专题19 和不等式（组）有关的最值问题
1．若a，b，c，d为整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜100，则a可能取的最大值是（ ）
A．2367 B．2375 C．2391 D．2399
2．设实数a，b，c满足a>b>c(ac<0)，且|c|<|b|<|a|，则|b a|+|a+c|-|b c|的最小值为( )
A．2a-2b+2c B．2a-2b C．0 D．2a+2c
3．若不等式有解，则实数最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．已知三个非负数a、b、c满足若，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．－1
5．若，且，则（ ）.
A．有最小值 B．有最大值1
C．有最大值2 D．有最小值
6．已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④
7．设a，b是任意两个实数，用max｛a，b｝表示a，b两数中的较大者，例如max｛4，3｝=4，则max｛，，｝的最小值等于（ ）
A．-2 B．1 C．7 D．3
8．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，若，则W的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟10人，每人消费25元，摊位的毛利润为，若平均每个摊位一天（按10个小时计）的毛利润不低于1000元，则的最大值为
A．30 B．40 C．50 D．60
10．已知实数，，满足，且，则的最大值为 ．
11．如果不等式组的整数解有且仅有一个，这个解为1，且a，b均为整数，则a+b的最大值是 ．
12．非负数满足，设的最大值为，最小值为，则 ．
13．若满足不等式的整数k只有一个，则正整数N的最大值
14．当三个非负实数，，满足关系式与时，的最小值和最大值分别是多少？
15．已知，且，．
（1）求b的取值范围
（2）设，求m的最大值．
16．已知实数满足，且，．
（1）求出x的最小值；
（2）求的最大值．
17．（1）求不等式组的正整数解．
；
（2）若上述整数解满足不等式，在取最小值时，求代数式的值．
18．已知关于x、y的方程组的解都为非负数．
(1)求a的取值范围；
(2)已知，求的取值范围；
(3)已知（m是大于1的常数），且．求的最大值．（用含m的代数式表示）
参考答案：
1．A
【分析】需要根据题意确定d的取值，然后依次可得出c、b、a的最大值，继而可得出答案．
【详解】解：∵d＜100，d为整数，
∴d的最大值为99，
∵，c为整数，
∴c的最大整数为395，
∵，b为整数，
∴b的最大整数为1184，
∵，a为整数，
∴a的最大整数为2367．
故选：A
【点睛】本题考查了整数问题，解答本题的关键是根据题意确定d的值．
2．A
【分析】由ac<0，可得a，c异号，再根据a>b>c，可得a>0>c，a-b＞0，b-c＞0，结合|c|<|b|<|a|，可得a＞-c，即有a+c＞0，问题得解．
【详解】∵ac<0，
∴a，c异号，
∵a>b>c，
∴a>0>c，a-b＞0，b-c＞0，
又∵|c|<|b|<|a|，
∴a＞-c，
∴a+c＞0，
∵a-b＞0，b-c＞0，a+c＞0，
故，
整理化简可得2a-2b+2c．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质以及去绝对值的知识，根据不等式的性质得到a-b＞0，b-c＞0，a+c＞0，是解答本题的关键．
3．C
【分析】分类讨论：当x<1或1≤x≤3或x>3，分别去绝对值，解关于x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值．
【详解】当x<1，原不等式变为：2 2x+9 3x≤a，解得：x≥，
∴<1，解得：a>6；
当1≤x≤3，原不等式变为：2x 2+9 3x≤a，解得：x≥7 a，
∴1≤7 a≤3，解得：4≤a≤6；
当x>3，原不等式变为：2x 2+3x 9≤a，解得：x≤，
∴>3，解得：a>4；
综上所述，实数a最小值是4．
故选C．
【点睛】本题主要考查含参数的绝对值不等式，掌握求绝对值法则，解一元一次不等式的步骤以及不等式解的意义，是解题的关键．特别注意分类讨论思想．
4．B
【详解】解：联立，得，
由题意知：a，b，c均是非负数，
则，
解得
m=3a+b 7c=3( 3+7c)+(7 11c) 7c= 2+3c，
当 时，m有最小值，即
当时，m有最大值，即．
故选B．
5．C
【详解】由已知条件，根据不等式的性质求得b≤＜0和a≥；然后根据不等式的基本性质求得≤2 和当a＞0时，＜0；当≤a＜0时，≥；
所以A、当a＞0时，＜0，即的最小值不是，故本选项错误；
B、当≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误；
C、有最大值2；故本选项正确；
D、无最小值；故本选项错误．
故选C．
考点：不等式的性质．
6．D
【分析】先利用加减消元法求出即可判断①②；根据推出，则即可判断③；先推出，再结合a的取值范围即可判断④．
【详解】解：
用①-②得：，解得，
将代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
把代入到中得，
解得符合题意，故①正确；
当时，，
∴，x，y的值互为相反数，故②正确；
∵，
∵，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴S的最大值为11，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键在于能够根据题意求出．
7．D
【分析】可先假定的值分别为、、三种情况，求出这三种情况下的x的最小值，再进行比较即可．
【详解】①设，则需同时满足，，分别化简，解得：，则当时，为最小值3．
②设，则需同时满足，，分别化简，解得：，则当时，为最小值7．
③设，则需同时满足，，分别化简，解得：，则当时，为最小值3．
因为，所以的最小值为3．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意列出一元一次不等式方程是解题关键．
8．C
【分析】根据关于x，y的方程组的解都为非负数，可以求得a的取值范围，再根据a+b=4，W=3a-2b和一次函数的性质，可以得到W的最小值．
【详解】解：由方程组可得，，
∵关于x，y的方程组的解都为非负数，
∴，
解得，1≤a≤3，
∵a+b=4，W=3a-2b，
∴b=4-a，
∴W=3a-2（4-a）=5a-8，
∴W随a的增大而增大，
∴当a=1时，W取得最小值，此时W=-3，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
9．D
【分析】由每日的总消费额及平均每个摊位一天的毛利润不低于1000元，即可得出关于n的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
【详解】依题意，得：，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
10．
【分析】根据已知条件中、、的关系式，用含、的代数式把含的式子表示出来，然后利用含、式子的特点得出关于的不等式，解不等式求出即可．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，不等式求解，解题的关键是掌握逆用完全平方公式的能力．
11．25
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，再根据有且只有一个正整数解1列出关于、的不等式组，解之求出整数、的最大值，然后相加即可得解．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
∵不等式组的整数解为1，
∴，
解得，
∴的最大值为9，的最大值为16，
则的最大值为9+16＝25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式组的解，然后根据整数解求出、的值是解题的关键．
12．
【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b=9和c﹣a=3推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=9和c﹣a=3把y=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值．
【详解】∵a，b，c为非负数，
∴y=a+b+c≥0．
又∵c﹣a=3，
∴c=a+3，
∴c≥3．
∵a+b=9，
∴y=a+b+c=9+c．
又∵c≥3，
∴c=3时y最小，
即y最小=12，
即n=12．
∵a+b=9
∴a≤9，
∴y=a+b+c=9+c=9+a+3=12+a，
∴a=9时y最大，
即y最大=21，
即m=21，
∴m﹣n=21﹣12=9．
故答案为9．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是熟练掌握不等式的性质，求出y的最大值及最小值，难度较大．
13．112
【分析】对不等式进行变换求出k的范围，再将两分数变成同分母，根据整数k只有一个可得n的值．
【详解】已知，则8n+8k＜15n，解得k＜，
且，则7n+7k＞13n，解得k＞
所以＜k＜通分得．
又因为k只有一个．
∴只有n=112时，
故答案为：112
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用、分式的值的问题，正确对分式进行转化是解决本题的关键．
14．的最小值为，最大值为
【分析】根据关系式与求出和与的关系式，又因，，均为非负实数，求出的取值范围，于是可以求出的最大值和最小值．
【详解】解：∵，
解得：，
∴
，
又∵，，均为非负实数，
∴，
解得：，
当时，有最小值为：，
当时，有最大值为：．
∴的最小值为，最大值为．
【点睛】本题考查函数最值问题，涉及三元一次方程组，一元一次不等式组，非负数等知识点．解题的关键是用表示出和．
15．（1）；（2）2
【分析】（1）根据得到，再结合，可得b的取值范围；
（2）将化为，根据b的取值结合不等式的性质可得m的取值范围，从而得到最大值．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
又∵，
∴；
（2），
∵，
∴，
∴，
∴m的最大值为2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，等式的性质和不等式的性质，解题的关键是理解题意，进行必要的等量代换．
16．（1）2；（2）0
【分析】（1）由，，且，可得，可得．由，，可得，，因此，是一元二次方程的两个实数根，利用△，可得．即可得出的最小值．
（2）由①可知：，，，与同号且，，可得，即可得出．
【详解】解：（1），，且，
，可得．
，，
，，
，是一元二次方程的两个实数根，
△，
化为，
解得．
当时，．
的最小值为2．
（2）由（1）可知：，，，
与同号且，，
，
的最大值为0．此时，．
【点睛】本题考查了不等式的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
17．（1）不等式组的正整数解为2；（2）2
【分析】（1）分别解出两个不等式，然后得到不等式组的解集，最后写出解集中的正整数即可；
（2）将整数解代入不等式解出a的取值范围，得出最小值，再求代数式的值即可．
【详解】（1）解不等式得，
解不等式得
∴不等式组的解集为
∴不等式组的正整数解为2
（2）将代入不等式得：，
解得，
的最小值为，
此时．
【点睛】本题考查求不等式组的整数解，以及代数式求值，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用a表示出该方程的解，再根据关于x、y的该方程组的解都为非负数，即得出关于a的方程组，解出a的解集即可；
（2）由，得出，再根据a的取值范围，即可得出b的取值范围，再求出的取值范围即可；
（3）由，即得出，由a的取值范围，即可用m表示出b的取值范围．由b的取值范围，即可用m表示出a的取值范围，即可求出的取值范围，即得出其最大值．
【详解】（1）解方程，
得：．
∵关于x、y的该方程组的解都为非负数，即，
∴，
解得：；
（2）∵，即，
∴，
解得：，
∴；
（3）∵，即，
∴，
∴
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为3+2m．
【点睛】本题考查解二元一次方程，解一元一次不等式和解一元一次不等式组．掌握求解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
