第1课时 探索勾股定理（练习）
一、单选题
【2022陕师大期末】
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．16，63，65 D．5，12，14
【2022汉滨中学期末】
2．下列各组数中满足勾股定理的是（ ）．
A．12，8，5 B．30，40，50
C．9，13，15 D．8，10，12
【2022西工大第三次检测】
3．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．20 B．40 C．80 D．100
【2022铁一中滨河】
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（ ）
A．20 B．12 C．2 D．2
【2022山大附中一模】
5．在中，、、的对应边分别是a、b、c，若，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【2022北京第二中学分校第一次检测】
6．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
【2022无锡市江南中学】
7．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．若的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【2022杜郎口中学期末】
8．如图，直线 l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为5和7，则正方形 B的面积为 ．
【2022杭州第十三中学】
9．已知△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为 ．
【2022西交大附中第一次测试】
10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 ．
三、解答题
【2022宁波市第七中学】
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝3，AB＝5，求BD的长．
【2022渭南高级中学】
12．如图在中，，点E，F分别在上，求证：．
参考答案：
1．C
【分析】根据勾股数的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：由勾股数都是为正整数，故可直接排除A、B选项，
对于C选项，由，符合勾股定理，故符合题意；
对于D选项，由可得不是勾股数，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数的概念是解题的关键．
2．B
【分析】若三边满足则符合勾股定理，逐一对选项进行判断即可．
【详解】A中，，所以不符合勾股定理，故错误；
B中，，所以符合勾股定理，故正确；
C中，，所以不符合勾股定理，故错误；
D中，，所以不符合勾股定理，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
3．A
【分析】直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．
【详解】解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，
又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，
即斜边的平方为，800÷2=400，
∴斜边长==20，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键．
4．B
【分析】根据勾股定理求出AC2，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=16-4=12，
则S2=AC2=12，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
5．C
【分析】由已知两角之和为90度，利用三角形内角和定理得到三角形为直角三角形，利用勾股定理即可得到结果．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴为直角三角形，
则根据勾股定理得：．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．C
【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．
【详解】解：由题可得，
图（2）比图（1）多出4个正方形，
图（3）比图（2）多出8个正方形， ；
图（4）比图（3）多出16个正方形， ；
图（5）比图（4）多出32个正方形， ；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；
故答案为：C．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
7．A
【分析】根据面积的和差关系表示出与，与的关系，再利用勾股定理即可得答案．
【详解】∵的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，
∴==，
=，
∵在Rt△ABC中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理及圆的面积公式；熟练掌握勾股定理，正确表示出各图形的面积关系是解题的关键．
8．74
【分析】证，推出，，则，，再证，代入求出即可．
【详解】解：如图，
正方形，的边长分别为5和7，
，，
由正方形的性质得：，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
正方形的面积为，
故答案为：74．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，证明．
9．84或36##36或84
【分析】分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，用勾股定理求出BD和CD的长，进而分别求出BC的长度，即可得到△ABC的面积．
【详解】解：当AD在三角形的内部时，如图1，
∵BC边上的高AD＝8，AB＝10，AC＝17，
∴在直角三角形ABD中，根据勾股定理，
得BD＝＝6，
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，
得CD＝＝15，
∴BC＝BD+CD＝15+6＝21，
∴△ABC的面积为×21×8＝84；
当AD在三角形的外部时，如图2，
∵BC边上的高AD＝8，AB＝10，AC＝17，
∴在直角三角形ABD中，根据勾股定理，
得BD＝＝6，
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，
得CD＝＝15，
∴BC＝CD－BD ＝15﹣6＝9，
∴△ABC的面积为×9×8＝36．
【点睛】此题考查了勾股定理、三角形的高和面积等知识，分情况讨论思想是解题的关键．
10．
【分析】过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CN⊥AE交AE的延长线于点N，证明BF＝CK，则AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴△AHC是等腰直角三角形，AH＝HC＝，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
过点C作CN⊥AE交AE的延长线于点N，
∵∠CKE＝∠KEN＝∠ENC＝90°，
∴四边形CKEN是矩形，
∴CK＝EN＝BF，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，AN和AC重合，AN最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
11．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由角平分线的性质得到DC＝DE，根据直角三角形全等的判定证得Rt△ADC≌Rt△ADE，由全等三角形的性质即可证得结论；
（2）由勾股定理求出BC，由（1）知DE＝DC，AE＝AC＝3，得到BE＝2，根据勾股定理求出DE，即可求得BD．
【详解】（1）证明：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE；
（2）解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝＝4，
由（1）知，DE＝DC，AE＝AC＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
在Rt△BDE中，BD＝BC﹣CD＝4﹣DE，
由勾股定理得：BD2＝BE2+DE2，
即（4﹣DE）2＝22+DE2，
解得：DE＝，
∴BD＝4﹣＝．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决问题的关键．
12．证明见解析
【分析】由勾股定理可得，，，，则有，，即可得到结论
【详解】
，均为直角三角形
在中，
在中，
在中，
在中，
【点睛】本题主要考查了勾股定理的简单应用，解题关键在于找出直角三角形，利用勾股定理求证．
