第3讲 二次函数与一元二次方程、不等式（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
2．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·高一课时练习）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）对，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2023·全国·高三专题练习）设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·高一单元测试）若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
8．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中学校考开学考试）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，都有”
B．当时，的最小值是5
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充要条件
三、填空题
9．（2023春·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
10．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式在内有解，则的取值范围为 ．
11．（2023秋·高一课时练习）若实数x、y满足，则的最大值是 ．
四、解答题
12．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
13．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）设：实数满足，．
(1)若，且，都为真命题，求的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
14．（2023春·河南开封·高一校考期末）已知关于的不等式，
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，， B．，，
C．，， D．
2．（2023春·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023秋·湖南湘潭·高一湘潭县一中校考期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·吉林长春·高二长春市第五中学校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若关于的不等式的解集为，则
D．若，则“”是“”的必要不充分条件
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
四、解答题
7．（2023秋·湖南娄底·高一校考期末）设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．
(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；
(2)若f(1)=2，
①a＞0，b＞0，求的最小值；
②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共1页
【练创新】
一、多选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．当时，函数的最大值为
C．关于的不等式的解为或
D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则
二、填空题
2．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考开学考试）若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 .
三、解答题
3．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知不等式的解集为
(1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.
【练基础】
参考答案：
1．A
【分析】根据二次不等式的解法求解即可.
【详解】可化为，
即，即或．
所以不等式的解集为或.
故选：A
2．C
【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.
【详解】由得 ，
若，则不等式无解．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
综上，满足条件的的取值范围是
故选：C．
3．D
【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.
【详解】∵，且，
∴，
当且仅当时取等号，∴，
由恒成立可得，
解得：，
故选：D.
4．A
【分析】对讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到的取值范围.
【详解】不等式对一切恒成立，
当，即时，恒成立，满足题意；
当时，要使不等式恒成立，
需，即有，
解得.
综上可得，的取值范围为.
故选：A.
5．C
【分析】根据不等式等价变形，转化为对勾函数在上的最值，即可求解.
【详解】由在上有解，得在上有解，
则，由于，而在单调递增，
故当时，取最大值为，故，
故选：C
6．C
【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出、，再解一元二次不等式即可.
【详解】解：因为不等式的解集是，
∴和是方程的两个实数根，
由，解得：，，
故不等式即，
即，即，解得：，
所以所求不等式的解集是：.
故选：C．
7．ABD
【分析】根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.
【详解】关于的不等式的解集为选项正确；
且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，
则，则，C选项错误；
不等式即为，解得选项正确；
不等式即为，即，解得或选项正确.
故选：.
8．ABC
【分析】利用特称命题的否定为全称命题可判断A，利用基本不等式可判断B，利用二次不等式的解法可判断C，利用充分条件必要条件定义可判断D.
【详解】对于A，命题“，使得”的否定是“，都有”故A正确；
对于B，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，由不等式的解集为，可知，∴，故C正确；
对于D，由“”可推出“”，由，可得或，推不出“”，故D错误.
故答案为：ABC.
9．
【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解.
【详解】由函数，且不等式的解集为，
即是方程两个实数根，
可得，解得，所以，
又由，且，
当时，函数取得最大值，最大值为，
因为对任意恒成立，即恒成立，
解得或，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
10．
【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.
【详解】在内有解，，其中；
设，则当时，，
，解得：，的取值范围为.
故答案为：.
11．
【分析】利用不等式求最值即可.
【详解】，解得，当时，取得最大值.
故答案为：.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；
（2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围
【详解】（1）因为不等式的解集是．
所以－1和3是方程的解，
把代入方程解得．经验证满足题意
（2）若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，
所以，
解得，所以m的取值范围是．
13．(1)；
(2)．
【分析】（1）解不等式确定命题，然后求出中范围的交集可得；
（2）求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解．
【详解】（1）时，，，即，又，而，都为真命题，所以；
（2），，
是的充分不必要条件，则且等号不能同时取得，所以．
14．（1）；（2）
【分析】（1）将代入不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解.
（2）根据关于的不等式的解集为．又因为 ，利用判别式法求解.
【详解】（1）将代入不等式，可得，即
所以和1是方程的两个实数根，
所以不等式的解集为
即不等式的解集为．
（2）因为关于的不等式的解集为．
因为
所以，解得，
故的取值范围为．
【练提升】
参考答案：
1．C
【分析】把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在，上恒成立，得到，求解关于的不等式组得得取值范围．
【详解】解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
2．A
【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，
故 ，
故选：A
3．C
【分析】由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
【详解】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．
故选：C
4．ABC
【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.
【详解】解：因为不等式的解集是，
所以，且，
所以所以，，，
故AC正确，D错误．
因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，
所以当时，，故B正确．
故选：ABC．
5．BC
【分析】A令判断即可；B作差法比较大小；C由一元二次不等式解集及根与系数关系求参数a、b即可；D令判断必要性是否成立.
【详解】A：时，错误；
B：，
而，则，故，
所以，即，正确；
C：由题设，可得，故，正确；
D：当时，而不成立，必要性不成立，错误.
故选：BC
6．
【分析】设不等式的解集为集合，不等式的解集为集合，根据题意可得，根据一元二次不等式的解法分别求出集合，从而可得出答案.
【详解】解：由，得或，即不等式的解集为或，
由，得，
若，则不等式的解为，此时不等式的解集为为，
若，则不等式的解集为或，
若，不等式的解集为或，
若“”是“”的必要不充分条件，
则，
则当时，不满足条件．
当时则满足，即，得，
当时，则满足，得，得，
综上实数的取值范围.
故答案为：.
7．(1)；
(2)①9；②
【分析】（1）由一元二次不等式的解得一元二次方程的解，利用根与系数关系列方程求解；
（2）由条件得，①利用基本不等式求最小值；②化简不等式为标准的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立可得．
【详解】（1）由题意的两根是和1且，
所以，解得．
（2）①，，
又，
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是9．
②由①得，，即，
的解集为R，时，不合题意，
所以，且，解得，
所以的范围是．
【练创新】
参考答案：
1．ACD
【分析】A选项，由开口方向，与轴交点，及对称轴，求出的正负，得到A正确；B选项，当时，数形结合得到函数随着的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合，化简不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到，求出.
【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故，
对称轴为，故，
图象与轴交点在轴正半轴，故，
所以，故，A正确；
B选项，因为，故，
因为，所以，
当时，随着的增大而减小，
所以时，取得最大值，最大值为，B错误；
C选项，因为，所以，
，
故不等式变形为，
因为，，解得：或，故C正确；
D选项，，当时，取得最小值，最小值为，
，当时，取得最小值，最小值为，
所以，即，所以，
即，故D正确.
故选：ACD
2．
【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果.
【详解】由，可得，
由题意当，即时，不等式的解集为；
若满足解集中仅有四个整数，为，则，
此时，与矛盾；
当时，即，不等式的解集为，不符合题意；
当，即时，不等式的解集为；
若满足解集中仅有四个整数，可能为，或，
当为时，则，且，无解，
当整数解为时，，且，
解得；
综上知，实数的取值范围是.
故答案为：
3．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据已知可得方程的2个根为2，3，由韦达定理解得，从而得不等式，结合不等式有且仅有10个整数解可得答案；
（2）分、、、、、讨论解不等式可得答案.
【详解】（1），原不等式等价于恒成立，
且的解集为，故方程的2个根为2，3，
故由韦达定理，
恒成立，
可得恒成立，所以，
解得，
，
故，
不等式有且仅有10个整数解，故，
所以的取值范围为；
（2）1 当时，由（1）得时，
，
即：，
①当时，原不等式解集为；
②当时，原不等式解集为；
③当时，原不等式解集为.
2 当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为，
由韦达定理：恒成立，
解得，
，
该不等式解集为或，
3 当时，
，则无解.
4 当时，
，则.
综上：当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
【点睛】方法点睛：本题体现了转化思想及分类讨论思想的应用，考查了含参数二次不等式的应用.
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第3讲 二次函数与一元二次方程、不等式（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
2．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·高一课时练习）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）对，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2023·全国·高三专题练习）设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·高一单元测试）若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
8．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中学校考开学考试）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，都有”
B．当时，的最小值是5
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充要条件
三、填空题
9．（2023春·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
10．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式在内有解，则的取值范围为 ．
11．（2023秋·高一课时练习）若实数x、y满足，则的最大值是 ．
四、解答题
12．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
13．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）设：实数满足，．
(1)若，且，都为真命题，求的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
14．（2023春·河南开封·高一校考期末）已知关于的不等式，
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，， B．，，
C．，， D．
2．（2023春·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023秋·湖南湘潭·高一湘潭县一中校考期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·吉林长春·高二长春市第五中学校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若关于的不等式的解集为，则
D．若，则“”是“”的必要不充分条件
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
四、解答题
7．（2023秋·湖南娄底·高一校考期末）设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．
(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；
(2)若f(1)=2，
①a＞0，b＞0，求的最小值；
②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．
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试卷第1页，共1页
【练创新】
一、多选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．当时，函数的最大值为
C．关于的不等式的解为或
D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则
二、填空题
2．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考开学考试）若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 .
三、解答题
3．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知不等式的解集为
(1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.
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