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3 简谐运动的回复力和能量
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
随 堂 训 练
素养·目标定位
目 标 素 养
1.掌握简谐运动回复力的特征,能准确分析回复力的来源,形成正确的物理观念,培养科学思维能力。
2.理解简谐运动的规律,掌握在一次全振动过程中位移、加速度、速度和能量的变化规律。
3.会用能量守恒的观点,分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律,培养分析解决实际问题的能力。
知 识 概 览
课前·基础认知
一、简谐运动的回复力
1.回复力。
2.简谐运动的动力学定义。
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。
微思考1做简谐运动的质点,任意时刻回复力(不为零)的方向总与位移的方向相反吗
提示:是的。回复力是指向平衡位置的,而位移是以平衡位置为起点指向质点所在位置的,所以二者的方向总是相反的。
二、简谐运动的能量
1.弹簧振子的状态与能量的关系。
(1)弹簧振子中小球的速度在不断变化,因而它的动能在不断变化。
(2)弹簧的伸长量或压缩量在不断变化,因而它的势能也在不断变化。
2.弹簧振子的能量。
沿水平方向振动的弹簧振子的势能为弹性势能,其大小取决于弹簧的形变量。
(1)小球到达最大位移时,动能为0,势能最大。
(2)小球通过平衡位置时,动能最大,势能为0。
(3)在弹簧振子运动的任意位置,系统的动能与势能之和都是一定的,遵守机械能守恒定律。实际的运动都有一定的能量损耗,所以简谐运动是一种理想化的模型。
微思考2对于一个确定的振动系统,简谐运动的能量由什么决定
提示:振幅。振幅越大,系统的能量越大。
课堂·重难突破
一 对回复力和加速度的理解
重难归纳
1.回复力的来源。
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供,如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力;也可以是几个力的合力,如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力;还可以是某一力的分力。归纳起来,回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。
2.简谐运动的回复力的特点。
(1)由F=-kx知,简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比,回复力的方向与位移的方向相反,即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定,与振幅无关。
(3)根据牛顿第二定律得, ,表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比,加速度方向与位移方向相反。
3.回复力的规律:因x=Asin (ωt+φ),故回复力F=-kx=-kAsin (ωt+φ),可见回复力随时间按正弦规律变化。
弹簧振子从平衡位置到达最大位移处的过程中,回复力如何变化 从最大位移处向平衡位置运动的过程中呢
提示:由回复力F=-kx可知,从平衡位置到达最大位移处的过程中,回复力逐渐增大,方向一直指向平衡位置;从最大位移处向平衡位置运动的过程中,回复力逐渐减小,方向一直指向平衡位置。
典例剖析
一质量为m的小球,通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上,如图所示。
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是 。
(2)该小球的振动是否为简谐运动
答案:(1)弹簧的弹力和小球的重力的合力 (2)是简谐运动
解析:(1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与小球的重力的合力。
(2)设向下为正方向,小球静止时弹簧已经有了一个伸长量h,设弹簧的劲度系数为k,由平衡条件得kh=mg①
当小球向下偏离平衡位置的距离为x时,
回复力即合外力为F回=mg-k(x+h)②
将①代入②式得F回=-kx,可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点,该小球的振动是简谐运动。
规律总结
判断振动是否为简谐运动的方法
1.运动学方法:找出质点的位移与时间的关系,若遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,就可判定此振动为简谐运动。不过通常的问题中很少应用这个方法进行判断。
2.动力学方法:找出回复力和位移的关系,若满足F=-kx的规律,就可以判定此振动为简谐运动。此方法是既简单又常用的方法,操作步骤如下:
(1)物体静止时的位置即为平衡位置,并且规定正方向;
(2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外),对物体进行受力分析;
(3)将力沿振动方向进行分解,求出振动方向上的合力;
(4)判定振动方向上的合力与位移的关系是否符合F=-kx。
学以致用
(多选)如图所示,弹簧振子中小球在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动,下列说法正确的是( )
A.小球运动过程中受重力、支持力
和弹簧弹力的作用
B.小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.小球由A向O运动过程中,回复力逐渐增大
D.小球由O向B运动过程中,回复力的方向指向平衡位置
答案:AD
解析:回复力是根据效果命名的力,不是做简谐运动的物体受到的具体的力,它是由物体受到的具体的力所提供的,在此情景中弹簧的弹力充当回复力,故选项A正确,B错误;回复力与位移的大小成正比,由A向O运动过程中位移的大小在减小,故此过程回复力逐渐减小,选项C错误;回复力总是指向平衡位置,故选项D正确。
二 简谐运动中各物理量的变化规律
重难归纳
1.对简谐运动的能量的理解注意以下几点。
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定
能量的获得 最初的能量来自外部,通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化,机械能守恒
理想化模型 (1)力的角度:简谐运动不考虑阻力
(2)能量转化角度:简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗
2.决定能量大小的因素。
振动系统的机械能跟振幅有关,对一个给定的振动系统,振幅越大,振动越强,振动的机械能越大;振幅越小,振动越弱,振动的机械能越小。
3.根据水平弹簧振子图,可分析各个物理量的变化关系如下。
振子的运动 A→O O→A' A'→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
(1)在简谐运动中,位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小,与速度和动能的变化步调相反。
(2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点。
(3)最大位移处是速度方向变化的转折点。
(4)简谐运动的位移与前面学过的位移不同,简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段,位移起点是平衡位置,是矢量。
(5)各个物理量对应关系不同:位置不同,位移不同,加速度、回复力不同;但是速度、动能、势能可能相同,也可能不同。
如图所示,在弹簧振子的运动过程中,在最大位移处和在平衡位置处,位移x、回复力F、加速度a、速度v、弹性势能Ep、动能Ek有何区别
提示:在最大位移处,x、F、a、Ep最大,v=0,Ek=0;在平衡位置处,x=0,F=0,a=0,Ep最小,v、Ek最大。
典例剖析
下图是弹簧振子做简谐运动的振动图像,可以判定( )
A.从t1到t2时间内系统的动能不断增大,势能不断减小
B.从t2到t3时间内振幅不断增大
C.t3时刻振子处于平衡位置处,动能为0
D.t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
答案:A
解析:由题图看出,从t1到t2时间内振子的位移减小,振子向平衡位置运动,则系统的动能不断增大,势能不断减小,故选项A正确;弹簧振子做简谐运动的振幅不变,等于位移的最大值,故选项B错误;t3时刻振子处于平衡位置处,动能最大,故选项C错误;t1、t4时刻振子的位移相同,说明振子经过同一位置,势能相同,则动能相同,但速度方向相反,故选项D错误。
规律总结
位移增大时,回复力、加速度和势能增大,速度和动能减小;位移减小时,回复力、加速度和势能减小,速度和动能增大。
学以致用
(多选)如图所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振动物体的质量为m0,若振动物体运动到B处时将一质量为m的物体轻放到振动物体上面,且物体和振动物体间无相对运动地一起振动,下列叙述正确的是( )
A.振幅不变
B.振幅减小
C.最大动能不变
D.最大动能减少
答案:AC
解析:振动物体运动到B点时速度恰为0,此时放上质量为m的物体,系统的机械能不变,即为此时弹簧储存的弹性势能,由于简谐运动中机械能守恒,所以振幅保持不变,因此选项A正确,B错误。由于机械能守恒,最大动能不变,所以选项C正确,D错误。
随 堂 训 练
1.(多选)关于做简谐运动的物体的说法正确的是( )
A.加速度与位移方向有时相同,有时相反
B.速度方向与加速度方向有时相同,有时相反
C.速度方向与位移方向有时相同,有时相反
D.加速度方向总是与位移方向相反
答案:BCD
解析:回复力的方向与位移的方向始终相反,加速度的方向与回复力的方向一致,选项A错误,D正确;当离开平衡位置时,速度与位移的方向相同,速度与加速度的方向相反,当向平衡位置运动时,速度与位移的方向相反,速度与加速度的方向相同,故选项B、C正确。
2.如图甲所示,光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧,弹簧一端固定,另一端连接在小球上,忽略弹簧质量。小球以点O为平衡位置,在A、B两点之间做往复运动,它所受的回复力F随时间t变化的图像如图乙所示,则在2~3 s的时间内,振子的动能Ek和势能Ep的变化情况是( )
A.Ek变小,Ep变大
B.Ek变大,Ep变小
C.Ek、Ep均变小
D.Ek、Ep均变大
答案:B
甲
乙
解析:在2~3 s的时间内,振子的回复力减小,则振子向平衡位置运动,速度变大,动能Ek变大,弹性势能Ep减小,故选项B正确,A、C、D错误。
3.公路上匀速行驶的货车受一扰动,车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向上的振动可视为简谐运动,周期为T。竖直向上为正方向,以某时刻为计时起点,其振动图像如图所示,则( )
答案:C
4.(多选)如图所示,轻质弹簧下面挂一个质量为m的物体,物体在竖直方向做振幅为A的简谐运动,当物体振动到最高点时,弹簧正好为原长。在物体做简谐运动的过程中,弹簧一直处于弹性限度内,重力加速度为g,则在物体振动过程中( )
A.物体在最低点时弹簧的弹力大小为2mg
B.弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变
C.弹簧的最大弹性势能等于2mgA
D.物体的最大动能等于mgA
答案:AC
解析:物体振动的平衡位置是物体静止时所受的重力和弹力相等的位置,由于物体到达最高点时,弹簧正好为原长,所以物体的振幅为 ,当物体在最低点时,弹力大小为2kA=2mg,选项A正确;由于只有重力和弹力做功,所以物体的动能、重力势能、弹簧的弹性势能之和保持不变,选项B错误;从最高点振动到最低点,物体的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能,所以弹簧的最大弹性势能等于2mgA,选项C正确;物体在平衡位置时动能最大,由于从最高点到平衡位置物体下降的高度为A,弹簧的弹性势能增大,所以物体的最大动能一定小于mgA,选项D错误。3 简谐运动的回复力和能量
课后·训练提升
基础巩固
一、选择题Ⅰ(每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的)
1.关于简谐运动,下列说法正确的是( )
A.简谐运动是匀变速运动
B.简谐运动的回复力总是指向平衡位置
C.简谐运动的回复力可以是恒力
D.水平弹簧振子运动到平衡位置时,回复力为零,因此机械能一定为零
答案B
解析简谐运动中加速度不断变化,是非匀变速运动,选项A错误;简谐运动的回复力总是与位移反向,即指向平衡位置,选项B正确;简谐运动的回复力满足F=-kx,则一定是变力,选项C错误; 水平弹簧振子运动到平衡位置时,回复力为零,但是速度最大,因此机械能不为零,选项D错误。
2.做简谐运动的弹簧振子中振动物体质量为0.2 kg,当它运动到平衡位置左侧20 cm时受到的回复力是4 N;当它运动到平衡位置右侧40 cm时,它的加速度为( )
A.20 m/s2,向右 B.20 m/s2,向左
C.40 m/s2,向右 D.40 m/s2,向左
答案D
解析因为振动物体运动到平衡位置左侧20cm时受到的回复力是4N,根据F=-kx可知,当它运动到平衡位置右侧40cm时回复力F=8N,方向向左,根据牛顿第二定律可知加速度a=m/s2=40m/s2,方向向左,选项D正确。
3.一弹簧振子在水平方向振动,则当振子远离中心位置时,逐渐增大的是( )
A.弹性势能 B.重力势能
C.动能 D.机械能
答案A
解析当振子远离中心位置时,弹簧振子的形变量增大,因此弹性势能增大,选项A正确;弹簧振子在水平方向振动,竖直高度不变,因此重力势能不变,选项B错误;当振子远离中心位置时,速度减小,动能减小,选项C错误;由于只有弹簧弹力做功,系统的机械能守恒,选项D错误。
4.图甲为某个质点做简谐运动的x-t图像,对图乙的下列判断正确的是( )
甲
乙
A.图(1)可作为v-t图像
B.图(2)可作为F-t图像
C.图(3)可作为F-t图像
D.图(4)可作为a-t图像
答案C
解析t=0时刻,振子在平衡位置,速度最大且沿x轴的正方向,选项A错误。根据回复力F=-kx和牛顿第二定律,加速度和回复力总与位移方向相反,且与位移大小成正比,所以选项C正确,B、D错误。
二、选择题Ⅱ(每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的)
5.一质点做简谐运动的振动图像如图所示,则该质点( )
A.在0~0.01 s内,速度与加速度同向
B.在0.01~0.02 s内,速度与回复力同向
C.在0.025 s时,速度为正,加速度为正
D.在0.04 s时,速度最大,回复力为零
答案AC
解析回复力、加速度与位移x始终反向,所以由x的正负就能确定加速度的正负。在x-t图像上,图线各点切线的斜率表示该点的速度,由斜率的正负又可确定速度的正负,由此判断选项A、C正确,B错误。在0.04s时,速度为零,加速度最大,选项D错误。
6.如图所示,弹簧上面固定一质量为m的小球,小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动,当小球振动到最高点时弹簧正好为原长,则在振动过程中( )
A.小球最大动能应小于mgA
B.弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C.弹簧最大弹性势能等于2mgA
D.小球在最低点时的弹力大于2mg
答案AC
解析小球到达平衡位置时动能最大,有mgA=mv2+Ep,故小球的最大动能小于mgA,选项A正确。简谐运动过程中机械能守恒,因此动能、重力势能和弹性势能之和保持不变,选项B错误。从最高点到最低点,重力势能全部转化为弹性势能,Epm=2mgA,选项C正确。最低点加速度等于最高点加速度g,据牛顿第二定律得F-mg=mg,解得F=2mg,选项D错误。
7.弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示,可以判定 ( )
A.t1到t2时间内系统的动能不断增大,势能不断减小
B.t2到t3时间内动能先增大再减小
C.t3时刻振子处于平衡位置处,动能最大
D.t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
答案AC
解析t1到t2时间内,x减小,弹力做正功,系统的动能不断增大,势能不断减小,选项A正确;t2到t3时间内,动能先减小后增大,选项B错误;t3时刻振子位移为零,处于平衡位置,速度最大,动能最大,选项C正确;t1和t4时刻振子的位移相同,即位于同一位置,其速度等大反向,动能相同,选项D错误。
三、非选择题
8.有一个弹簧的劲度系数为100 N/m、小球的质量为0.5 kg的弹簧振子,让其在水平方向上的B、C之间做简谐运动。已知B、C间的距离为20 cm,振子在2 s内完成了10次全振动。求:
(1)振子的振幅和周期;
(2)振子振动过程中处于最大位移处的加速度大小。
答案(1)10 cm 0.2 s (2)20 m/s2
解析(1) 振子的振幅A=lBC=10cm
周期T=s=0.2s。
(2) 振子振动过程中处于最大位移处的加速度大小
am=m/s2=20m/s2。
能力提升
一、选择题Ⅰ(每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的)
1.如图所示,质量为m1的物体A放置在质量为m2的物体B上,B与弹簧相连,它们一起在光滑水平面上做简谐运动,振动过程中A、B之间无相对运动。设弹簧劲度系数为k,当物体离开平衡位置的位移为x时,A受到的回复力的大小等于( )
A.0 B.kx
C.kx D.kx
答案C
解析物体A和B整体做简谐运动,当物体离开平衡位置的位移为x时,回复力即为弹簧的弹力,大小为kx,则以整体为研究对象有kx=a,则整体的加速度a=;以物体A为研究对象,使其产生加速度的力即为物体B对物体A的静摩擦力Ff,因此由牛顿第二定律可知Ff=m1a=kx,选项A、B、D错误,C正确。
2.如图所示,竖直悬挂的弹簧振子做振幅为A的简谐运动,当物体到达最低点时,物体恰好掉下一半(即物体质量减少一半),此后振动系统的振幅的变化为( )
A.振幅不变
B.振幅变大
C.振幅变小
D.条件不够,不能确定
答案B
解析当物体到达最低点时掉下一半(即物体质量减少一半)后,新的系统将继续做简谐运动,机械能也是守恒的,所以还会到达原来的最低点。但是,由于振动物体的质量减少,新的平衡位置将比原来的平衡位置高,所以振幅变大,选项B正确。
3.如图所示,弹簧的一端固定,另一端与质量为m2的物体B相连,质量为m1的物体A放在B上,m2=2m1。A、B两物体一起在光滑水平面上的N、M之间做简谐运动,运动过程中A、B之间无相对运动,O是平衡位置。已知当两物体运动到N时,弹簧的弹性势能为Ep,则它们由N运动到O的过程中,摩擦力对A做的功等于( )
A.Ep B.Ep
C.Ep D.Ep
答案C
解析整体做简谐运动,则弹簧在N点的弹性势能等于整体运动到O点的动能,即Ep=(m1+m2)v2,而此过程中摩擦力对A做的功等于m1v2,因m2=2m1,所以摩擦力对A做的功为,选项C正确。
4.如图所示,弹簧下面挂一质量为m的物体,物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动。当物体振动到最高点时,弹簧正好处于原长,则物体在振动过程中( )
A.弹簧的弹性势能和物体动能总和不变
B.物体在最低点时的加速度大小应为2g
C.物体在最低点时所受弹簧的弹力大小应为mg
D.弹簧的最大弹性势能等于2mgA
答案D
解析系统机械能守恒,动能、重力势能、弹性势能总量不变,振动过程中重力势能一直变化,弹簧的弹性势能和物体动能总和一直变化,故选项A错误;根据振动对称性,最低点与最高点关于平衡位置对称,最低点时弹簧形变量为2A,弹力为k·2A,弹力与重力的合力为k·2A-mg=mg,方向向上,加速度为g,故选项B错误;最低点时弹簧形变量为2A,弹力为k·2A=2mg,故选项C错误;振动最低点,弹簧的弹性势能最大,系统机械能守恒,重力势能转化为弹性势能,Ep=2mgA,故选项D正确。
二、选择题Ⅱ(每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的)
5.如图所示,一竖直放置的轻弹簧下端固定在水平地面上,质量为m的小球从弹簧正上方高为h处自由下落到弹簧上端A点,然后压缩弹簧到最低点C。若小球放在弹簧上可静止在B点(B点未画出),小球运动过程中空气阻力忽略不计,则下列说法正确的是( )
A.B点位于AC连线中点的上方
B.B点位于AC连线中点的下方
C.小球在A点的回复力等于mg
D.小球在C点的回复力大于mg
答案ACD
解析小球放在弹簧上,可以静止于B点,则B点为平衡位置;若小球从A点由静止释放,压缩弹簧到最低点C,平衡位置在A点和C点的中点;而小球从弹簧的正上方自由下落,C点需下移,但是平衡位置不变,可知B点位于AC连线中点的上方,故选项A正确,B错误。小球在A点所受弹力为零,则小球在A点所受的合力为mg,即回复力为mg,故选项C正确。若小球从A点静止释放,到达C点时,加速度与A点对称,大小为g,但是C点所处的位置在A点关于平衡位置对称点的下方,则小球在C点的回复力大于mg,故选项D正确。
6.如图所示,物体系在两弹簧之间,弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体,然后释放,物体在B、C间振动,O为平衡位置(不计阻力)。设向右为正方向,物体相对O点的位移为x,则下列判断正确的是( )
A.物体做简谐运动,lOC=lOB
B.物体做简谐运动,lOC≠lOB
C.物体所受合力F=-kx
D.物体所受合力F=-3kx
答案AD
解析物体的位移为x,则物体所受的合力F=-k1x-k2x=-(k2+k1)x=-3kx,选项D正确,C错误;可见物体做的是简谐运动,由简谐运动的对称性可知lOC=lOB,选项A正确,B错误。
7.如图所示,一个质量为m=1 kg的小球连接在轻质弹簧的一端,弹簧的另一端固定在天花板上,该弹簧的劲度系数k=100 N/m,弹簧的弹性势能与弹簧形变量的关系为E=kx2。用手把小球向上托起,弹簧恢复原长时,由静止释放小球,忽略空气阻力,g取10 m/s2,小球会在竖直方向上来回振动。下列说法正确的是( )
A.小球速度最大时,弹簧处于原长
B.小球运动到最低点时,弹簧弹性势能是1 J
C.以最低点为重力势能的零势能点,小球运动到最高点时重力势能为2 J
D.小球的最大速度是1 m/s
答案CD
解析小球速度最大时,弹簧的弹力等于小球的重力,则弹簧不处于原长位置,选项A错误;小球在平衡位置时弹簧的伸长量x=m=0.1m,小球运动到最低点,弹性势能等于重力势能的减小量,即E弹=mg·2x=10×0.2J=2J,选项B错误;以最低点为重力势能的零势能点,小球运动到最高点时重力势能为Ep=mg·2x=10×0.2J=2J,选项C正确;小球在平衡位置速度最大,则由能量守恒得mgx=E弹'+,其中E弹'=E弹=0.5J,解得小球的最大速度是vm=1m/s,选项D正确。
三、非选择题
8.如图所示,倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为l时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动),且物块在以后的运动中,斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度。
(2)物块做简谐运动的振幅是多少
(3)选物块的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向建立坐标系,用x表示物块相对于平衡位置的位移,证明物块做简谐运动。(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足F=-kx)
答案(1)l+
(2)
(3)见解析
解析(1)物块平衡时,受重力、支持力和弹簧的弹力。根据平衡条件,有mgsinα=kΔx
解得Δx=,故弹簧的长度为l+。
(2)物块做简谐运动的振幅为
A=Δx+l=。
(3)物块到达平衡位置下方x位置时,弹力为
k(x+Δx)=k
故合力为
F=mgsinα-k=-kx
所以物块做简谐运动。
