2022-2023学年山东省烟台市海阳市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若方程的一个根是，则常数的值为( )
A. B. C. D.
2. 下列各式化成最简二次根式正确的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，矩形的对角线，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4. 满足的整数的值可能是( )
A. B. C. D.
5. 已知∽，它们的面积分别为和，且，则的长为( )
A. B. C. D.
6. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我们古代数学著作九章算术中的“井深几何”问题，其题意可以山示意图表示设井深为尺，所列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知如图，点是线段的黄金分割点，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是( )
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
9. 观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形中，是边的中点，于点，则下列结论：∽；；其中正确结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：______．
12. 三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示，若，，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是______ ．
13. 如图，将正方形纸片折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为______ ．
14. 已知、是关于的一元二次方程的两个解，若，则的值为______．
15. 如图，在矩形中，，点，分别是，边的中点，连接，若矩形与矩形相似，则矩形的面积为______ ．
16. 如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为______
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
求代数式的值，其中如表是小明和小颖的解答过程：
解：原式． 解：原式．
填空：______ 的解法是错误的；
求代数式的值，其中．
18. 本小题分
解下列方程：
；
．
19. 本小题分
如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图：
以点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为：；
若内部一点的坐标为，请直接写出在中的对应点的坐标．
20. 本小题分
如图为一块锐角三角形的余料，它的边，，工人师傅要把它加工成菱形零件，使菱形的一边在上，其余两个顶点，分别在边，上，加工成的零件的高，求的高的长．
21. 本小题分
“疫情”期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售经过一段时间后发现：当售价是元件时，每天可售出该商品件，且售价每降低元，就会多售出件若每件工艺品需要元成本，设该工艺品的售价为元件．
请用含的代数式表示：
销售每件工艺品的利润：______ 元；
每天能售出该工艺品的件数：______ ；
为了支持“抗疫”行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向医疗基金会捐款元，若每天销售该工艺品的纯利润为元，求该工艺品的售价．
22. 本小题分
如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．
求证：∽；
求的面积．
23. 本小题分
若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求该方程的根．
24. 本小题分
已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．
特例解析：
如图，若四边形是矩形，且，求证：；
类比探究：
如图，若四边形是平行四边形，且，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：方程的一个根是，
，
解得，
故选：．
根据方程的一个根是，可以得到，然后求解即可．
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
2.【答案】
【解析】解：、，原式化简错误，不符合题意；
B、，原式化简错误，不符合题意；
C、，原式化简正确，符合题意；
D、，原式化简错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质进行求解即可．
本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，
，
，
，
为等边三角形，
，
故选：．
先根据矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质即可得．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
四个选项中只有选项中的值符合题意，
故选：．
先解不等式得到，再估算出即可得到答案．
本题主要考查了解一元一次不等式，无理数的估算，正确求出不等式的解集是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：∽，它们的面积分别为和，
，
，
．
故选：．
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，，，，，，
∽，
，即，
故选：．
根据题意可证明∽得到，然后代入数值即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明∽是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：点是线段的黄金分割点，
，
选项C符合题意，
故选：．
根据黄金分割的定义可得，进而可得答案．
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】解：和、和、和，两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，都是位似图形；
和，对应边不平行，不是位似图形，
故选：．
根据位似图形的概念判断即可．
本题考查的是位似变换的概念，位似图形必须满足：两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行．
9.【答案】
【解析】解：因为时，，
时，，
所以方程解的范围为．
故选：．
利用表中数据可判断方程解的范围为，然后对各选项进行判断即可得出答案．
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
又，
∽，故正确；
是边的中点，
，
四边形是矩形，
，，
∽
，故正确；
，，
，
，
∽，
，
，
，
，故正确，
故选：．
先证明，再由，即可证明∽；
先得到，由矩形的性质可得，，由此证明∽，根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论；
可证∽，根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握相关知识是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差相同项的平方减去相反项的平方．
本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
，
由题意得：这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子是位似图形，
这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的位似比，
这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是，
故答案为：．
根据已知可求出的长，从而求出，然后根据题意可得：这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子是位似图形，从而利用位似图形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
由折叠的性质可得，
．
故答案为：．
先由正方形的性质得到，，再由折叠的性质可得，，则可得．
本题主要考查了正方形与折叠问题，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
由、是关于的一元二次方程的两个解，得出，，整理，整体代入求得的数值即可．
【解答】解：、是关于的一元二次方程的两个解，
，，
，
即
解得．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：设，则，
矩形与矩形相似，
，即，
解得，，
，
矩形的面积为，
故答案为：．
根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据相似多边形的性质列出比例式，难度不大．
16.【答案】或
【解析】解：设运动时间为时，以点，，为顶点的三角形与相似时，
则，，，
当与对应时，∽，
，
即，
；
当与对应时，∽，
，
即，
，
当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或，
故答案为：或．
分∽和∽两种情况分别求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】小明
【解析】解：原式，
，
，
原式，
小明的解法是错误的；
故答案为：小明；
原式，
，
，
原式
．
根据二次根式的性质和得出答案即可；
先根据和二次根式的性质进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握利用完全平方公式分解因式的技巧是解题关键．
18.【答案】解：，
，
，
解得；
，
，
，，，
，
，
解得．
【解析】先把原方程化为一般式，然后利用直接开平方的方法解方程即可；
先把原方程化为一般式，然后利用公式法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示，即为所求；
与是以原点为位似中心的位似图形，是内部一点，
点在中的对应点的坐标为．
【解析】根据位似比和位似图形的性质先找到、、对应点、、的位置，然后顺次连接、、即可；
根据位似比为，结合位似图形的位置只需要把的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标．
本题主要考查了画位似图形，求位似图形对应点坐标，熟知位似图形的相关知识是解题的关键．
20.【答案】解：四边形是菱形，
，，
∽，
，即，
，
，
，
、分别是菱形的高和的高，
，，
由平行线的唯一性可知、、三点共线，
同理可证∽，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
，
的高的长．
【解析】由菱形的性质可得，，证明∽得到，进而推出，再证明、、三点共线，同理可证∽，得到，则，由此即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，正确推出是解题的关键．
21.【答案】解： 件
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
不符合题意，舍去．
答：该工艺品的售价为元件．
【解析】解：每件工艺品需要元成本，该工艺品的售价为元件，
销售每件工艺品的利润为元．
故答案为：．
当售价是元件时，每天可售出该商品件，且售价每降低元，就会多售出件，该工艺品的售价为元件，
每天能售出该工艺品件．
故答案为：件．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
不符合题意，舍去．
答：该工艺品的售价为元件．
根据利润售价成本价，即可含的代数式表示出销售每件工艺品的利润；
根据每天售出该工艺品的件数降低的价格，即可用含的代数式表示出每天能售出该工艺品的件数；
根据总利润销售每件工艺品的利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合条件的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各量；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∽．
解：在正方形中，，点为的中点，
，，，，
由已证：∽，
，即，
解得，
，
又，
∽，
，即，
解得，
则的面积为．
【解析】先根据正方形的性质可得，再证出，然后根据相似三角形的判定即可得证；
先利用相似三角形的性质可得，从而可得，再证∽，利用相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
23.【答案】解：设这个方程的两个根分别为和，
则，
解得，
即这个方程的一个根为，
将代入方程得：，
解得．
设这个方程的两个根分别为和，
由题意得：，
整理得：，
，
将代入得：，
解得，
，
所以该方程的根为或．
【解析】设这个方程的两个根分别为和，根据一元二次方程的根与系数的关系可求出，再将代入方程即可得；
设这个方程的两个根分别为和，根据“倍根方程”的定义可得，由此即可得．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“倍根方程”的概念是解题关键．
24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
又，
；
证明：如图，在的延长线上取点，使，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
又，
．
【解析】根据矩形的性质得到，，再根据同角的余角相等得到，从而可证明∽，利用相似三角形对应边成比例即可证明结论；
如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质以及同角的补角相等证明∽，利用相似三角形对应边成比例即可得证．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的性质，同等的余角或补角相等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
第1页，共1页
