2023-2024学年福建省福州十一中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 如图，在中，点，分别为，的中点，若，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为( )
A. B. C. D.
4. 在方差计算公式：中，，分别表示( )
A. 数据的个数和方差 B. 平均数和数据的个数
C. 数据的个数和平均数 D. 数据的方差和平均数
5. 下面哪个点不在函数的图象上( )
A. B. C. D.
6. 某校在“学习二十大精神”演讲比赛活动中，位评委给某位选手的评分各不相同，去掉个最高分和个最低分，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数
7. 如图，的中线、交于点，连接，点、分别为、的中点，，，则四边形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间不包含端点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 小带和小路两个人开车从城出发匀速行驶至城整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开城的距离千米与行驶的时间小时之间的函数关系如图所示，有下列结论：
、两城相距千米；
小路的车比小带的车晚出发小时，却早到小时；
小路的车出发后小时追上小带的车；
当时，小带和小路的车相距千米．
其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
10. 已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 已知是方程的一个根，则______．
12. 如图，已知中，，，，那么边上的中线的长为______．
13. 若函数是正比例函数，则的值为______ ．
14. 若直线和直线的交点坐标为，则 ______ ．
15. 在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占，环境卫生成绩占，个人卫生成绩占八年级一班这三项成绩分别为分，分和分，求该班卫生检查的总成绩______．
16. 已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 解方程：．
四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
已知：关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程两个根均为整数，且为正整数，求的值．
19. 本小题分
已知一次函数的图象过点与．
求这个一次函数的解析式；
直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．
20. 本小题分
列方程或方程组解应用题：
如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地空白处，求原正方形空地的边长．
21. 本小题分
如图，在 中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．
求证：四边形是矩形；
在 中，取的中点，连接，若，且，求四边形的面积．
22. 本小题分
年月在北京市召开的第十二届全国人民代表大会第五次会议上，环境问题再次成为大家讨论的重点内容之一．年月日是世界环境日，为纪念第个世界环境日，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有名学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了名学生的成绩进行统计分析，经分组整理后绘制成频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
分组分 频数 频率
合计
请你根据图表提供的信息，解答下列问题：______，______， ______；
请补全频数分布直方图；
若成绩在分以上含分为优秀，则该校成绩优秀的约为______人．
23. 本小题分
在矩形中，是边上一点．
求作点，使得，关于直线对称要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
平移线段，使点与点重合，点的对应点为求证点落在线段上．
24. 本小题分
已知正方形，，为平面内两点．
建模探究如图，当点在边上时，，且，，三点共线，求证：；
类比应用如图，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线，求证：．
25. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线，，是此抛物线上的两点．
若，
求抛物线顶点坐标；
若，求的值；
若存在实数，使得，且成立，则的取值范围是______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、分别为边，的中点，，
，
故选：．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
【解答】
解：，
，
．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：中，
，分别表示数据的个数和平均数．
故选：．
根据方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差即可得结论．
本题考查了方差，解决本题的关键是掌握方差的定义．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标的特征，当点的横纵坐标满足函数解析式时，点在函数图象上．把每个选项中点的横坐标代入函数解析式，判断纵坐标是否相符．
【解答】
解：、当时，，点在函数图象上；
B、当时，，点在函数图象上；
C、当时，，点不在函数图象上；
D、当时，，点在函数图象上．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，从个原始评分中去掉个最高分和个最低分，得到个有效评分，个有效评分与个原始评分相比，
中位数一定不发生变化．
故选：．
根据平均数、中位数、方差、众数的意义即可求解．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，掌握平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差是关键．
7.【答案】
【解析】解：，是的中线，
且，
是的中点，是的中点，
且，
，
同理，
四边形的周长为．
故选：．
根据平行四边形的判定以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可得，，且都等于边长的一半，由此可得问题答案．
本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．首先把顶点坐标代入函数解析式得到，利用的取值范围可以求得的取值范围．
【解答】
解抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点
抛物线与轴的另一个个交点坐标分别是，
，
，则，
抛物线与轴的交点在、之间不包含端点，
，
，
，
，
，
，
，
即．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：由图象可知、两城市之间的距离为，小带行驶的时间为小时，而小路是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即早到小时，
都正确；
设小带车离开城的距离与的关系式为，
把代入可求得，
，
设小路车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得，
解得：，
，
令，可得：，
解得：，
即小带、小路两直线的交点横坐标为，
此时小路出发时间为小时，即小路车出发小时后追上小带车，
不正确；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时小路还没出发，
当时，小路到达城，；
综上可知当的值为或或或时，两车相距千米，
正确；
故选：．
观察图象可判断，由图象所给数据可求得小带、小路两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断，再令两函数解析式的差为，可求得，可判断，可得出答案．
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意是甲车所用的时间．
10.【答案】
【解析】解：将方程和转化成函数和，
如图所示，两条抛物线都交于点，
，
，
两条抛物线的对称直线的值为和，
，
，
，
将点代入得：．
故选：．
将方程与二次函数结合，根据二次函数的图象特点求出相关点的坐标，再将点的坐标代入求出答案．
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，需熟知二次函数表达式所呈现的意义及对二次函数图象做出大致分析．
11.【答案】
【解析】解：是方程的一个根，
，
解得．
故答案是：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入已知方程求解即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半解决此题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，明确了直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半之后此题就不难了．
由勾股定理的逆定理，判断三角形为直角三角形，再根据直角三角形的性质直接求解．
【解答】解：，，，
，
是直角三角形，
，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：是正比例函数，
且，
．
故答案为：．
一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数，由此即可求解．
本题考查正比例函数，关键是掌握正比例函数的定义．
14.【答案】
【解析】解：线和直线的交点坐标为，
，，
，
．
故答案为：．
根据两直线相交的问题，把分别代入两函数解析式得到，，然后把两个等式相加即可得到的值．
本题考查了两条直线相交或平行，掌握两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解是解题的关键．
15.【答案】分
【解析】【分析】
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求，，这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．
根据加权平均数的计算公式求解即可．
【解答】
解：该班卫生检查的总成绩分．
故答案为分．
16.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为：，
，
抛物线开口向下，
，
若点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
由题意可得：，
不等式组无解；
若点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
由题意可得：，
解得：，
的取值范围为：．
故答案为：．
由题意可知：抛物线的对称轴为，开口向下，再分点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧和点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧两种情况求解即可．
本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键．
17.【答案】解法一：原式可以变形为，
，
，
，
，．
解法二：，，，
，
，
，．
【解析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．
公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．
18.【答案】解：，
，
．
，
原方程总有两个实数根．
，
，
解方程得，，
方程有两个整数根，
，
为正整数，
．
【解析】根据一元二次方程的定义得，再计算判别式得到，然后根据非负数的性质即的取值得到，则可根据判别式的意义得到结论；
根据因式分解法求出方程的根，方程的两个实数根都是整数，且为正整数，求出的值．
本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键，此题难度不大．
19.【答案】解：设一次函数为，
一次函数的图象过点与，
，
解得，
所求的解析式为．
令，则，
令，则，解得，
这个一次函数的图象与两坐标轴的交点为，．
【解析】设出一次函数的解析式是，然后把经过的点的坐标代入，求解得到、的值即可得解；
根据一次函数的解析式即可求出图象与两坐标轴的交点坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．
20.【答案】解：设原正方形的边长为，根据题意，得
，
解得：，．
经检验，不符合题意，舍去
答：原正方形的边长．
【解析】可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
21.【答案】证明：
四边形是平行四边形，
．
又，
四边形是平行四边形．
又，
．
四边形是矩形；
解：如图，
，
．
是的中点，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
．
又四边形是矩形，
．
．
矩形的面积．
【解析】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等及勾股定理的应用是解题的关键．
利用平行四边形的性质可得，结合条件可先证得四边形为平行四边形，结合，可证得结论；
由直角三角形的性质可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，再利用矩形的性质可求得的长，结合可求得矩形的面积．
22.【答案】；；；
补全频数分布直方图如下：
．
【解析】解：，，，
故答案为：；；；
见答案；
该校成绩优秀的约为人，
故答案为：．
根据“频率频数总数”和频数之和为可得答案；
根据中所求可补全图形；
总人数乘以样本中第组频率可得答案．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23.【答案】解：如图所示；
证明：连接，，
平移线段得到线段，
，，
四边形是平行四边形，
，关于直线对称，
垂直平分，
，
四边形是菱形，
，
，
，，三点共线，
点落在线段上．
【解析】根据线段垂直平分线的性质作出图形即可；
连接，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到四边形是菱形，根据菱形的性质得到，推出，，三点共线，于是得到结论．
本题考查了作图轴对称变换，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确地作出图形是解题的关键．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【解析】由正方形的性质可得，，结合，可证得，利用证得和全等，即可得出；
由正方形的性质可得，，结合，可证得，再结合，可证得，利用可证得和全等，得出，，由等腰直角可得，结合，问题得证．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟知正方形的四条边都相等，四个角都是直角；熟练掌握三角形全等的判定定理．
25.【答案】
【解析】解：把代入得，
抛物线顶点坐标为．
点，关于抛物线对称轴对称，且，为的根，
，，
，
解得．
解方程得，，
，
，
．
故答案为：．
把代入解析式求解．用含代数式求出，，进而求解．
用含代数式表示，然后解不等式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握含参二次函数的性质与参数的关系．
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