专题13 圆周运动
题型 选择题 命题趋势和备考策略
高考考点 圆周运动动力学分析；圆周运动动力学分析；圆周运动的临界问题 【命题规律】 近3年新高考卷对于本专题考查共计14次，主要考查： 圆周运动运动学和动力学分析； 2. 水平面和竖直面内的圆周运动； 3. 圆周运动的临界问题； 【备考策略】 理解匀速圆周运动的概念，向心力的来源，掌握匀速圆周运动的八个物理量；掌握从运动学和动力学的角度分析圆周运动，并利用所学知识去解释与实际生产相关的圆周运动；注重理解圆周运动和平抛运动相结合的综合性题型的训练，注重圆周运动与电场和磁场相结合的综合性题型的训练。 【命题预测】 本节内容在2021——2023年的各省高考卷中出现频率适中，预测在2024年大概有4-6套高考会出现本节内容。2024年考生需要引起重视，注重基础概念、规律的理解、注重与实际生产相结合的题型练习，多关系时政热点，本节内容常常还会与天体运动结合在一起考察，属于每套高考卷的必考内容。
新高考 2023 全国甲卷17题、上海卷14题、湖南卷8题、江苏卷13题、北京卷10题、河北卷8题
2022 福建卷12题、辽宁卷13题、河北卷12题、上海卷6题
2021 广东4题、全国甲卷15题、河北卷9题、北京10题
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知识梳理
一、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 2
二、匀速圆周运动的向心力 3
三、离心现象 3
考点突破
考点一 圆周运动的分析 4
角度1：圆周运动的运动学分析 4
角度2：圆周运动的动力学分析 6
考点二 水平面内圆周运动的临界问题 8
考点三 竖直面内的圆周运动 10
考点四 斜面上圆周运动的临界问题 13
考点过关
【素质基础练】 16
【能力提高练】 16
【高考通关练】 16
一、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．描述匀速圆周运动的物理量
定义、意义 公式、单位
线速度 描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v) (1)v＝＝ (2)单位：m/s
角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) (1)ω＝＝ (2)单位：rad/s
周期 物体沿圆周运动一圈的时间(T) (1)T＝＝，单位：s (2)f＝，单位：Hz
向心加 速度 (1)描述速度方向变化快慢的物理量(an) (2)方向指向圆心 (1)an＝＝rω2 (2)单位：m/s2
[深度思考] 如图所示为一辆自行车传动装置的结构图．
(1)同一齿轮上到转轴距离不同的各点的线速度、角速度是否相同？
(2)两个齿轮相比较，其边缘的线速度是否相同？角速度是否相同，转速是否相同？
答案 (1)线速度不同，角速度相同．(2)线速度相同，角速度、转速不同．
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
三、离心现象
1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势．
3．受力特点(如图2)
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F
1．圆周运动中的运动学分析
(1)对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；
当ω一定时，v与r成正比；
当v一定时，ω与r成反比．
(2)对a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
2．圆周运动中的动力学分析
(1)向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
(2)向心力的确定
①确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
②分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
角度1：圆周运动的运动学分析
【例1】（2023·全国·统考高考真题）一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 C
【解析】质点做匀速圆周运动，根据题意设周期
合外力等于向心力，根据
联立可得
其中为常数，的指数为3，故题中
故选C。
【变式1】（2023·甘肃甘南·校考三模）如图是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】大齿轮的线速度为
大齿轮的线速度等于小齿轮的线速度，则小齿轮的角速度为
而小齿轮的角速度等于后轮的角速度，则后轮的线速度，即自行车前进的速度为
故选C。
【变式2】（多选）（2023·全国·三模）如图是家里走时精确的时钟，设时针与分针的长度之比为，则下列说法正确的是（ ）
A．时针、分针针尖的角速度之比为
B．时针、分针针尖的线速度之比为
C．时针、分针针尖的向心加速度之比为
D．从3:00开始计时，时针、分针经过将第一次重合
【答案】BD
【详解】A．时针运动的周期为
分针运动的周期为
而角速度，所以，故A错误；
B．根据，可知，故B正确；
C．根据，可知，故C错误；
D．3:00时，时针与分针的夹角为 ，时针和分针第一次重合时，分针比时针多转 ，所以， 解得，故D正确。
故选BD。
角度2：圆周运动的动力学分析
【典例】（多选）（2023·广东·统考高考真题）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端点时速度大小为。已知货物质量为，滑道高度为，且过点的切线水平，重力加速度取。关于货物从点运动到点的过程，下列说法正确的有（ ）
A．重力做的功为 B．克服阻力做的功为
C．经过点时向心加速度大小为 D．经过点时对轨道的压力大小为
【答案】 BCD
【解析】A．重力做的功为，A错误；
B．下滑过程据动能定理可得，
代入数据解得，克服阻力做的功为，B正确；
C．经过点时向心加速度大小为，C正确；
D．经过点时，据牛顿第二定律可得，
解得货物受到的支持力大小为，据牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为，D正确。
故选BCD。
【变式】（2023·河北·校联考模拟预测）拉球转身动作是篮球运动中的难点，如图甲所示为篮球爱好者拉球转身的一瞬间，由于篮球规则规定手掌不能上翻，我们将此过程理想化为如图乙所示的模型：薄长方体代表手掌，转身时球紧贴竖立的手掌，绕着转轴（中枢脚所在直线）做圆周运动。假设手掌和球之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，篮球质量为m，直径为D，手掌到转轴的距离为d，重力加速度为g，则要顺利完成此转身动作，下列说法正确的是（ ）
A．篮球线速度至少为
B．手掌和篮球之间的作用力至少为
C．若篮球的速度为，则篮球会和手掌分离
D．篮球的速度越大，手掌和球之间的摩擦力越大
【答案】 A
【解析】B．设手掌和篮球之间弹力的最小值为，竖直方向上摩擦力
解得，由于手掌和篮球之间的作用力为弹力和摩擦力，B错误；
A．水平方向上，解得，A正确；
C．由于，则篮球和手掌之间的弹力，篮球和手掌之间的最大静摩擦力增大，篮球不会和手掌分离，C错误；
D．篮球竖直方向上处于平衡状态，所以，D错误。
故选A。
考点二 水平面内圆周运动的临界问题
水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。
1．如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。
2．如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
常见 情境 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件：物体与转盘之间恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳的拉力出现临界条件：绳恰好拉直（此时绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零
解题 思路 （1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。 （2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。 （3）当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解
【例3】（2023·江苏·统考高考真题）“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小和受到的静摩擦力大小f。
【答案】；
【详解】发光体的速度
发光体做匀速圆周运动，则静摩擦力充当做圆周运动的向心力，则静摩擦力大小为
1．在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势．这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)．
2．三种临界情况：
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0.
【变式】（2023秋·广东茂名·高三茂名市第一中学校考开学考试）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块a和b放在水平转盘上，两者用细线连接，两木块与转盘间的动摩擦因数相同，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，且木块a，b与转盘中心在同一条水平直线上。当圆盘转动到两木块刚好还未发生滑动时，烧断细线，关于两木块的运动情况，以下说法正确的是（ ）
A．两木块仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
B．木块b发生滑动，离圆盘圆心越来越近
C．两木块均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
D．木块a仍随圆盘一起做匀速圆周运动
【答案】 D
【解析】木块a和b绕同轴转动，角速度相同；由于，由可知木块a做圆周运动所需的向心力小于木块b。当圆盘转速加快到两木块刚要发生滑动时，木块b靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，木块b所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，木块b要与圆盘发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远；但是木块a所需要的向心力小于木块a的最大静摩擦力，所以木块a仍随圆盘一起做匀速圆周运动。
故选D。
考点三 竖直面内的圆周运动
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
轻绳模型 轻杆模型
实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示 最高点无支撑 最高点有支撑
最 高 点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件 v≥ v≥0
速度和弹力关 系讨论分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0
【例4】（多选）（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
【答案】 AD
【解析】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为
vC = 0
则小球从C到B的过程中，有
联立有
FN= 3mgcosα－2mg
则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cosα逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大，A正确；
B．由于A到B的过程中小球的速度逐渐减小，则A到B的过程中重力的功率为
P = －mgvsinθ
则A到B的过程中小球重力的功率始终减小，则B错误；
C．从A到C的过程中有
解得
C错误；
D．小球在B点恰好脱离轨道有
则
则若小球初速度v0增大，小球在B点的速度有可能为，故小球有可能从B点脱离轨道，D正确。
故选AD。
[变式1]（2023秋·河南三门峡·高三灵宝市第一高级中学校考开学考试）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）求球落地时的速度大小；
（2）绳能承受的最大拉力为多大？
（3）绳能承受的最大拉力与第（2）小问结果相同的情况下，改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，求球抛出的最大水平距离。
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，竖直方向有
水平方向有
联立解得
，
球落地时的速度大小为
（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，则球在最低点有
又
联立解得
（3）设绳长为，绳断时球的速度大小为，绳能承受的最大拉力不变，球在最低点有
解得
绳断后球做平抛运动，竖直位移为，设水平位移为x，运动时间为，水平方向有
竖直方向有
联立可得
当时，x有最大值，可得
考点四 斜面上圆周运动的临界问题
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制(图甲)、轻绳控制(图乙)、轻杆控制(图丙)，物体的受力情况和临界条件也不相同。
由于重力沿斜面的分力，在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动摩擦力。
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
1.解题关键——重力的分解和视图
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。
（2023春·安徽六安·高一六安一中校考期中）如图所示，一倾角为θ＝30°的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一轻绳的一端固定在斜面上的O点，另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，整个过程中斜劈静止，下列说法正确的是（ ）
A．小球在顶端时，速度大小为
B．小球在底端时，速度大小为
C．小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变
D．小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
【答案】 B
【解析】A．小球在顶端时，绳的拉力FT与重力沿斜面向下的分力的合力提供小球做圆周运动所需的向心力，有
FT＋mg sinθ＝m
可知绳的拉力越小，小球的速度越小，当绳的拉力为零时，小球恰好在斜面上做圆周运动，在顶端时的速度为
vmin＝＝，选项A错误；
B．小球由顶端向底端运动时，只有重力对小球做功，根据动能定理
mg·2l sin θ＝mv2－mvmin2
代入数据可得，v＝
选项B正确；
CD．小球在斜面上受重力、支持力和绳的拉力作用做变速圆周运动，其所受重力与斜面的支持力大小和方向均保持不变，绳的拉力大小和方向均不断变化，根据牛顿第三定律，以斜劈为研究对象，斜劈在小球恒定的压力、绳沿斜面方向不断变化的拉力、地面的支持力、摩擦力和自身的重力作用下保持平衡，绳的拉力沿斜面方向不断变化，故其在水平和竖直方向上的分量也在不断变化，根据斜劈的平衡条件可知，它受到的水平方向上的摩擦力大小是变化的，地面对斜劈支持力的大小不一定等于小球和斜劈重力之和，选项CD错误。
故选B。
（2023·广东·模拟预测）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，每面上有一质量为的小物体与圆盘始终保持相对静止，盘面与水平面的夹角为30°，重力加速度大小为，已知物体在最高点受到的摩擦力的大小为，则物体在最低点受到的摩擦力的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当物体在最高点时，物体受到的摩擦力方向沿半径方向背离圆心时，对物体有
此种情况下，当物体在最低点时，对物体，解得
当物体在最高点时，物体受到的摩擦力方向沿半径方向指向圆心时，对物体有
此种情况下，当物体在最低点时，对物体，解得
故选D。
考点过关
【素质基础练】
1．（2023·湖南衡阳·衡阳县第三中学校考模拟预测）夏天人们常用蚊香来驱除蚊虫。如图所示，蚊香点燃后缓慢燃烧，若某滑冰运动员（可视为质点）的运动轨迹与该蚊香燃点的轨迹类似，运动的速率保持不变，则该运动员（ ）
A．线速度不变 B．角速度变大
C．向心加速度变小 D．运动一圈（）所用时间保持不变
【答案】B
【详解】A．由题意可知线速度大小不变，方向时刻改变，故A错误；
B．动员运动半径在减小，由可知角速度变大，故B正确；
C．由可知，运动半径r减小，向心加速度a变大，故C错误；
D．一圈的长度逐渐变小，故运动一圈所用的时间变短，故D错误。
故选B。
2．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示一个半径为r质量均匀的圆盘套在光滑固定的水平转轴上，一根轻绳绕过圆盘，两端分别连接着物块A和B，A放在地面上，B用手托着，A、B均处于静止，此时B离地面的高度为7r，圆盘两边的轻绳沿竖直方向伸直，A和圆盘的质量均为m，B的质量为2m，快速撤去手，在物块B向下运动的过程中。绳子始终与圆盘没有相对滑动，已知圆盘转动的动能为，其中ω为圆盘转动的角速度，则物块A上升到最高点时离地面的高度为（ ）（A上升过程中未与圆盘相碰）
A．7r B．8r C．9r D．10r
【答案】C
【详解】设B刚落地时速度为v，则根据机械能守恒有
解得
当物块B落地后，A还能上升的高度
因此A上升到最高点离地面的高度为9r。
故选C。
3．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考三模）如图所示，轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球A、B，放置在光滑水平桌面上，杆上O点有一竖直方向的固定转动轴，A、B的质量之比，A、B到O点的距离之比。当轻杆绕轴匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A．A对杆的作用力大小等于B对杆的作用力大小
B．A的向心加速度大小大于B的向心加速度大小
C．A的动能等于B的动能
D．A的周期小于B的周期
【答案】C
【详解】A．水平面光滑，所以杆对A的力提供了A做圆周运动的向心力
杆对B的力提供了B做圆周运动的向心力
代入数据可求得
有牛顿第三定律可知：A对杆的作用力大小不等于B对杆的作用力大小，A错误；
B．AB运动具有相同的角速度，则加速度为
由得A的向心加速度大小小于B的向心加速度大小，B错误；
C．动能的表达式为
结合题意可知：A的动能等于B的动能，C正确；
D．AB有相同的角速度，，所以A的周期等于B的周期，D错误；
故选C。
4．（2023·上海静安·统考二模）稳定运行的空间站中，有如图所示的装置：甲、乙两个光滑圆形轨道安置在同一竖直平面内，甲的半径更小，轨道之间有一条粗糙的水平轨道CD相通。一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过CD段后滑上乙轨道，最后离开圆轨道。不计空间站内的空气阻力，若小球经过甲、乙最高点时的速度为v甲、v乙，与轨道间的弹力为FN甲、FN乙，则（ ）
A．v甲 > v乙，FN甲 >FN乙 B．v甲 > v乙，FN甲
【答案】D
【详解】小球在空间站里面处于完全失重状态，经过水平轨道CD时对水平轨道的压力为零，没有能量损失，在圆轨道中运动，轨道的弹力提供向心力，可得
v甲 = v乙
由牛顿第二定律，有
由图可知
易知
FN甲 >FN乙
故选D。
5．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）如图所示，火车轨道转弯处外高内低，当火车行驶速度等于规定速度时，所需向心力仅由重力和轨道支持力的合力提供，此时火车对内，外轨道无侧向挤压作用。已知火车内，外轨之间的距离为1435mm，高度差为143.5mm，转弯半径为400m，由于内.外轨轨道平面的倾角θ很小，可近似认为sinθ=tanθ，重力加速度g取10m/s2，则在这种情况下，火车转弯时的规定速度为（ ）
A．36km/h B．54km/h C．72km/h D．98km/h
【答案】C
【详解】在规定速度下，火车转弯时只受重力和支持力作用，由牛顿第二定律有
可得，ABD错误，C正确。
故选C。
6．（2023·江西上饶·校联考二模）如图所示，质量为m的小球（可视为质点）用长为l的轻质细线悬于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轨迹圆圆心为O，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．细线与竖直方向夹角为时，小球运动的角速度大小为
B．保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离不变时，细线越长，小球运动的周期越短
C．保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离不变时，细线越长，小球运动的周期越长
D．保持细线与竖直方向夹角不变时，细线越短，小球运动的角速度越大
【答案】D
【详解】AD．细线与竖直方向夹角为时，有
解得
保持细线与竖直方向夹角不变时，细线越短，小球运动的角速度越大，故A错误，D正确；
BC．保持轨迹圆的圆心到悬点B的距离不变，改变绳长，根据牛顿第二定律得
解得，则周期，可知周期T与细线长度无关，故BC错误。
故选D。
7．（2023·河北·统考一模）如图所示，光滑水平板开有小孔，顶角的光滑圆锥的顶点紧靠着小孔，圆锥的高位于竖直面。质量相同的小球用穿过小孔的轻绳连接，两球分别位于水平板和圆锥侧面上。为了保证小球Q的高度不变且刚好不脱离圆锥面，让两小球分别做匀速圆周运动。重力加速度为g，则小球P、Q做匀速圆周运动的向心加速度的差值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【详解】由圆周运动可知，对小球P有，对小球Q有，
联立解得
故选D。
8．（多选）（2023·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）2022年2月5日，由曲春雨、范可新、张雨婷、武大靖、任子威组成的短道速滑混合接力队夺得中国在本次冬奥会的首枚金牌如图所示，若将武大靖在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，弯道半径为R，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）
A．武大靖转弯时速度的大小为
B．武大靖转弯时速度的大小为
C．若武大靖转弯速度变大则需要增大蹬冰角
D．若武大靖转弯速度变大则需要减小蹬冰角
【答案】AD
【详解】AB．依题意，武大靖转弯时，根据牛顿第二定律有
可得其转弯时速度的大小为，故A正确，B错误；
CD．依题意，根据武大靖转弯时速度的大小
可知，若减小蹬冰角，则减小，武大靖转弯速度将变大，故C错误，D正确。
故选AD。
9．（多选）（2023·湖南永州·湖南省道县第一中学校考模拟预测）滚筒洗衣机静止于水平地面上，衣物随着滚筒一起在竖直平面内做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果，滚筒截面如图所示，A点为最高点，B点为最低点，CD为水平方向的直径，下列说法正确的有（ ）
A．衣物运动到A点时处于超重状态
B．衣物运动到B点时脱水效果最好
C．衣物运动到C点或D点时，洗衣机对地面的摩擦力不为零
D．衣物在B点时，洗衣机对地面的压力等于洗衣机的重力
【答案】BC
【详解】A．衣物运动到最高点A点时，加速度方向竖直向下，处于失重状态，故A错误；
BD．衣物及衣物上的水运动到最低点B点时，加速度方向竖直向上，处于超重状态，衣物上的水根据牛顿第二定律，在最低点有，解得
根据牛顿第三定律可知，衣服对洗衣机的作用力为，洗衣机对地面的压力等于洗衣机的重力加上衣服对洗衣机的作用力，所以洗衣机对地面的压力大于洗衣机的重力。在B点受到衣物的附着力需最大，而水的附着力相同，衣物运动到最低点B点时脱水效果，故B正确，D错误；
C．在衣物运动中，衣物运动到C点或D点时，洗衣机对衣物的水平作用力为衣物的向心力，可知此时衣物对洗衣机在水平方向作用力最大，而洗衣机是静止的，可知地面对其的摩擦力最大，根据牛顿第三定律可知，衣物运动到C点或D点时洗衣机对地面的摩擦力最大，故C正确。
故选BC。
10．（多选）（2023·福建泉州·统考三模）国产科幻大片《流浪地球2》中的“太空电梯”给观众带来了强烈的视觉震 。如图所示，“太空电梯”由地面基站、缆绳、箱体、同步轨道上的空间站和配重组成，缆绳相对地面静止，箱体可以沿缆绳将人和货物从地面运送到空间站。下列说法正确的是（ ）
A．地面基站可以建设在青藏高原上
B．配重的线速度小于同步空间站的线速度
C．箱体在上升过程中受到地球的引力越来越小
D．若同步空间站和配重间的缆绳断开，配重将做离心运动
【答案】CD
【详解】A．由题意可知缆绳相对地面静止，则整个同步轨道一定在赤道正上方，所以地面基站不可能在青藏高原上。故A错误；
B．根据“太空电梯”结构可知，配重和同步空间站的角速度相同，空间站的环绕半径小于配重的环绕半径，所以配重的线速度大于同步空间站的线速度。故B错误；
C．箱体在上升过程中受到地球的引力
万有引力随着箱体与地球距离的增加而减小，故C正确；
D．根据题意可知，空间站做匀速圆周运动，若缆绳断开，配重与地球之间的万有引力，即万有引力小于配重做圆周运动的向心力，故配重会做离心运动。故D正确。
故选CD。
【能力提高练】
1．如图甲，辘轱是古代民间提水设施，由辘轱头、支架、井绳、水斗等部分构成，如图乙为提水设施工作原理简化图，某次从井中汲取m=2kg的水，辘轱绕绳轮轴半径为r=0.1m，水斗的质量为0.5kg，井足够深且并绳的质量忽略不计，t=0时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动向上提水桶，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g取10m/s2，则（ ）
A．水斗速度随时间变化规律为（所涉及物理量均用国际单位制）
B．井绳拉力大小恒定，其值为25N
C．0~10s内水斗上升的高度为4m
D．0~10s内井绳拉力所做的功为255J
【答案】D
【详解】A．由丙图知
水斗速度随时间变化规律为（所涉及物理量均用国际单位制），A错误；
B．水斗匀加速上升时的加速度
根据牛顿第二定律，解得井绳拉力大小，B错误；
C．0~10s内水斗上升的高度为，C错误；
D．0~10s内井绳拉力所做的功为，D正确。
故选D。
2．在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图。假设泼水过程中杯子做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．P位置的小水珠速度方向沿a方向 B．P、Q两位置，杯子的向心加速度相同
C．从Q到P，杯子速度变化量为零 D．从Q到P，杯子所受合外力做功为零
【答案】D
【详解】A．根据图乙水珠做离心运动的方向可知杯子旋转方向为逆时针，故可知P位置的小水珠速度方向沿b方向，故A错误；
B．向心加速度方向指向圆心，P、Q两位置，杯子的向心加速度方向不同，故B错误；
C．从Q到P，杯子速度变化量为，故C错误；
D．杯子所受合外力提供向心力，方向始终指向圆心，与位移方向始终垂直，所以合外力始终不做功，故D正确。
故选D。
3．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着质量相等的两个物体A和B，通过细线相连，B放在转轴的圆心上，它们与圆盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。现逐渐增大圆盘的转速，当圆盘转速增加到两物体刚要发生滑动时烧断细线，则（ ）
A．物体A沿半径方向滑离圆盘 B．物体A沿切线方向滑离圆盘
C．物体A仍随圆盘一起做圆周运动 D．物体A受到的摩擦力大小不变
【答案】D
【详解】当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，B靠指向圆心的静摩擦力和拉力的合力提供向心力，所以烧断细线后，A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是B所需要的向心力小于B的最大静摩擦力，所以B仍保持相对圆盘静止状态，做匀速圆周运动，且静摩擦力比绳子烧断前减小。
故选D。
4．应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入。例如你用手掌平托一苹果，保持这样的姿势在竖直平面内按顺时针方向做匀速圆周运动。在苹果从最低点a到最左侧点b运动的过程，下列说法中正确的是（ ）
A．手掌对苹果的摩擦力越来越大 B．苹果先处于超重状态后处于失重状态
C．手掌对苹果的支持力越来越大 D．苹果所受的合外力越来越大
【答案】A
【详解】A．苹果从最低点a到最左侧点b运动的过程中，加速度大小不变，加速度在水平方向上的分加速度逐渐增大，由牛顿第二定律可知，手掌对苹果的摩擦力越来越大，A正确；
B．苹果做匀速圆周运动，从a到b的运动中，加速度在竖直方向上有向上的分加速度，可知苹果处于超重状态，B错误；
C．苹果做匀速圆周运动，从a到b的运动中，加速度大小不变，加速度在竖直方向上的分加速度逐渐减小，可知手掌对苹果的支持力越来越小，C错误；
D．苹果做匀速圆周运动，加速度大小不变，则有苹果所受的合外力大小不变，方向始终指向圆心，D错误。
故选A。
5．如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为和，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A与B所受摩擦力f的大小与的大小关系图像如图乙所示，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，因为物体A和B分居圆心两侧，与圆心距离分别为和，两个物体都没滑动之前，都受静摩擦力的作用，与成正比，由于B物体到圆心的距离大，故B物体先达到滑动摩擦力，摩擦力大小不变为
角速度达到后绳子出现拉力，在角速度为时，设绳子拉力为T，对B有
对A有，解得
故选D。
6．（多选）《流浪地球2》中太空电梯非常吸引观众眼球。太空电梯通过超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与配重空间站，它们随地球以同步静止状态一起旋转，如图所示。图中配重空间站距地面距离为，为地球半径，地球自转周期为，重力加速度为，则（ ）
A．配重空间站速度大小为
B．若缆绳断裂，空间站做离心运动，被甩出去
C．若太空电梯与货物停留在如图位置，则电梯内的货物处于完全失重状态
D．配重空间站的线速度大于同步卫星的线速度
【答案】BD
【详解】A．配重空间站绕地心转动的周期与地球自转的周期相同，配重空间站速度大小为，故A错误；
B．若配重空间站没有缆绳连接，由万有引力提供向心力得，
地面的物体受到的万有引力等于重力，则，解得
由于，若缆绳断裂，空间站做离心运动，被甩出去，故B正确；
C．以周期运行时，同步卫星轨道上物体万有引力提供向心力，处于完全失重状态；有，，
由题知货物停留在位置运行半径小于同步卫星运行半径，即半径减小，则万有引力大于所需向心力，电梯内的货物不会处于完全失重状态，故C错误；
D．由图知配重空间站运行半径大于同步卫星运行半径，由角速度与线速度关系可知，角速度相同，则配重空间站的线速度大于同步卫星的线速度，故D正确。
故选BD。
7．（多选）智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为，绳长为，悬挂点到腰带中心点的距离为。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度取，，下列说法正确的是（ ）
A．匀速转动时，配重受到的合力恒定不变
B．若增大转速，腰带受到的合力不变
C．当稳定在时，配重的角速度为
D．当由缓慢增加到的过程中，绳子对配重做正功
【答案】CD
【详解】A．匀速转动时，配重做匀速圆周运动，合力大小不变，但方向在变化，故A错误；
B．运动过程中腰带可看作不动，所以腰带合力始终为零，故B错误；
C．对配重，由牛顿第二定律
即
当稳定在37°时，解得，故C正确；
D．由C中公式可知，当稳定在53°时，角速度大于稳定在37°时的角速度，配重圆周半径也增大，速度增大，动能增大，同时高度上升，重力势能增大，所以机械能增大；由功能关系，由37°缓慢增加到53°的过程中，绳子对配重做的功等于配重机械能的增加量，所以绳子对配重做正功，故D正确。
故选CD。
8．（多选）如图所示，倾角的斜面固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点A在转轴上。转台以角速度匀速转动时，将质量为m的小物块（可视为质点）放置于斜面上，经过一段时间后小物块与斜面一起转动且相对斜面静止在线上，此时小物块到A点的距离为L。已知小物块与斜面之间动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，。则物块相对斜面静止时（ ）
A．小物块对斜面的压力大小不小于
B．小物块对斜面的压力大小不大于
C．水平转台转动角速度应不小于
D．水平转台转动角速度应不大于
【答案】AC
【详解】当角速度最小时，物块恰好不下滑，受力分析如图1所示
轴方向根据平衡条件得
轴方向根据牛顿第二定律得
又，联立解得，
当角速度最大时，物块恰好不上滑，受力分析如图2所示
轴方向根据平衡条件得
轴方向根据牛顿第二定律得
又
联立解得，
由上分析可知，角速度取值范围为
小物块对斜面的压力大小，取值范围为。
故选AC。
9．（多选）如图所示，倾斜圆盘圆心处固定有与盘面垂直的细轴，盘面上沿同一直径放有质量均为m的A、B两物块（可视为质点），分别用两根平行圆盘的不可伸长的轻绳与轴相连。物块A、B与轴的距离分别为2L和L，与盘面的动摩擦因数均为，盘面与水平面的夹角为。圆盘静止时，两轻绳无张力处于自然伸直状态。当圆盘以角速度匀速转动时，物块A、B始终与圆盘保持相对静止。当物块A转到最高点时，A所受绳子的拉力刚好为零，B所受的摩擦力刚好为最大静摩擦力。已知重力加速度为g。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（ ）
A．
B．运动过程中绳子对A拉力的最大值为
C．运动过程中B所受摩擦力的最小值为
D．物块B从最低点运动到最高点的过程中摩擦力的冲量大小为
【答案】AC
【详解】A．对A、B受力分析，A在最高点由牛顿第二定律有
B在最低点，由牛顿第二定律有，联立解得，故A正确；
B．运动过程中，当A到最低点时，所需的拉力最大设为，由牛顿第二定律有，代入数据解得，故B错误；
C．运动过程中，当B到最高点时，所需的摩擦力最小设为，由牛顿第二定律有，联立解得，故C正确；
D．由A中公式和结论可得，则B的线速度大小为
B从最低点运动到最高点的过程中，合外力的冲量为
由于B受的重力、支持力、绳的拉力合力不为零，故物块B从最低点运动到最高点的过程中摩擦力的冲量大小不等于，D错误。
故选AC。
10．游戏是家长和孩子之间进行有效交流的方式之一，通过游戏的形式，能增进家长和孩子间的情感交流，同时家长在游戏中的机智表现又能促使孩子的心智和情感得到进一步的发展。如图甲家长抓住孩子的双手，使孩子离开地面做圆周运动，可以简化为长为的细线，拴一质量为的小球，一端固定于点，让小球在水平面内做匀速圆周运动的模型，如图乙所示。已知重力加速度为，当细线与竖直方向的夹角为时。求：
（1）小球做圆周运动的半径及细线产生的拉力的大小；
（2）当小球的角速度变化时，推导角速度随变化的关系式。
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）由图可知，对小球进行受力分析，可得，，
（2）对小球由牛顿第二定律得，解得
【高考通关练】
1．（2021·北京·高考真题）如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，小物体由P点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的是（ ）
A．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B．圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为
C．圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D．圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为
【答案】D
【详解】A．圆盘停止转动前，小物体随圆盘一起转动，小物体所受摩擦力提供向心力，方向沿半径方向，故A错误；
B．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力
根据动量定理得，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量为，大小为0，故B错误；
C．圆盘停止转动后，小物体沿切线方向运动，故C错误；
D．圆盘停止转动后，根据动量定理可知，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量为，大小为，故D正确。
故选D。
2．（2021·全国·高考真题）“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为（ ）
A．10m/s2 B．100m/s2 C．1000m/s2 D．10000m/s2
【答案】C
【详解】纽扣在转动过程中
由向心加速度
故选C。
3．（2023·上海·统考高考真题）假设月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，月球到地心的距离为r，则月球的线速度v=_____________；若已月球的质量为m，则地球对月球的引力F = _____________。
【答案】
【详解】[1]根据角速度和周期的关系有
再根据线速度和角速度的关系有
[2] 月球绕地球做匀速圆周运动有
4．（2022·福建·高考真题）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作要领。短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前用时。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为的匀速圆周运动，速度大小为。已知武大靖的质量为，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取，、、、）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设武大靖运动过程的加速度大小为，根据
解得
（2）根据
解得过弯时所需的向心力大小为
（3）设场地对武大靖的作用力大小为，受力如图所示
根据牛顿第二定律可得
解得
可得
5．（2022·辽宁·高考真题）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。
（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度时，滑过的距离，求加速度的大小；
（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为，滑行速率分别为，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
【答案】（1）；（2），甲
【详解】（1）根据速度位移公式有
代入数据可得
（2）根据向心加速度的表达式
可得甲、乙的向心加速度之比为
甲、乙两物体做匀速圆周运动，则运动的时间为
代入数据可得甲、乙运动的时间为，
因，所以甲先出弯道。
()
专题13 圆周运动
题型 选择题 命题趋势和备考策略
高考考点 圆周运动动力学分析；圆周运动动力学分析；圆周运动的临界问题 【命题规律】 近3年新高考卷对于本专题考查共计14次，主要考查： 圆周运动运动学和动力学分析； 2. 水平面和竖直面内的圆周运动； 3. 圆周运动的临界问题； 【备考策略】 理解匀速圆周运动的概念，向心力的来源，掌握匀速圆周运动的八个物理量；掌握从运动学和动力学的角度分析圆周运动，并利用所学知识去解释与实际生产相关的圆周运动；注重理解圆周运动和平抛运动相结合的综合性题型的训练，注重圆周运动与电场和磁场相结合的综合性题型的训练。 【命题预测】 本节内容在2021——2023年的各省高考卷中出现频率适中，预测在2024年大概有4-6套高考会出现本节内容。2024年考生需要引起重视，注重基础概念、规律的理解、注重与实际生产相结合的题型练习，多关系时政热点，本节内容常常还会与天体运动结合在一起考察，属于每套高考卷的必考内容。
新高考 2023 全国甲卷17题、上海卷14题、湖南卷8题、江苏卷13题、北京卷10题、河北卷8题
2022 福建卷12题、辽宁卷13题、河北卷12题、上海卷6题
2021 广东4题、全国甲卷15题、河北卷9题、北京10题
【导航窗口】
知识梳理
一、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 2
二、匀速圆周运动的向心力 3
三、离心现象 3
考点突破
考点一 圆周运动的分析 3
角度1：圆周运动的运动学分析 4
角度2：圆周运动的动力学分析 4
考点二 水平面内圆周运动的临界问题 5
考点三 竖直面内的圆周运动 7
考点四 斜面上圆周运动的临界问题 9
考点过关
【素质基础练】 11
【能力提高练】 14
【高考通关练】 19
一、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长 ，就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向 ，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与 方向垂直且指向圆心．
2．描述匀速圆周运动的物理量
定义、意义 公式、单位
线速度 描述做圆周运动的物体运动 的物理量(v) (1)v＝＝ (2)单位：m/s
角速度 描述物体绕圆心 的物理量(ω) (1)ω＝＝ (2)单位：rad/s
周期 物体沿圆周运动 的时间(T) (1)T＝＝，单位：s (2)f＝，单位：Hz
向心加 速度 (1)描述速度 变化快慢的物理量(an) (2)方向指向 (1)an＝＝rω2 (2)单位：m/s2
【深度思考】如图所示为一辆自行车传动装置的结构图．
(1)同一齿轮上到转轴距离不同的各点的线速度、角速度是否相同？
(2)两个齿轮相比较，其边缘的线速度是否相同？角速度是否相同，转速是否相同？
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的 ，不改变速度的
2．大小
F＝m＝ ＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始终沿半径方向指向 ，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的 提供，还可以由一个力的 提供．
三、离心现象
1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需 的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周 飞出去的趋势．
3．受力特点
当F＝ 时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿 方向飞出；
当F< 时，物体逐渐远离圆心．
考点一 圆周运动的分析
1．圆周运动中的运动学分析
(1)对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比．
(2)对a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
2．圆周运动中的动力学分析
(1)向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
(2)向心力的确定
①确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
②分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
角度1：圆周运动的运动学分析
【例1】（2023·全国·统考高考真题）一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（2023·甘肃甘南·校考三模）如图是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（2023·全国·三模）如图是家里走时精确的时钟，设时针与分针的长度之比为，则下列说法正确的是（ ）
A．时针、分针针尖的角速度之比为
B．时针、分针针尖的线速度之比为
C．时针、分针针尖的向心加速度之比为
D．从3:00开始计时，时针、分针经过将第一次重合
角度2：圆周运动的动力学分析
【典例】（多选）（2023·广东·统考高考真题）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端点时速度大小为。已知货物质量为，滑道高度为，且过点的切线水平，重力加速度取。关于货物从点运动到点的过程，下列说法正确的有（ ）
A．重力做的功为 B．克服阻力做的功为
C．经过点时向心加速度大小为 D．经过点时对轨道的压力大小为
【变式】（2023·河北·校联考模拟预测）拉球转身动作是篮球运动中的难点，如图甲所示为篮球爱好者拉球转身的一瞬间，由于篮球规则规定手掌不能上翻，我们将此过程理想化为如图乙所示的模型：薄长方体代表手掌，转身时球紧贴竖立的手掌，绕着转轴（中枢脚所在直线）做圆周运动。假设手掌和球之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，篮球质量为m，直径为D，手掌到转轴的距离为d，重力加速度为g，则要顺利完成此转身动作，下列说法正确的是（ ）
A．篮球线速度至少为 B．手掌和篮球之间的作用力至少为
C．若篮球的速度为，则篮球会和手掌分离 D．篮球的速度越大，手掌和球之间的摩擦力越大
考点二 水平面内圆周运动的临界问题
水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。
1．如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。
2．如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
常见 情境 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件：物体与转盘之间恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳的拉力出现临界条件：绳恰好拉直（此时绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零
解题 思路 （1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。 （2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。 （3）当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解
【例3】（2023·江苏·统考高考真题）“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小和受到的静摩擦力大小f。
1．在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势．这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)．
2．三种临界情况：
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0.
【变式】（2023秋·广东茂名·高三茂名市第一中学校考开学考试）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块a和b放在水平转盘上，两者用细线连接，两木块与转盘间的动摩擦因数相同，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，且木块a，b与转盘中心在同一条水平直线上。当圆盘转动到两木块刚好还未发生滑动时，烧断细线，关于两木块的运动情况，以下说法正确的是（ ）
A．两木块仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
B．木块b发生滑动，离圆盘圆心越来越近
C．两木块均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
D．木块a仍随圆盘一起做匀速圆周运动
考点三 竖直面内的圆周运动
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
轻绳模型 轻杆模型
实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示 最高点无支撑 最高点有支撑
最 高 点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件 v≥ v≥0
速度和弹力关 系讨论分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0
【例4】（多选）（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
[变式1]（2023秋·河南三门峡·高三灵宝市第一高级中学校考开学考试）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）求球落地时的速度大小；
（2）绳能承受的最大拉力为多大？
（3）绳能承受的最大拉力与第（2）小问结果相同的情况下，改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，求球抛出的最大水平距离。
考点四 斜面上圆周运动的临界问题
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制(图甲)、轻绳控制(图乙)、轻杆控制(图丙)，物体的受力情况和临界条件也不相同。
由于重力沿斜面的分力，在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动摩擦力。
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
1.解题关键——重力的分解和视图
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。
（2023春·安徽六安·高一六安一中校考期中）如图所示，一倾角为θ＝30°的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一轻绳的一端固定在斜面上的O点，另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，整个过程中斜劈静止，下列说法正确的是（ ）
A．小球在顶端时，速度大小为
B．小球在底端时，速度大小为
C．小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变
D．小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
（2023·广东·模拟预测）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，每面上有一质量为的小物体与圆盘始终保持相对静止，盘面与水平面的夹角为30°，重力加速度大小为，已知物体在最高点受到的摩擦力的大小为，则物体在最低点受到的摩擦力的大小为（ ）
A． B． C． D．
考点过关
【素质基础练】
1．（2023·湖南衡阳·衡阳县第三中学校考模拟预测）夏天人们常用蚊香来驱除蚊虫。如图所示，蚊香点燃后缓慢燃烧，若某滑冰运动员（可视为质点）的运动轨迹与该蚊香燃点的轨迹类似，运动的速率保持不变，则该运动员（ ）
A．线速度不变 B．角速度变大
C．向心加速度变小 D．运动一圈（）所用时间保持不变
2．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示一个半径为r质量均匀的圆盘套在光滑固定的水平转轴上，一根轻绳绕过圆盘，两端分别连接着物块A和B，A放在地面上，B用手托着，A、B均处于静止，此时B离地面的高度为7r，圆盘两边的轻绳沿竖直方向伸直，A和圆盘的质量均为m，B的质量为2m，快速撤去手，在物块B向下运动的过程中。绳子始终与圆盘没有相对滑动，已知圆盘转动的动能为，其中ω为圆盘转动的角速度，则物块A上升到最高点时离地面的高度为（ ）（A上升过程中未与圆盘相碰）
A．7r B．8r C．9r D．10r
3．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考三模）如图所示，轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球A、B，放置在光滑水平桌面上，杆上O点有一竖直方向的固定转动轴，A、B的质量之比，A、B到O点的距离之比。当轻杆绕轴匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A．A对杆的作用力大小等于B对杆的作用力大小 B．A的向心加速度大小大于B的向心加速度大小
C．A的动能等于B的动能 D．A的周期小于B的周期
4．（2023·上海静安·统考二模）稳定运行的空间站中，有如图所示的装置：甲、乙两个光滑圆形轨道安置在同一竖直平面内，甲的半径更小，轨道之间有一条粗糙的水平轨道CD相通。一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过CD段后滑上乙轨道，最后离开圆轨道。不计空间站内的空气阻力，若小球经过甲、乙最高点时的速度为v甲、v乙，与轨道间的弹力为FN甲、FN乙，则（ ）
A．v甲 > v乙，FN甲 >FN乙 B．v甲 > v乙，FN甲
5．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）如图所示，火车轨道转弯处外高内低，当火车行驶速度等于规定速度时，所需向心力仅由重力和轨道支持力的合力提供，此时火车对内，外轨道无侧向挤压作用。已知火车内，外轨之间的距离为1435mm，高度差为143.5mm，转弯半径为400m，由于内.外轨轨道平面的倾角θ很小，可近似认为sinθ=tanθ，重力加速度g取10m/s2，则在这种情况下，火车转弯时的规定速度为（ ）
A．36km/h B．54km/h C．72km/h D．98km/h
6．（2023·江西上饶·校联考二模）如图所示，质量为m的小球（可视为质点）用长为l的轻质细线悬于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轨迹圆圆心为O，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．细线与竖直方向夹角为时，小球运动的角速度大小为
B．保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离不变时，细线越长，小球运动的周期越短
C．保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离不变时，细线越长，小球运动的周期越长
D．保持细线与竖直方向夹角不变时，细线越短，小球运动的角速度越大
7．（2023·河北·统考一模）如图所示，光滑水平板开有小孔，顶角的光滑圆锥的顶点紧靠着小孔，圆锥的高位于竖直面。质量相同的小球用穿过小孔的轻绳连接，两球分别位于水平板和圆锥侧面上。为了保证小球Q的高度不变且刚好不脱离圆锥面，让两小球分别做匀速圆周运动。重力加速度为g，则小球P、Q做匀速圆周运动的向心加速度的差值为（ ）
A． B． C．0 D．
8．（多选）（2023·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）2022年2月5日，由曲春雨、范可新、张雨婷、武大靖、任子威组成的短道速滑混合接力队夺得中国在本次冬奥会的首枚金牌如图所示，若将武大靖在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，弯道半径为R，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）
A．武大靖转弯时速度的大小为
B．武大靖转弯时速度的大小为
C．若武大靖转弯速度变大则需要增大蹬冰角
D．若武大靖转弯速度变大则需要减小蹬冰角
9．（多选）（2023·湖南永州·湖南省道县第一中学校考模拟预测）滚筒洗衣机静止于水平地面上，衣物随着滚筒一起在竖直平面内做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果，滚筒截面如图所示，A点为最高点，B点为最低点，CD为水平方向的直径，下列说法正确的有（ ）
A．衣物运动到A点时处于超重状态
B．衣物运动到B点时脱水效果最好
C．衣物运动到C点或D点时，洗衣机对地面的摩擦力不为零
D．衣物在B点时，洗衣机对地面的压力等于洗衣机的重力
10．（多选）（2023·福建泉州·统考三模）国产科幻大片《流浪地球2》中的“太空电梯”给观众带来了强烈的视觉震 。如图所示，“太空电梯”由地面基站、缆绳、箱体、同步轨道上的空间站和配重组成，缆绳相对地面静止，箱体可以沿缆绳将人和货物从地面运送到空间站。下列说法正确的是（ ）
A．地面基站可以建设在青藏高原上
B．配重的线速度小于同步空间站的线速度
C．箱体在上升过程中受到地球的引力越来越小
D．若同步空间站和配重间的缆绳断开，配重将做离心运动
【能力提高练】
1．如图甲，辘轱是古代民间提水设施，由辘轱头、支架、井绳、水斗等部分构成，如图乙为提水设施工作原理简化图，某次从井中汲取m=2kg的水，辘轱绕绳轮轴半径为r=0.1m，水斗的质量为0.5kg，井足够深且并绳的质量忽略不计，t=0时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动向上提水桶，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g取10m/s2，则（ ）
A．水斗速度随时间变化规律为（所涉及物理量均用国际单位制）
B．井绳拉力大小恒定，其值为25N
C．0~10s内水斗上升的高度为4m
D．0~10s内井绳拉力所做的功为255J
2．在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图。假设泼水过程中杯子做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．P位置的小水珠速度方向沿a方向 B．P、Q两位置，杯子的向心加速度相同
C．从Q到P，杯子速度变化量为零 D．从Q到P，杯子所受合外力做功为零
3．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着质量相等的两个物体A和B，通过细线相连，B放在转轴的圆心上，它们与圆盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。现逐渐增大圆盘的转速，当圆盘转速增加到两物体刚要发生滑动时烧断细线，则（ ）
A．物体A沿半径方向滑离圆盘 B．物体A沿切线方向滑离圆盘
C．物体A仍随圆盘一起做圆周运动 D．物体A受到的摩擦力大小不变
4．应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入。例如你用手掌平托一苹果，保持这样的姿势在竖直平面内按顺时针方向做匀速圆周运动。在苹果从最低点a到最左侧点b运动的过程，下列说法中正确的是（ ）
A．手掌对苹果的摩擦力越来越大 B．苹果先处于超重状态后处于失重状态
C．手掌对苹果的支持力越来越大 D．苹果所受的合外力越来越大
5．如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为和，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A与B所受摩擦力f的大小与的大小关系图像如图乙所示，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）《流浪地球2》中太空电梯非常吸引观众眼球。太空电梯通过超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与配重空间站，它们随地球以同步静止状态一起旋转，如图所示。图中配重空间站距地面距离为，为地球半径，地球自转周期为，重力加速度为，则（ ）
A．配重空间站速度大小为
B．若缆绳断裂，空间站做离心运动，被甩出去
C．若太空电梯与货物停留在如图位置，则电梯内的货物处于完全失重状态
D．配重空间站的线速度大于同步卫星的线速度
7．（多选）智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为，绳长为，悬挂点到腰带中心点的距离为。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度取，，下列说法正确的是（ ）
A．匀速转动时，配重受到的合力恒定不变
B．若增大转速，腰带受到的合力不变
C．当稳定在时，配重的角速度为
D．当由缓慢增加到的过程中，绳子对配重做正功
8．（多选）如图所示，倾角的斜面固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点A在转轴上。转台以角速度匀速转动时，将质量为m的小物块（可视为质点）放置于斜面上，经过一段时间后小物块与斜面一起转动且相对斜面静止在线上，此时小物块到A点的距离为L。已知小物块与斜面之间动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，。则物块相对斜面静止时（ ）
A．小物块对斜面的压力大小不小于 B．小物块对斜面的压力大小不大于
C．水平转台转动角速度应不小于 D．水平转台转动角速度应不大于
9．（多选）如图所示，倾斜圆盘圆心处固定有与盘面垂直的细轴，盘面上沿同一直径放有质量均为m的A、B两物块（可视为质点），分别用两根平行圆盘的不可伸长的轻绳与轴相连。物块A、B与轴的距离分别为2L和L，与盘面的动摩擦因数均为，盘面与水平面的夹角为。圆盘静止时，两轻绳无张力处于自然伸直状态。当圆盘以角速度匀速转动时，物块A、B始终与圆盘保持相对静止。当物块A转到最高点时，A所受绳子的拉力刚好为零，B所受的摩擦力刚好为最大静摩擦力。已知重力加速度为g。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（ ）
A．
B．运动过程中绳子对A拉力的最大值为
C．运动过程中B所受摩擦力的最小值为
D．物块B从最低点运动到最高点的过程中摩擦力的冲量大小为
10．游戏是家长和孩子之间进行有效交流的方式之一，通过游戏的形式，能增进家长和孩子间的情感交流，同时家长在游戏中的机智表现又能促使孩子的心智和情感得到进一步的发展。如图甲家长抓住孩子的双手，使孩子离开地面做圆周运动，可以简化为长为的细线，拴一质量为的小球，一端固定于点，让小球在水平面内做匀速圆周运动的模型，如图乙所示。已知重力加速度为，当细线与竖直方向的夹角为时。求：
（1）小球做圆周运动的半径及细线产生的拉力的大小；
（2）当小球的角速度变化时，推导角速度随变化的关系式。
【高考通关练】
1．（2021·北京·高考真题）如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，小物体由P点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的是（ ）
A．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B．圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为
C．圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D．圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为
2．（2021·全国·高考真题）“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为（ ）
A．10m/s2 B．100m/s2 C．1000m/s2 D．10000m/s2
3．（2023·上海·统考高考真题）假设月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，月球到地心的距离为r，则月球的线速度v=_____________；若已月球的质量为m，则地球对月球的引力F = _____________。
4．（2022·福建·高考真题）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作要领。短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前用时。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为的匀速圆周运动，速度大小为。已知武大靖的质量为，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取，、、、）
5．（2022·辽宁·高考真题）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。
（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度时，滑过的距离，求加速度的大小；
（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为，滑行速率分别为，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
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