一元二次方程专题训练一
一、选择题(本大题共 10小题，每小题3分，共30分)
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( ).
A. x +x +x=0B. x =0
C.3x +2y-2=0
2. 一元二次方程x -2x+1=0的根的情况是( ).
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
3. 若a 是一元二次方程x -x-1=0的一个根，则-a +2a+2020的值为( ).
A.2020B.-2020
C.2019D.-2019
4. 用配方法解一元二次方程x -2x-9=0,配方后可变形为( ).
A.(x-1) =10B.(x+1) =10
C.(x-1) =-8D.(x+1) =-8
5. 方程2x(x-5)=6(x-5)的根是( ).
A. x=5B. x=-5
C. x =-5,x =3D. x =5,x =3
6. 若关于x的一元二次方程2x =3x+a没有实数根，则a的取值范围是( ).
7. 若等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a， b是关于x的一元二次方程.x -6x+n=0的两根，则n的值为( ).
A.8B.9C.8或9D.8或10
8. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至 2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元. 设2017年至2019年我国快递业务收入的年平均增长率为x，根据题意可列方程为( ).
A.5000(1+2x)=7500
B.5000×2(1+x)=7500
C.5000(1+x) =7500
D.5000+5000(1+x)+5000(1+x) =7500
9. 如图，在宽为20m、长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，草坪的面积为540m . 设道路的宽为xm，根据题意可列方程为( ).
A.32×20-32x-20x=540
B.(32-x)(20-x)=540
C.32x+20x=540
D.(32-x)(20-x)+x =540
10. 定义运算: a*b=2ab. 若a,b是关于x的一元二次方程x +x-m=0(m>0)的两个根,则(a+1)*b+2a的值为( ).
A. mB.2-2m
C.2m-2D.-2m-2
二、填空题(本大题共 6小题， 每小题3分， 共 18分)
11. 若关于x的方程 有实数根， 则k的取值范围是_.
12. 已知x ,x 是一元二次方程x -2x-1=0的两根，则 的值是_.
13. 若一元二次方程x -2x-3=0的两根分别是x ,x ,则 的值是_.
14. 设一元二次方程x -3x-2=0的两根分别为x ,x ,则以x ，x 为根的一元二次方程是_.
15. 若关于x的一元二次方程ax -x-0.25=0有两个不相等的实数根,则点P(a+1,-a-3)在第_象限.
16. 一个两位数的个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为_.
三、解答题(本大题共6小题， 共 52分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)已知实数a，b是一元二次方程x -x-1=0的两根，求 的值.
18.(6分)已知关于x的一元二次方程x -2(m+1)x+m +5=0的两个实数根分别为x ，x ，
(1)求实数 m的取值范围；
(2)当m=3时,若x ,x 恰好分别是一个直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的斜边长.
19.(8分)已知关于x的一元二次方程x +3x+m-1=0的两个实数根分别为x ,x ,
(1)求m 的取值范围;
(2)若2(x +x )+x x +10=0,求m 的值.
20.(10分)已知关于x 的一元二次方程x -6x-k =0(k为常数).
(1)求证： 无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设x ，x 为方程的两个实数根，且2x +x =14,求方程的两个实数根和k 的值.
21.(10分)已知关于x的一元二次方程x -(3k+1)x+2k +2k=0.
(1)求证： 无论k取何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰△ABC的一边长a为6,另两边长b, c 恰好分别是这个方程的两个根，求此三角形的三边长.
22.(12分)已知关于x的两个一元二次方程：
方程①:
方程②:x +(2k+1)x-2k-3=0.
(1)若方程①有两个相等的实数根，求k 的值；
(2)若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；
(3)若方程①和②有一个公共根a，求(a +4a-2)k+3a +5a的值.
1. B 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. B 8. C 9. B 10. D
11.k≥-6 12.-2 13.6 14. x -13x+4=015.四
16.25 或 36
17.∵实数a， b是一元二次方程x -x-1=0的两根，
∴a+b=1, ab=-1,
18.(1)∵b -4ac≥0,∴4(m+1) -4(m +5)≥0,解得m≥2.
(2)当m=3时,方程为x -8x+14=0,
∴x +x =8,x x =14,
∴斜边长为 6.
19.(1)∵方程有两个实数根,∴△≥0,∴9-4×1×(m-1)≥0,解得m≤3.25.
(2)∵x +x =-3,x x =m-1,2(x +x )+x x +10=0,
∴2×(-3)+m-1+10=0,解得m=-3.
20.(1)由题意得Δ=(-6) -4×1×(-k )=4k +36>0,
∴无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵x ,x 为方程的两个实数根,
∴x +x =6①,x x =-k .
又∵2x +x =14②，联立①②成方程组
解得
∴x x =-k =-16,解得k =4, k =-4.
21.(1)由题意,得△=(3k+1) -4(2k +2k)=k -2k+1=(k-1) ≥0,
∴无论k取何实数，方程总有实数根.
(2)∵△ABC为等腰三角形,
∴有a=b=6或a=c=6或b=c三种情况.
①当a=b=6或a=c=6时,可知x=6为方程的一个根,
∴6 -6(3k+1)+2k +2k=0,解得k=3或k=5.
当k=3时，方程为x -10x+24=0,解得x=4或x=6,
∴三角形的三边长分别为4，6，6；
当k=5时，方程为x -16x+60=0,解得x=6或x=10,
∴三角形的三边长分别为6，6， 10.
②当b=c时，方程有两个相等的实数根，
∴△=0,即((k-1) =0,解得k =k =1,
∴方程为x -4x+4=0,解得x =x =2,
此时三角形的三边长分别为6，2， 2，不满足三角形三边关系，舍去.
综上,三角形的三边长分别为4,6,6或6,6,10.
22.(1)∵方程①有两个相等的实数根，
则 6k+8=0,解得k =-2, k =-4.
∵k≠-2,∴k=-4.
(2)∵△ =(2k+1) -4×1×(-2k-3)=4k +12k+13=(2k+3) +4>0,
∴无论k为何值，方程②总有实数根.
∵方程①和②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根.
(3)∵a是方程①和②的公共根,
③
a +(2k+1)a-2k-3=0,④
由③×2,得((2+k)a +(2k+4)a-2=0,⑤
由⑤+④,得((3+k)a +(4k+5)a-2k=5,
∴(a +4a-2)k+3a +5a=(3+k)a +(4k+5)a-2k=5.
