人教A版（2019）必修第一册《第四章 指数函数和对数函数》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）若函数f（x）=x2lga-2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A. 0＜a＜10 B. 1＜a＜10
C. 0＜a＜1 D. 0＜a＜1或1＜a＜10
2.（5分）若，则用表示为
A. B. C. D.
3.（5分）已知，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为
A. B. C. D.
4.（5分）已知函数函数若关于的方程有个互异的实数根，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
5.（5分）若函数只有一个零点，则实数的取值范围是
A. 或 B.
C. 或 D.
6.（5分）已知集合，则函数，的值域是
A. B. C. D.
7.（5分）已知函数的周期为，当时，，如果，则函数的所有零点之和为
A. B. C. D.
8.（5分）已知是定义在上的函数，和分别为奇函数和偶函数，当时，，若函数在上有四个零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）求值：_____.
10.（5分）函数的反函数______．
11.（5分）若函数的一个零点是，则函数的零点是__________.
12.（5分）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_________.
13.（5分）设函数零点为，，则______.
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
14.（12分）已知，求的值
计算：．
15.（12分）化简求值：
；
16.（12分）已知函数，设函数．
证明函数在上为增函数．
若方程有两个不相等的实根，有一根小于，且另一根在内，求的取值范围．
17.（12分）化简求值：
Ⅰ；
Ⅱ已知，求的值．
18.（12分）已知函数且
判断的奇偶性并予以证明
若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集.
四 、多选题（本大题共5小题，共25分）
19.（5分）已知函数和的零点分别为、，若，则下列可能符合，的取值的有
A. ， B. ，
C. ， D. ，
20.（5分）已知函数，，，则
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在区间上的值域为
D.
21.（5分）若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的值可能为
A. B. C. D.
22.（5分）任何一个正整数可以表示成，，此时，．
真数
常用对数
近似值
下列结论正确的是
A. 是位数
B. 是位数
C. 是位数
D. 一个位正整数的次方根仍是一个正整数，这个次方根为
23.（5分）下列说法正确的是
A. 在中，
B. 在中，若，则
C. 在中，若，则；若，则
D. 在中，
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：∵函数f（x）=lga-2x+1的图象与x轴有两个交点，
∴lga≠0且△=4-4lga＞0，
解得0＜a＜1或1＜a＜10．
故选D．
2.【答案】D;
【解析】
此题主要考查对数的运算法则，属于基础题．
由，可得，，再利用对数的运算法则将用表示即可．
解：，
，，
，
故选
3.【答案】D;
【解析】解：实数，满足，
所以，，
即，，
所以和是方程的根，
由于方程的根唯一．
所以，，整理得，
所以
故选：
首先对函数的关系式进行变换，进一步求出关系式的方程的具体的形式的根，
进一步求出结果．
此题主要考查函数与方程、对数运算，考查数学运算能力，属于中档题．
4.【答案】B;
【解析】解：作出函数和的图象如图：
由图可知，当时，不满足题意，则；
当直线经过点时，，此时与函数图象有个交点，满足；
当为的切线时，设切点，
则，故有，解得，即有切点为，
此时与有个交点，满足题意；
综上：当，
故选：．
利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
这道题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．
5.【答案】A;
【解析】解：原题等价于，
当时，；
当，即时，令，满足，解得．
综上，实数的取值范围为或．
故选：．
根据题意，原题等价于，再讨论即可得到结论．
该题考查函数的零点，对数函数的性质，二次函数根的分布问题，考查了分类讨论思想，属于基础题．
6.【答案】A;
【解析】
此题主要考查先由指数不等式解得的取值范围，再求函数的值域.
解：由，
得，
得，
解得
函数，
设，，
所以，最小为，，最大为
故选
7.【答案】A;
【解析】
该题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．
分别作出函数、的图象，结合函数的对称性，即可求得结论．
解：当时，，函数的周期为，
图象关于轴对称的偶函数向右平移一个单位得到函数，
则关于对称，可作出函数的图象：
函数的零点，即为函数图象交点横坐标，
当时，，此时函数图象无交点，
又两函数在上有个交点，
由对称性知它们在上也有个交点，且它们关于直线对称，
所以函数的所有零点之和为：，
故选：．
8.【答案】C;
【解析】解：是定义在上的函数，和分别为奇函数和偶函数，
可得函数的图象关于对称，并且关于对称，
当时，，则上的函数的图象，如图：
函数在上有四个零点，
可知函数与的图象有个交点，
结合函数的图象可知：．
故选：．
利用已知条件画出函数的图象，利用数形结合求解函数在上有四个零点，实数的取值范围即可．
该题考查函数的图象的应用，考查数形结合以及计算能力．
9.【答案】;
【解析】
此题主要考查指数与指数幂的运算和对数的运算，属于基础题.
根据指数和指数幂以及对数的运算法则直接计算求解即可.
解：
，
故答案为
10.【答案】（x）=2x-1（x≥2）;
【解析】解：，，由，解得，
故．
故答案为：．
由，可得，由，解得，把与互换即可得出反函数．
该题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题．
11.【答案】或;
【解析】由题意知的解为，所以，所以，令，则或
12.【答案】;
【解析】
此题主要考查函数与方程思想，考查学生的转化化归能力.
将两函数图象存在对称点转化为方程有根问题，继而利用零点的存在性定理来列不等关系.
解：设的图象上的点关于轴对称的点在的图象上，
则，即，
由题意，方程有负根，
而函数是单调递减的，所以，解得
故答案为
13.【答案】;
【解析】
此题主要考查零点存在性定理，属于基础题.
由于函数为增函数，且，，所以函数的零点在内，可得结果．
解：由于函数为增函数，
且，，
所以函数的零点在内，
又，
所以
故答案为
14.【答案】解：（1）因为，
所以2x=16-2x，化简得2x=8，
所以x=3．
（2）==18．;
【解析】
根据对数的定义和指数幂的运算性质即可求出的值，
根据对数和指数幂的运算性质即可求出．
该题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】解：（1）原式=×+-1=×+22-1=2+4-1=5．
（2）原式=3+0+lg100=3+2×=3+1=4．;
【解析】
利用有理数指数幂的运算性质求解．
利用对数的运算性质求解．
此题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】解：（1）设1≤＜，
则f（）-f（）=+--=（-）+=（-） （1-）=（-） ，
∵1≤＜，m＜1，
∴＞1，则-m＞0，-＜0，
∴f（）-f（）＜0
得f（）＜f（），
即f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（2）=+m+mx+2x-=+（m+2）x+m-，
若方程g（x）=0有两个不相等的实根，有一根小于1，且另一根在（1，2）内，
则得
得得-＜m＜-，
即实数m的取值范围是-＜m＜-．;
【解析】
利用函数单调性的定义进行证明即可．
求出的解析式，结合一元二次函数根的分布建立不等式关系进行求解即可．
这道题主要考查函数与方程的应用，结合函数单调性的定义以及一元二次函数根的分布是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力，难度中等．
17.【答案】解：Ⅰ原式，
Ⅱ，
，
，
，
，
．;
【解析】该题考查了对数的运算性质和指数的运算性质，属于基础题．
Ⅰ根据指数幂的运算性质和对数的运算性质即可求出；
Ⅱ根据指数幂的运算性质即可求出．
18.【答案】解：要使有意义，必须且，
解得， 所以函数的定义域为，
是奇函数.
证明如下：
的定义域为，关于原点对称，
，
为奇函数.
由不等式的解集为，
得，，
，得，
为减函数，
解得：，
所以解集为;
【解析】此题主要考查奇偶性的判定，一元二次不等式与相应函数和方程的关系 、对数不等式的求解，属于中档题
先求出定义域，运用定义法判定并证明奇偶性；
先求出，的值，再解对数不等式即可.
19.【答案】BD;
【解析】解：函数，可得，函数的零点就是方程的根；
，可得，函数的零点就是方程的根；
与互为反函数，所以满足，即，
所以选项，不满足题意，选项、满足题意，
故选：
利用函数的零点，结合函数互为反函数，推出，然后判断选项的正误即可．
此题主要考查函数的零点与方程根的关系，反函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】BC;
【解析】解：对：，，故函数的图象不关于直线对称，故错误；
对：，则，令，，，
故在上单调递减，故，即，故在上单调递减，故正确；
对：，，故，令，则，
故在单调递减，故，即等价于，故正确；
故：由可得由，故，故错误；
故选：
验证即可判断；求导分析导函数正负可判断；令，求导分析单调性，可得可判断；由，可判断
此题主要考查命题真假性的判断，涉及函数与方程的综合运用，导数的综合运用，属于中档题．
21.【答案】BC;
【解析】解：由方程，可得
令，则有，即
令函数，则，
所以在上单调递增，在上单调递减．
作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，，，
所以，，解得，
故
故选：
化简方程，令，得到构造函数，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于的方程三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后求解即可．
此题主要考查导数与方程解的问题，考查化归与转化、函数与方程、以及运算求解能力和推理论证能力，是中档偏难题．
22.【答案】ACD;
【解析】解：，，
由于是两位数，则是位数，故A正确，不正确；
设，则，
，
是位数，故C正确；
只需要说明是否为一个位数正整数，
则，则，
则，
故为一个位数正整数，
故D正确．
故选：．
是两位数，则是位数，故可判断，对于，分别设，，利用定义求出所在的位数即可．
该题考查了对数的运算法则，考查理解能力和阅读能力，属于基础题．
23.【答案】ACD;
【解析】对于，由正弦定理，可得：，故A正确；
对于，由，可得，或，即，或，
，或，故B错误；
对于，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，故C正确；
对于，由正弦定理，
可得右边左边，故D正确．
故选：．
