2022-2023学年四川省宜宾市叙州区育才中学九年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的算术平方根是( )
A. B. C. D.
2. 如果代数式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 某新型冠状病毒的直径是米，将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 若与是同一个数的平方根，则的值是( )
A. B. C. D. 或
6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7. 已知，，下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，下列哪组条件不能判定四边形是平行四边形( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，下列四种说法：
四边形是平行四边形；
如果，那么四边形是矩形；
如果平分，那么四边形是菱形；
如果，且，那么四边形是正方形．
其中，正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11. 下列说法中不正确的是( )
A. 函数的图象经过原点 B. 函数的图象位于第一、三象限
C. 函数的图象不经过第二象限 D. 函数的值随值增大而增大
12. 如图，是正方形的对角线上任意一点，于点，于点，连接有下列结论：
；
；
一定是等腰三角形；
；
．
其中，正确结论的序号是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 已知、为两个连续的整数，且，则______．
14. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是
15. 已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，此三角形的周长是______．
16. 年“新冠肺炎”疫情中，某厂家接到一份生产件防护服的订单，由于疫情紧急，防护服的需求量呈上升趋势，又接到生产件防护服的订单工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产件，实际完成生产任务的天数是原计划天数的倍设原计划每天生产件防护服根据题意得方程______ ．
17. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，已知，，则 ______ ．
18. 如图，是 的边的垂直平分线，垂足点为点，与的延长线交于点，连结，，，则下列结论：；四边形是菱形；；，其中正确的结论有______ 填写所有正确结论的序号．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 已知，，求下列代数式的值：
；
．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
计算：；
化简：；
解方程：．
21. 本小题分
如图，在 中，是边的中点，直线交的延长线于点．
求证：≌；
连结、，求证：．
22. 本小题分
年“新冠肺炎”疫情中，某药房从市场得知如下信息：
型口罩 型口罩
进价元个
售价元个
该药房计划用万元资金一次性购进这两种型号口罩共个，设该药房购进型口罩个，这两种型号口罩全部销售完后获得利润为元．
求与之间的函数表达式，并写出的取值范围；
怎样进货，该药房可获利最大？最大利润是多少元？
23. 本小题分
阅读下面问题：
；
；
．
求的值；
计算：．
24. 本小题分
如图，已知反比例数的图象与一次函数的图象相交于点，，过点作轴于点，过点作轴于点，连结．
求反比例函数和一次函数的解析式；
观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围；
求四边形的面积．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上以每秒个单位长度的速度由点向点运动．
当为何值时，四边形是平行四边形？
在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
当为等腰三角形时，写出点的坐标请直接写出答案，不必写过程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的算术平方根是，
的算术平方根是，
故选：．
先求出的值是，再求的算术平方根即可．
本题考查了算术平方根，准确区分平方根与算术平方根是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：要使代数式有意义，
必须，
解得：．
故选：．
根据二次根式的意义得出，根据分式得出，即可得出，求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式中，二次根式中．
3.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】
解：因为点的横坐标为正，纵坐标为负，
所以点在第四象限．
故选D
5.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，．
故选：．
依据平方根的性质列方程求解即可．
本题主要考查的是平方根的性质，明确与相等或互为相反数是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，，
．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出、、的值，然后比较大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
7.【答案】
【解析】解：，，
A.，选项A符合题意；
B.，选项B不符合题意；
C.，选项C不符合题意；
D.，选项D不符合题意；
故选：．
根据题目意思，找出题中规律即可求解．
本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
由四边形是平行四边形，可得，，，得，又由平分，可得，根据等角对等边，可得，所以求得，问题得解．
此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理．注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形．
9.【答案】
【解析】解：根据平行四边形的判定，、、均符合是平行四边形的条件，则不能判定是平行四边形．
故选：．
平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
10.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，选项正确；
若，
平行四边形为矩形，选项正确；
若平分，
，
又，
，
，
，
平行四边形为菱形，选项正确；
若，，
平分，
同理可得平行四边形为菱形，选项错误，
则其中正确的个数有个．
故选：．
先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据，，得出为平行四边形，得出正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出正确；由，，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，错误，进而得到正确说法的个数．
此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质．
11.【答案】
【解析】解：、函数是正比例函数，
函数的图象经过原点，
故A正确，不符合题意；
B、，
函数的图象位于第一、三象限，
故B正确，不符合题意；
C、，，
函数的图象经过第一、三、四象限，
故C正确，不符合题意；
D、，
当或时，函数的值随值增大而增大，
故D错误，符合题意．
故选：．
利用正比例函数、一次函数及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了正比例函数、一次函数及反比例函数的性质，属于函数的基础性知识，解题的关键是了解有关函数的性质，难度不大．
12.【答案】
【解析】解：过作于点，
点是正方形的对角线上一点，
，
在中，，
，
，
同理，得
，
，
，，
，
≌，
；
，
延长到上于一点，
，
，
，即；
点是正方形的对角线上任意一点，度，
当度或度或度时，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，故错误．
，
，
又，
，
，
在中，，
．
其中正确结论的序号是．
故选：．
过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明≌后即可证明；；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在中，，求得．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
13.【答案】
【解析】解：，、为两个连续的整数，
，
，，
．
故答案为：．
根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出，的值，即可得出答案．
此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是：．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
15.【答案】或
【解析】解：、有意义，
，
，
，
当为腰时，三角形的周长为：；
当为腰时，三角形的周长为：，
故答案为：或．
根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得的值，继而得出的值，然后代入运算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，注意掌握二次根式有意义：被开方数为非负数．
16.【答案】
【解析】解：设原计划每天生产件防护服，则原计划天完成，
依题意得．
故答案为：．
设原计划每天生产件防护服，实际每天生产了件，根据实际完成生产任务的天数是原计划天数的倍为等量关系建立方程即可．
本题是一道工程问题的运用题，考查了列分式方程解实际问题的运用，根据实际完成生产任务的天数是原计划天数的倍为等量关系建立方程是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
即：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即：，
，
故答案为：．
由菱形面积对角线积的一半可求，再由菱形的性质得出的长，由勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
垂直平分，
，，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确，
，
，故正确，
，，
，
，故正确，
四边形是平行四边形，
，，
垂直平分，
，，
，
四边形是菱形，
，
，，
，故错误；
故答案为：．
根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：，，
，
；
，，
，，
．
【解析】根据已知条件先计算出，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算；
根据已知条件先计算出，，再利用平方差公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：先根据二次根式的性质和运算法则进行化简，然后把满足条件的字母的值代入求值．
20.【答案】解：
；
；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
【解析】利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答；
先利用异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌；
证明：≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
．
【解析】利用中点定义可得，再用平行四边形的性质可得，然后根据可证明≌；
证明四边形是平行四边形即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
22.【答案】解：根据题意，该药房购进型口罩个，
得，解得为整数．
．
与之间的函数表达式为为整数．
为整数，
随的减小而增大，
当时值最大，的最大值为元．
该药房购进型口罩个、型口罩个可获利最大，最大利润是元．
【解析】该药房购进型口罩个．购进这两种口罩所需资金不超过万元，据此可列不等式并求解，得到的取值范围，再根据题意写出关于的函数表达式即可；
根据关于的函数表达式及的取值范围，分析判断随的变化情况，确定当为何值时值最大，并求出其最大值．
本题考查一次函数的应用，求出的取值范围和关于的函数表达式是本题的关键．
23.【答案】解：原式；
原式．
【解析】原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果；
原式各项变形后，抵消合并即可得到结果．
此题考查了分母有理化，弄清分母有理化的方法是解本题的关键．
24.【答案】解：将点坐标代入反比例函数表达式得，
．
故反比例函数的表达式为．
又点也在反比例函数图象上，
所以，．
故A．
将，两点坐标代入得，
，解得．
所以一次函数表达式为．
观察图象可知，
当和时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
所以一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围是：或．
延长和，相交于点，
因为轴，轴，
所以．
又，，
所以，．
所以，
，
则．
所以四边形的面积为．
【解析】先将点坐标代入反比例函数表达式求出，再将点坐标代入可确定点坐标，最后用待定系数法可求得一次函数的解析式．
利用数形结合的思想即可解决问题．
将四边形的面积转化为大三角形面积减去小三角形面积即可．
本题考查反比例函数和一次函数图象的交点问题，利用数形结合的思想和转化思想是解题的关键．
25.【答案】解：如图：
四边形是平行四边形，
，
，
；
存在一点，使得四边形为菱形，
如图，
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，，
，
点坐标为：；
如图，当时，由勾股定理可以求得，
时，作，
；
当时，作，由勾股定理，得，
；
当时，作，由勾股定理，得，
．
，，，．
【解析】根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值；
要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值和点的坐标；
当或或或时分别作于，于，于，利用勾股定理求得，，，的值，就可以求出的坐标．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．
