专题16 HL证全等培优
1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．若BG＝4，AC＝5，则△ABC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．如图，在中，，平分，，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为56和32,则△EDF的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．不能确定
4．如图，已知正方形的边长为2，点E是正方形的边上的一点，点A关于的对称点为F，若，则的长为 ．
5．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，沿AE所在的直线折叠△ADE，落在矩形内部得到△AFE，延长AF交BC边于点G，若＝，则的值为 ．
6．在中，，，，为直线上一点，且与的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 ．
7．如图，，，是上的一点，且，．
（1）与全等吗？请说明理由；
（2）若，，请求出的面积．
8．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．
（1）证明：BM＝CN．
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；
（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 ．
9．如图，在边长为8的正方形中，E是边的中点，将沿对折至，延长交边于点G，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求线段的长度．
10．数学课上，老师在黑板上展示了如下一道探究题：
在中，，，点D，E分别在边AC，AB上，且，试探究线段AE和线段AD的数量关系．
(1)初步尝试
如图①，若，请探究AE和AD的数量关系，并说明理由．
(2)类比探究
如图②，若，小组讨论后，有小组利用120°的角作垂线构造直角三角形，通过证明两次三角形全等，得到AE和AD的数量关系仍然成立，请你写出推理过程；
(3)延伸拓展
如图③，将第（2）中的“点E在边AB上”改为“点E在边BA的延长线上”，其它条件不变，请探究AE和AD的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由．
11．定义：如果三角形的两个内角和满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在中，，，．请把这个三角形分割成两个三角形，使得其中一个为“类直角三角形”，并求出这个“类直角三角形”的面积．（备注：要求尺规作图）
12．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC．
13．在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N.
（1）如图①，若∠MAN＝50°，则∠BAC＝ °；
（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：.
（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H. 若AB＝5，CB＝12，求AH的长.
14．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．
参考答案：
1．B
【分析】连接AD、DC．证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL），Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），得出AG=CF，BG=BF．则可求出答案．
【详解】解：连接AD、DC．
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，
∴DG=DF．
∵D在AC的中垂线上，
∴DA=DC．
在Rt△DGA与Rt△DFC中，
∵DG=DF，DA=DC，
∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．
∴AG=CF，
∵DG=DF，BD=BD，
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．
∴BG=BF．又∵AG=CF，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=BG-AG+BF+FC+AC=2BG+AC=2×4+5=13，
故选B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．C
【分析】由角平分线的性质得出DE=DC，再由直角三角形全等的判定定理分别证明≌，≌，由三角形全等的性质分别得出AE、BE的长度，即可得出AB的长度．
【详解】，，
AC=4，
平分，，，
DC=CE，
在Rt与Rt中，
，
≌，
AE=AC=4，
在Rt与Rt中，
，
≌，
BE=CF=1，
AB=AE+BE=4+1=5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及直角三角形全等的判定与性质，熟记直角三角形全等的判定定理是解题关键．
3．C
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的性质定理可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可．
【详解】如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中,
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)，
∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴S△ADF=S△ADH，
即32+S=56 S，
解得S=12.
故选C.
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，以及用HL判定直角三角形全等，由全等三角形面积相等得到等量关系是解决本题的关键.
4．
【分析】延长EF交CD于M，连接BM，根据正方形的性质得到AB=BC，∠A=∠BCD=90°，由折叠的性质得到∠BFE=∠BFM=90°，通过Rt△BFM≌Rt△BCM，于是得到MF=MC．由等腰三角形的性质得到∠MFC=∠MCF，由余角的性质得到∠MFD=∠MDF，于是求得MF=MD，得MF=MD=MC=1，AE=EF=x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，延长EF交CD于M，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°，
∵点A关于直线BE的对称点为F，
∴∠BFE=∠BFM=90°，AB=BF=BC
在Rt△BFM与Rt△BCM中，
，
∴Rt△BFM≌Rt△BCM（HL），
∴MF=MC，
∴∠MFC=∠MCF，
∵∠MFC+∠DFM=90°，∠MCF+∠FDM=90°，
∴∠MFD=∠MDF，
∴MD=MF=MC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴MF=MC=DM=1，
设AE=EF=x，
∵DE2+DM2=EM2，
即（2-x）2+12=（x+1）2，
解得：x=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换-折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．
【分析】连接GE，证明，得，设，表示出，，，，的长度，再由勾股定理得的长度，即可得出比值．
【详解】如图，连接GE，
∵在矩形ABCD中，
∴，，，
∴由折叠的性质可知：，，，
∵点E是边CD的中点，
∴，
∴，
又∵（公共边），
∴，
∴，
∵，
∴设，
则，，，
∴，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理，折叠前后的图形对应边、对应角分别相等是解题的关键．
6．或4或或
【分析】分AC=AD、BA=BD、DA=DC、AC=CD四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质或勾股定理求解即可．
【详解】在△ABC中，∠ABC=90，CA=3，CB=1，
∴AB=，
①当AC=AD时，△ACD为等腰三角形，如图，
∵AC=AD，AB=AB，∠ABC=∠ABD=90，
∴Rt△ABDRt△ABC(HL)，
∴BD=BC=1，
∴；
②当BA=BD时，△ABD为等腰三角形，如图，
∵BA=BD=，
∴；
③当DA=DC时，△ACD为等腰三角形，如图，
作DE⊥AC于E，设BD=，
∵DA=DC，
∴DA=DC=，
∵∠ABD=∠ABC=90，
∴，即，
解得：，即BD=，
∴；
④当AC=CD时，如图，
综上，此等腰三角形的面积为或4或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，分类讨论、正确的识别图形是解题的关键．
7．（1）全等，理由见解析；（2）
【分析】（1）首先根据等角对等边证明，证明是直角三角形，然后利用定理证明与全等．
（2）首先根据勾股定理求出、的长度，再证明是直角三角形，然后求面积．
【详解】解：（1）．
，
．
，
．
又，
．
与是直角三角形．
在与中，
．
（2），
，．
，，
．
．
又，
∴∠AED+∠BEC=90°，
．
的面积为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理、直角三角形的判定定理、勾股定理、三角形的面积计算公式等知识．
8．（1）见解析；（2）35°（3）
【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；
（2）根据角平分线的性质得到DM=DN，根据全等三角形的性质得到∠ADM=∠ADN，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EDC=40°，于是得到结论；
（3）先根据，求得，进而在中根据相等，勾股定理可得的值，进而求得4DN2﹣BC2的值．
【详解】（1）证明：连接BD，DC，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN；
（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），
∴∠ADM=∠ADN，
∵∠BAC=70°，
∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，
∵∠BDM=∠CDN，
∴∠BDC=∠MDN=110°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠EDC=∠BDC=55°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=35°，
∴∠DCB=35°．
（3） Rt△DMA≌Rt△DNA
设，AB＝8，AC＝4，DE＝3，
解得
即
在中
4DN2﹣BC2
故答案为：
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
9．（1）见解析；（2）45°；（3）2
【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出，，利用定理得出即可；
（2）由（1）可得，由折叠的性质可得，继而可得；
（3）首先设，则可得，，然后利用勾股定理，得方程：，解此方程即可求得答案．
【详解】解：（1）证明；在正方形中，，，
将沿对折至，
，，，
，，
又，
在和中，
，
；
（2），
，
，
由折叠的性质可得：，
，
；
（3）是的中点，
，
设，则，，
，
解得 ，
．
【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意折叠中的对应关系、注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．
10．(1)，理由见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
（2）过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．证△CAM≌△BAN（AAS），得CM＝BN，AM＝AN，再证Rt△CME≌Rt△BND（HL），得EM＝DN，可得结论．
（3）在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，再由含30°角的直角三角形的性质得AT＝m，可得结论．
【详解】（1）∵，
又∵，，
∴，
∴．
（2）如图（1）中，过点C作交BA的延长线于M，过点N作交CA的延长线于N．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）如图（2）中，结论：．
理由：在上取一点，使得，则．
过点C作于T．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
11．15或或或，图见解析．
【分析】根据题意分两种情况画图解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴AB=．
①如图，过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠A+2∠ABD=90°，
∴△ABD是“类直角三角形”，
∵BD平分∠ABC，BC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE=6，
∴AE=AB-BE=4，
在Rt△ADE中，AD=AC-CD=8-DE，根据勾股定理，得
AD2=DE2+AE2，
∴(8-DE)2=DE2+42，
解得DE=3，
∴S△ABD=×AB DE=×10×3=15；
∴这个“类直角三角形”的面积是15；
②如图，过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意可知：AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠B+2∠BAD=90°，
∴△ABD是“类直角三角形”，
∵AD平分∠ABC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE=8，
∴BE=AB-AE=2，
在Rt△BDE中，BD=BC-CD=6-DE，根据勾股定理，得
BD2=DE2+BE2，
∴(6-DE)2=DE2+22，
解得DE=，
∴S△ABD=×AB DE= ；
∴这个“类直角三角形”的面积是．
③如图，过点D作DE⊥AC于点E，
根据题意可知：CD平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ACD，
∵∠A+∠ACF=90°，
∴∠A+2∠ACD=90°，
∴△ACD是“类直角三角形”，
∵CD平分∠ACF，DE⊥AC，DF⊥CF，
∴DE=DF，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE=CF，
∵BC2-BF2=AC2-AF2，
∴62-BF2=82-(10-BF)2，
解得BF=，
∵，
∴CF=，
∵，
∴，
∴，
∴DE=，
∴S△ACD=×AC DE= ；
∴这个“类直角三角形”的面积是．
④如图，过点D作DE⊥BC于点E，由③知，CF=，BF=，
根据题意可知：CD平分∠BCF，
∴∠BCF=2∠BCD，
∵∠B+∠BCF=90°，
∴∠B+2∠BCD=90°，
∴△BCD是“类直角三角形”，
∵CD平分∠BCF，DE⊥BC，DF⊥CF，
∴DE=DF，
∵，
∴，
∴DE=，
∴S△BCD=×BC DE= ；
∴这个“类直角三角形”的面积是．
综上可知，这个“类直角三角形”的面积是15或或或．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是理解“类直角三角形”定义．
12．见解析
【分析】试题分析：（1）先利用斜边直角边定理证明△OEC和△OFB全等，根据全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC；
（2）先证明△OEC和△OFB全等，得到∠OBF=∠OCE，又因为OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，利用等式的性质得到∠ABC=∠ACB，即可得到AB=AC．
【详解】证明：（1）在Rt△OEC和Rt△OFB中
∵，
∴Rt△OEC≌Rt△OFB（HL），
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等），
∴AB=AC（等角对等边）；
（2）在Rt△OEC和Rt△OFB中，
∵，
∴Rt△OEC≌Rt△OFB（HL），
∴∠OBF=∠OCE，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠FBO+∠OBC=∠OCE+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
【点睛】考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
13．（1）115°；（2）见解析；（3）3.5
【分析】（1）利用垂直平分线求出∠BAM=∠B，∠CAN=∠C，利用三角形内角和定理求出∠BAM+∠CAN=65°，即可得出∠BAC的度数；
（2）连接AM、AN，先判断出∠B+∠C=45°，进而求出∠MAN=90°，即可得出结论；
（3）先判断出Rt△APH≌Rt△CPE，进而判断出Rt△BPH≌Rt△BPE，即可得出结论．
【详解】（1）如图①，
∵MG是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴∠B=∠BAM,
同理：∠CAN=∠C，
∵∠BAM+∠B+∠MAN+∠CAN+∠C=180°，∠MAN＝50°，
∴BAM+∠CAN=65°，
∴∠BAC=65°+50°=115°；
（2）如图②，连接AM、AN，
∵∠BAC=135°，
∴∠B+∠C=45°，
又∵点M在AB的垂直平分线上，
∴AM=BM，
∴∠BAM=∠B，
同理AN=CN，∠CAN=∠C，
∴∠BAM+∠CAN=45°，
∴∠MAN=90°，
∴；
∴；
（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，
∴PH=PE，
∵点P在AC的垂直平分线上，
∴AP=CP，
在Rt△APH和Rt△CPE中，
∴Rt△APH≌Rt△CPE，
∴AH=CE，
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，
∴∠HBP=∠CBP，∠BHP=∠BEP=90°，
∵BP=BP，
∴Rt△BPH≌Rt△BPE，
∴BH=BE，
∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH，
∴AH=（BC-AB）÷2=3.5．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
14．（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A．
【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“”证明；
（2）过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，根据等角的补角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等；
（3）以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等；
（4）根据三种情况结论，不小于即可．
【详解】解：（1）在和，，，，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道，
故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL．
（2）如图，
过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，
，且、都是钝角，
，
即，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）如图，和不全等；
以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等．
（4）若，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
