于基础题．
19.【答案】解：（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），
角α的集合为：
{α|k 360°+90°≤k 360°+120°或360° k+270°+300°+k 300°，k∈Z}={k 180°+90°，k 180°+120°，k∈Z}；
（2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．
角α的集合为{α|-60°+k 360°，60°+k 360°}．
;
【解析】
利用象限角的定义和终边相同的角的概念能求出角的集合．
此题主要考查角的集合的求法，考查象限角的定义和终边相同的角的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：由题意得△AOB为等边三角形，
所以，
所以这条弦所对的圆心角．;
【解析】
由已知先得为等边三角形，即可求解．
此题主要考查了扇形的圆心角的求解，属于基础题．
21.【答案】三;
【解析】解：，
而是第三象限角，是第三象限角．
故答案为：三．
由，结合所在象限得答案．
此题主要考查象限角与轴线角，考查终边相同角的集合的表示法，是基础题．
22.【答案】解：（1）∵与420°角终边相同的角为：{α|α=k 360°+420°，（k∈Z）}
∵0°≤α＜360°，
∴k=-1时，α=60°．
（2）∵与-135°角终边相同的角为：{α|α=k 360°-135°，（k∈Z）}
∵0°≤α＜360°，
∴k=1时，α=225°．;
【解析】利用与α终边相同的角度为k 360°+α（k∈Z）即可得到答案．
23.【答案】解：设扇形的半径为r，圆心角为θ弧度时，扇形的面积为S，
由20-2r=θr，得，
所以，0＜r＜10，，0＜r＜10，
所以，0＜r＜10，，
当时，圆锥容器的外表面积最大．
此时扇形的圆心角为弧度．;
【解析】
设扇形的半径为，圆心角为弧度时，扇形的面积为，求出，表示出外表面积表达式，求出二次函数的最大值，得到结果．
此题主要考查了弧长公式与扇形的面积计算公式，属于基础题．
