陕西省宝鸡市陈仓区2022-2023学年八年级下册数学期末试卷
一、单选题
1．如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
3．若分式的值为，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
4．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
5．（2023八下·达州期末）点向左平移2个单位后恰好落在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：根据题意得：m-2-2=0，
∴m=4，
∴m-2=2，m+5=9，
∴点M的坐标为：（2，9）。
故答案为：C。
【分析】根据平移与坐标的变化可得出等式m-2-2=0，从而可求出m的值，进一步求得点M的坐标即可。
6．如图，的三边的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，若，则BD的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
8．如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，点A的纵坐标为2，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．0＜x＜2 D．1＜x＜2
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
二、填空题
9．计算 ．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
10．（2019八上·玉泉期中）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是 边形．
【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）×180°=360°×3，
解得n=8，
则这个多边形的边数为8．
故答案为：八．
【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出等式，进而得出边数。
11．如图．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
12．小明准备用元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本元，每支签字笔元，小明买了支签字笔，他最多还可以买 个作业本．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用
13．（2022九上·岳麓开学考）如图，在平行四边形中，，，，作对角线的垂直平分线，分别交对边、于点和点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
平行四边形ABCD中，，，
，，
又，
，
，
设，则，
∵EF垂直平分AC，
，
在中，，
，
解得，
的长为．
故答案为：．
【分析】如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由平行四边形对边相等得BC=AD，由邻补角的定义可得∠CBH=45°，根据直角三角形两锐角互余可求得∠BCH=45°，然后根据等角对等边可得CH=BH；设AE=x，则由线段的构成得BE=AB-AE=8-x；由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得CE=AE=x，在直角三角形CEH中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
三、解答题
14．因式分解：．
【答案】解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
15．解方程：+1＝．
【答案】解：去分母得：1+x﹣2＝﹣x﹣1，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
【知识点】解分式方程
16．解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：．
【答案】解：解不等式5x+2≥4x﹣1得：x≥﹣3，
解不等式得：x＜6．
故不等式组的解集为﹣3≤x＜6．
数轴表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
17．化简：．
【答案】解：
【知识点】分式的混合运算
18．如图，已知平行四边形ABCD，将这个四边形折叠，使得点A和点C重合，请你用尺规做出折痕所在的直线．（保留作图痕迹，不写做法）
【答案】解：如图所示，直线EF即为所求．
【知识点】作图-线段垂直平分线
19．（2020·陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：AD＝BE.
【答案】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD＝BE.
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论.
20．某城市的一种出租车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付费10元)，达到或超过5km后，每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计)，现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少？
【答案】解：设甲地到乙地的路程大约是xkm，据题意，得
，
解得10＜x≤11，
即从甲地到乙地路程大于10km，小于或等于11km．
【知识点】一元一次不等式组的应用
21．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后的顶点均在格点上，点C的坐标为．
（1）以原点O为旋转中心，将绕点O顺时针方向旋转后得到，画出，并写出的坐标．
（2）计算的面积．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
由图可知：．
（2）解：；
【知识点】三角形的面积；作图﹣旋转
22．如图，在中，，，，动点从出发沿射线以1cm/s的速度运动，设运动时间为．
（1）求边的长．
（2）当为等腰三角形时，求的值．
【答案】（1）解：在中，，，，
，
即边的长为．
（2）解：由题意得：，
分以下三种情况：
①如图，当时，为等腰三角形，
，，
，
由得：，即，
解得；
②如图，当时，为等腰三角形，
则；
③如图，当时，为等腰三角形，
（等腰三角形的三线合一），
；
综上，当为等腰三角形时，的值为或10或16．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
23．阅读以下材料：
因式分解：，
解：令，则原式：，
再将“A”还原，得原式，
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：；
（2）当n为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？
【答案】（1）解：将“”看成整体，令，则
原式，
再将“A”还原，得：
原式；
（2）解：将“”看成整体，令，
原式
，
将“A”还原，得：
原式；
∵，
∴，
∴当时，代数式有最小值，最小值为1．
【知识点】因式分解的应用
24．（2020八下·惠来期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝18，EF＝10，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，OA＝OC，
∴∠FCO＝∠OAE，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CFO＝∠AEO＝90°，
∴△FCO≌△EAO（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝9，
∵OE＝OF，
∴OE＝5，
∴AE＝ ．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠FCO＝∠OAE， 再利用AAS证明 △FCO≌△EAO ，最后作答求解即可；
（2）根据平行四边形求出 OA＝OC＝9， 再求出 OE＝5， 最后利用勾股定理计算求解即可。
25．在双减背景下，西安某中学为让学生们扔下繁重的作业负担，置身于丰富多彩的阅读中，计划开展以“我阅读，我快乐”为主题的阅读分享活动，学校图书室计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的倍，用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
【答案】（1）解：设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，且符合题意．
则，
答：甲图书每本价格是元，乙图书每本价格为元；
（2）解：设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，
故，
解得：，
故，
答：该图书馆最多可以购买本乙图书．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
26．
（1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程．
（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离．
【答案】（1）解：如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'=PA，
∵PC=P'C，
∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′；
（2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°，
∴AC=10，BC=，
如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，
当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，
由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP'=PB，
∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，
∴∠ABC'=90°，
由勾股定理得：
∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=，
则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
陕西省宝鸡市陈仓区2022-2023学年八年级下册数学期末试卷
一、单选题
1．如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若分式的值为，则的值为( )
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
5．（2023八下·达州期末）点向左平移2个单位后恰好落在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的三边的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，若，则BD的长为（ ）
A．8 B． C． D．
8．如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，点A的纵坐标为2，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．0＜x＜2 D．1＜x＜2
二、填空题
9．计算 ．
10．（2019八上·玉泉期中）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是 边形．
11．如图．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为 ．
12．小明准备用元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本元，每支签字笔元，小明买了支签字笔，他最多还可以买 个作业本．
13．（2022九上·岳麓开学考）如图，在平行四边形中，，，，作对角线的垂直平分线，分别交对边、于点和点，则的长为 ．
三、解答题
14．因式分解：．
15．解方程：+1＝．
16．解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：．
17．化简：．
18．如图，已知平行四边形ABCD，将这个四边形折叠，使得点A和点C重合，请你用尺规做出折痕所在的直线．（保留作图痕迹，不写做法）
19．（2020·陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：AD＝BE.
20．某城市的一种出租车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付费10元)，达到或超过5km后，每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计)，现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少？
21．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后的顶点均在格点上，点C的坐标为．
（1）以原点O为旋转中心，将绕点O顺时针方向旋转后得到，画出，并写出的坐标．
（2）计算的面积．
22．如图，在中，，，，动点从出发沿射线以1cm/s的速度运动，设运动时间为．
（1）求边的长．
（2）当为等腰三角形时，求的值．
23．阅读以下材料：
因式分解：，
解：令，则原式：，
再将“A”还原，得原式，
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：；
（2）当n为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？
24．（2020八下·惠来期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝18，EF＝10，求AE的长．
25．在双减背景下，西安某中学为让学生们扔下繁重的作业负担，置身于丰富多彩的阅读中，计划开展以“我阅读，我快乐”为主题的阅读分享活动，学校图书室计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的倍，用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
26．
（1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程．
（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的性质
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
3．【答案】C
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
5．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：根据题意得：m-2-2=0，
∴m=4，
∴m-2=2，m+5=9，
∴点M的坐标为：（2，9）。
故答案为：C。
【分析】根据平移与坐标的变化可得出等式m-2-2=0，从而可求出m的值，进一步求得点M的坐标即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
8．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
9．【答案】
【知识点】分式的乘除法
10．【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）×180°=360°×3，
解得n=8，
则这个多边形的边数为8．
故答案为：八．
【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出等式，进而得出边数。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
12．【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
平行四边形ABCD中，，，
，，
又，
，
，
设，则，
∵EF垂直平分AC，
，
在中，，
，
解得，
的长为．
故答案为：．
【分析】如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由平行四边形对边相等得BC=AD，由邻补角的定义可得∠CBH=45°，根据直角三角形两锐角互余可求得∠BCH=45°，然后根据等角对等边可得CH=BH；设AE=x，则由线段的构成得BE=AB-AE=8-x；由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得CE=AE=x，在直角三角形CEH中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
14．【答案】解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
15．【答案】解：去分母得：1+x﹣2＝﹣x﹣1，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
【知识点】解分式方程
16．【答案】解：解不等式5x+2≥4x﹣1得：x≥﹣3，
解不等式得：x＜6．
故不等式组的解集为﹣3≤x＜6．
数轴表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
17．【答案】解：
【知识点】分式的混合运算
18．【答案】解：如图所示，直线EF即为所求．
【知识点】作图-线段垂直平分线
19．【答案】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD＝BE.
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论.
20．【答案】解：设甲地到乙地的路程大约是xkm，据题意，得
，
解得10＜x≤11，
即从甲地到乙地路程大于10km，小于或等于11km．
【知识点】一元一次不等式组的应用
21．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
由图可知：．
（2）解：；
【知识点】三角形的面积；作图﹣旋转
22．【答案】（1）解：在中，，，，
，
即边的长为．
（2）解：由题意得：，
分以下三种情况：
①如图，当时，为等腰三角形，
，，
，
由得：，即，
解得；
②如图，当时，为等腰三角形，
则；
③如图，当时，为等腰三角形，
（等腰三角形的三线合一），
；
综上，当为等腰三角形时，的值为或10或16．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
23．【答案】（1）解：将“”看成整体，令，则
原式，
再将“A”还原，得：
原式；
（2）解：将“”看成整体，令，
原式
，
将“A”还原，得：
原式；
∵，
∴，
∴当时，代数式有最小值，最小值为1．
【知识点】因式分解的应用
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，OA＝OC，
∴∠FCO＝∠OAE，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CFO＝∠AEO＝90°，
∴△FCO≌△EAO（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝9，
∵OE＝OF，
∴OE＝5，
∴AE＝ ．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠FCO＝∠OAE， 再利用AAS证明 △FCO≌△EAO ，最后作答求解即可；
（2）根据平行四边形求出 OA＝OC＝9， 再求出 OE＝5， 最后利用勾股定理计算求解即可。
25．【答案】（1）解：设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，且符合题意．
则，
答：甲图书每本价格是元，乙图书每本价格为元；
（2）解：设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，
故，
解得：，
故，
答：该图书馆最多可以购买本乙图书．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
26．【答案】（1）解：如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'=PA，
∵PC=P'C，
∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′；
（2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°，
∴AC=10，BC=，
如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，
当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，
由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP'=PB，
∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，
∴∠ABC'=90°，
由勾股定理得：
∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=，
则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
