专题35 和角平分线有关的计算
1．已知，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒
（1）当秒时，求；
（2）当，求的值；
（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．
2．如图，是一个钝角，OC平分，射线OD在内，OE平分．
（1）若＝120°，＝20°，求的度数．
（2）若，，求的度数（用含，的代数式表示）．
（3）请写出与度数之间的等量关系，并说明理由．
3．如图1, 已知，射线从位置出发，以每秒的速度按顺时针方向向射线旋转；与此同时， 射线以每秒的速度，从位置出发按逆时针方向向射线旋转，到达射线后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线与射线 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）．
(1)当时， 求的度数；
(2)当与重合时，求的值；
(3)如图2，在旋转过程中， 若射线始终平分 ，问：是否存在的值， 使得 若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
4．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
5．已知：点O为直线上一点，过点O作射线．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，过点O作射线，使，作的平分线，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数．
6．已知是内部的一条射线，分别为上的点，线段同时分别以的速度绕点O逆时针旋转，设旋转时间为t秒．
（1）如图①，若，当逆时针旋转到处，
①若旋转时间t为2时，则______；
②若平分平分_____；
（2）如图②，若分别在内部旋转时，请猜想与的数量关系，并说明理由．
（3）若在旋转的过程中，当时，求t的值．
7．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分．
（1）如图①，若，求的度数；
（2）在图①，若，直接写出的度数_________（用含a的代数式表示）；
（3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置．
①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，说明理由．
8．已知，OD、OE分别为和的平分线．
（1）如图1，当OC在的内部时，若，求的度数．
（2）如图2，当OC在的外部时，若，求的度数．
（3）若，求的度数．
9．已知与互补，射线平分，设，．
（1）如图1，在的内部，
①当时，求的值．
②当时，求的度数．
（2）如图2，在的外部，，求与满足的等量关系．
10．已知，为内部的一条射线，.
（1）如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数；
（2）如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为秒，当时，求的值；
（3）若射线绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及相应所在的时间段.（本题中的角均为大于且小于的角）
11．已知：，OB、OC、OM、ON是内的射线．
如图1，若OM平分，ON平分当OB绕点O在内旋转时，则的大小为______；
如图2，若，OM平分，ON平分当绕点O在内旋转时，求的大小；
在的条件下，若，当在内绕着点O以秒的速度逆时针旋转t秒时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值
12．已知直线与相交于点O．
（Ⅰ）如图1，若，平分，则_________．
（Ⅱ）如图2，若，，平分，求的大小；
（Ⅲ）如图3，若，，平分，求的大小（用含的式子表示）．
13．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是 ．（用含α的代数式表示）
（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
14．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE．
（1）如图①，当∠BOC＝40°时，求∠DOE的度数；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化，说明理由；
（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，画出图形，直接写出∠DOE的度数（不必写过程）．
15．已知：如图，在内部有（）．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值．
参考答案：
1．（1）；（2）当或60时，；（3）当或时，、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线
【分析】（1）分别算出秒时转过的角度，用减去转过的角度即可；
（2）分两种情况进行讨论：相遇前以及相遇后，分别计算即可；
（3）分三种情况进行讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别进行计算即可．
【详解】（1）当时，，
∴．
（2），，
与相遇前，当时，
∵，
∴，
，
与相遇后，时，
，
∴不垂直，
当时，
，
∵，，
∴，
，
综上所述，当或60时，．
（3）当平分时，
，
∴，
，
当平分时，
，
，
，
，
当平分时，
，
，
（不合题意），
综上所述，当或时，
、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线．
【点睛】本题考查了角的计算、角的和差，角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键．
2．（1）＝20°；（2）；（3），见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义以及角的和差关系计算即可；
（2）根据角平分线的定义可得＝，＝＝，利用角的和差关系及等量关系可得出等式，即，由此用含有，的代数式表示出，即可得出结论；
（3）根据角平分线的定义以及角的和差关系可得，，即可得出．
【详解】解：（1）∵＝120°，OC平分，
∴＝＝60°，
∵＝20°，
∴，
∵OE平分，
∴＝＝×40°＝20°；
（2）∵OC平分，
∴＝，
∵，OE平分，
∴＝＝，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
（3），理由是：
∵，
，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解答此题的关键．
3．(1)的度数为90°
(2)的值为20或60
(3)存在，的值为15或22.5或45
【分析】（1）根据题意可得：当时， ，，即可求解；
（2）分两种情况：当射线没有到达射线，与重合时，当射线到达射线后返回，与重合时，即可求解；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：当时，
，，
∵，
∴ ；
（2）解： 当射线没有到达射线，与重合时， ，
根据题意得： ，，
∴ ，
解得： ；
当射线到达射线后返回，与重合时， ，
根据题意得： ， ，
∴，
解得： ；
综上所述，当与重合时， 的值为20或60；
（3）解：存在，的值为15或22.5或45，使得 ，理由如下：
由（2）得：当时，与第一次重合，当 时，到达射线，当 时，射线与射线 重合，
当时， ，，
∴ ， ，
∵射线平分 ，
∴ ，
∵，
∴，
解得： ；
如图，当时， ，，
∴ ，
∴ ， ，
∵，
∴，
解得： ；
如图，当时， ， ，
∴ ，，
∴ ，
∴，
解得： ；
综上所述，当的值为15或22.5或45时，使得 ．
【点睛】本题主要考查了有关角平线的计算，角的和与差，利用方程思想解答和分类讨论思想解答是解题的关键．
4．（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或秒.
【分析】（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB外部时，两种情况分别求值即可；
（2）根据OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线，可得∠AOB=90°，∠BOP=30°，进而即可得到结论；
（3）设运动时间为t ，则∠MOP=12t ，∠BOA=4t ，分两种情况：当OP在OB上方时，当OP在OB下方时，分别列出方程即可求解.
【详解】解：（1）∵射线OP是∠AOB的好线，且∠BOP=30°
∴∠AOP=2∠BOP=60°
∴当OP在∠AOB内部时， ∠AOB =∠BOP +∠AOP =90° ,
当OP在∠AOB外部时，∠AOB = ∠AOP-∠BOP=30°
∴∠AOB =90°或30°；
(2) ∵OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线
∴∠AOB=∠BOP+∠AOP= (∠MOP+∠NOP)=，∠BOP=∠BOM=30°，
∴∠AOP=90°-30°=60°
∴∠BOP=∠AOP
∴OP是∠AOB的一条“好线” ；
(3) 设运动时间为t ，则∠MOP=12t ，∠BOA=4t ，
当OP在OB上方时，∠BOP=80°-12t ，∠AOP=80°+4t-12t=80°-8t ，
∴
解得：t=5；
当OP在OB下方时，∠BOP= 12t-80°， ∠AOP=80°+4t-12t=80°-8t ，
∴，
解得：t=
综上所述：运动时间为5秒或秒.
【点睛】本题主要考查了角的和差倍分运算以及一元一次方程的应用，根据题意，分类讨论是解题的关键.
5．（1）70°；（2）55°；（3）画图见解析，55°或165°
【分析】（1）根据补角的定义即可求解；
（2）先求出∠AOD，再根据角平分线的定义求出∠AOM，再根据角的和差关系可求∠MOD的度数；
（3）分两种情况：①当射线OP在∠BOC内部时（如图1），②当射线OP在∠BOC外部时（如图2），进行讨论即可求解．
【详解】解：（1）∠AOC=180°-∠BOC=180°-110°=70°；
（2）由（1）得∠AOC=70°，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=∠COD-∠AOC=20°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠AOM=∠AOC=×70°=35°，
∴∠MOD=∠AOM+∠AOD=35°+20°=55°；
（3）由（2）得∠AOM=35°，
∵∠BOP与∠AOM互余，
∴∠BOP+∠AOM=90°，
∴∠BOP=90°-∠AOM=90°-35°=55°，
①当射线OP在∠BOC内部时（如图1），
∠COP=∠BOC-∠BOP=110°-55°=55°；
②当射线OP在∠BOC外部时（如图2），
∠COP=∠BOC+∠BOP=110°+55°=165°．
综上所述，∠COP的度数为55°或165°．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，注意分类思想的运用，以及数形结合思想的运用．
6．（1）①40°；②60°；（2）∠COM=3∠BON，理由见解析；（3）3秒或5秒
【分析】（1）①先求出、，再表示出、，然后相加并根据计算即可得解；
②先由角平分线求出，，再求出，即；
（2）设旋转时间为，表示出、，然后列方程求解得到、的关系，再整理即可得解；
（3）设旋转时间为，表示出、，然后得到，再列方程求解得到的关系，整理即可得解．
【详解】解：（1）线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转，
，，
，，
，
，
；
故答案为：；
②平分，平分，
，，
，
即；
（2），理由如下：
设，则，，
旋转秒后，，，
，，
；
（3）设旋转秒后，，，
，，
可得，
可得：，
解得：秒或秒，
故答案为：3秒或5秒．
【点睛】此题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键．
7．（1）14°；（2）；（3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE ∠AOF＝90°
【分析】（1）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC＝90°可以求得∠DOE的度数；
（2）由第（1）问的求法，可以直接写出∠DOE的度数；
（3）①首先写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，由∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠BOC＋∠AOC＝180°，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；②首先得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，由，∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系．
【详解】解：（1）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝28°，
∴∠BOC＝180° ∠AOC＝152°，∠COE＝∠BOC，∠COD＝90°．
∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD ∠COE＝90° 76°＝14°．
即∠DOE＝14°；
（2）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝a，
∴∠DOE＝90° ＝．
故答案是：；
（3）①∠AOC＝2∠DOE．
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°．
∴∠AOC＋2（90° ∠DOE）＝180°．
化简，得∠AOC＝2∠DOE；
②2∠DOE ∠AOF＝90°．
理由：∵，
∴2∠AOF＋∠BOE＝（∠AOC ∠AOF），
∴2∠AOF＋∠BOE＝∠AOC ∠AOF．
又∵∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOF＝∠DOE ∠BOE，
∴∠AOF＝∠DOB．
∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE．
∴∠AOF＋180° ∠AOC＝90°．
∴∠AOF＋180° 2∠DOE＝90°．
化简，得2∠DOE ∠AOF＝90°．
【点睛】本题考查角的计算、角平分线的性质，解题的关键是根据题目中的信息，建立各个角之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
8．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）由得，根据角平分线定义得出，，∠BOD-∠BOE，即可得出答案；
（2）根据角平分线定义，设，，，，即可得出；
（3）根据角平分线定义，设，，分OC在的内部和OC在的外部两种情况求解，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，分别为和的角平分线，
∴，，
∴；
（2）由题意得：设；，
∵，
∴，
∵，分别为和的角平分线，
∴，，
∴；
（3）设，
①当在的外部时，
当时，，
当时，．
②当在的内部时，
，
，
综上，或．
【点睛】本题考查了角的有关计算和角平分线定义，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
9．（1）①90°；②45°；（2）．
【分析】（1）①根据补角的定义可得，-即可得到结论；
②设，根据角平分线的定义和补角的定义即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和角的和差求出，则，根据角的和差求出，再由与互补即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵，，
∴，
∴；
②设，
∵平分，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，补角的定义，正确的识别图形是解题的关键．
10．（1）；（2）t的值为3或7.5；（3）当或时，为定值，此时补全的图形见解析．
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；
（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，OF在OC的右侧，因此，分OE在OC左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；
（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分OM与OB在一条直线上、ON与OB在一条直线上、OM与OA在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案．
【详解】（1）平分，
；
（2）
由题意知，当OE转到OB时，两条射线均停止运动
此时（秒）
则OF停止转动时，
即OF从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧
因此，分以下2种情况：
①当OE在OC左侧时，
则由得，解得
②当OE在OC右侧时，
则由得，解得
综上，t的值为3或7.5；
（3）射线OM从开始转动至OB结束时，转动时间为（秒）
由题意，分OM与OB在一条直线上（）、ON与OB在一条直线上（）、OM与OA在一条直线上（）三个临界位置
①当时，如图1所示
此时，
则为定值
②当时，如图2所示
此时，
则不为定值
③当时，如图3所示
此时，
则为定值
④当时，如图4所示
此时，
则不为定值
综上，当或时，为定值．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（3），正确找出三个临界位置是解题关键．
11．（1）78°；（2）∠MON=66°；（3）当t=3或t=33时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOM∠AOB，∠BON∠BON，即可求∠MON的大小；
（2）由角平分线的定义可得∠COM∠AOC，∠BON∠BOD，即可求∠MON的大小；
（3）由题意可得∠AOC=54°+2t，∠AOM=27+t，∠BOD=126﹣2t，∠DON=63﹣t，分∠AOM=2∠DON，∠DON=2∠AOM两种情况讨论，列出方程可求t的值．
【详解】（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM∠AOB，∠BON∠BON．
∵∠MON=∠BOM+∠BON∠AOD，∴∠MON=78°．
故答案为78°．
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠COM∠AOC，∠BON∠BOD，∴∠MON=∠BON+∠COM﹣∠BOC∠AOC∠BOD﹣24°（∠AOC+∠BOD）﹣24°，∴∠MON（∠AOD+∠BOC）﹣24°180°﹣24°=66°．
（3）∵∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC=54°+2t，∠AOM=27+t，∠BOD=126﹣2t，∠DON=63﹣t．
若∠AOM=2∠DON时，即27+t=2（63﹣t），∴t=33；
若2∠AOM=∠DON，即2（27+t）=63﹣t，∴t=3．
综上所述：当t=3或t=33时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，分类讨论思想，利用一元一次方程解决问题是本题的关键．
12．（Ⅰ）135°；（Ⅱ）54°；（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（Ⅱ）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可；
（Ⅲ）与（2）的解法相同．
【详解】解（Ⅰ），平分，
，
，
，
即的度数为；
（Ⅱ）
设，，
，
平分，
，
，
，
，
即的度数为；
（Ⅲ）
设，，
，
平分，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）（3）难点在于根据∠BOM列出方程．
13．（1）；（2）存在，t＝20秒或25秒；（3）或或或30s
【分析】（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；
②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．
【详解】解：（1）如图， 射线是OA的伴随射线，
,
，
同理，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，
,
射线OC是∠AOB的平分线，
,
=，
故答案为：
（2）射线OD与OA重合时，t＝＝36（秒）
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，
∴t＝20；
若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，
∴t＝25；
所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．
②相遇之前：
（i）如图1，
OC是OA的伴随线时，则∠AOC＝ ∠COD
即 3t＝（180﹣5t﹣3t）
∴t＝
（ii）如图2，
OC是OD的伴随线时，
则∠COD＝∠AOC
即180﹣5t﹣3t＝3t
∴t＝
相遇之后：
（iii）如图3，
OD是OC的伴随线时，
则∠COD＝ ∠AOD
即5t+3t﹣180＝（180﹣5t）
∴t＝
（iv）如图4，
OD是OA的伴随线时，则∠AOD＝ ∠COD
即180﹣5t＝（3t+5t﹣180）
∴t＝30
所以，综上所述，当t＝， 30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
14．（1）45°；（2）∠DOE的大小不变，理由见解析；（3）45°或135°；画图见解析.
【分析】（1）如图①，当∠BOC＝40°时，求∠DOE的度数；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化，说明理由；
（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，画出图形，直接写出相应的∠DOE的度数（不必写出过程）．
【详解】解：（1）如图，∠AOC＝90°﹣∠BOC＝50°，
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC＝25°，∠COE＝∠BOC＝20°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝45°；
（2）∠DOE的大小不变，理由是：
∠DOE＝∠COD+∠COE＝∠AOC+∠COB＝（∠AOC+∠COB）＝∠AOB＝45°；
（3）∠DOE的大小发生变化情况为，
如图3，则∠DOE为45°；如图4，则∠DOE为135°，
分两种情况：如图3所示，
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝（∠AOC﹣∠BOC）＝45°；
如图4所示，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝×270°＝135°．
【点睛】本题考查角的计算，熟练掌握角平分线定义是解题关键．
15．（1）170°；（2）65°；（3）19
【分析】（1）根据∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD 计算即可；
（2）利用各角的关系得出∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM)，再利用角平分线的定义求解即可；
（3）根据题意可得∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t)°，∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t)°，再根据，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC
=∠AOD+∠COD+∠BOD
=∠AOB+∠COD
=150°+20°=170°
（2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC
∴∠AON+∠BOM=（∠AOD+∠BOC）=×170°=85°
∴∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM) =150°-85°=65°
（3）∵∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t) °
∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t) °
又∵∠BOM=∠AON
∴70-t=（15+t）
∴t=19
【点睛】本题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．
