专题05 与角平分线有关的内角和问题
1．如图，△ABC中，∠A=40°，
(1)若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；
(2)若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；
(3)若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；
(4)若∠A=β，求(1)(2)(3)中∠P的度数(用含β的代数式表示，直接写出结果)
2．（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
①如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为 ；
③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为 ；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
3．如图1，AB与CD相交于点O，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）的度数；
（2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论．
4．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；
（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，△ABO的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB的度数，并求∠ACB与∠ADB之间的数量关系；
（3）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．
5．如图，两直线与垂直，点，分别在射线，上移动，平分，与的平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若的度数为度，求的度数．
6．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
7．（1）如图1，与是的两个外角，那么，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论．
（2）如图2，若，分别平分的外角和，那么与之间有怎样的等量关系？请说明理由．
（3）如图3，若，分别平分四边形的外角和，那么与，之间有怎样的等量关系？请说明理由．
8．已知，直线，点A，在上（点A在点的左侧），点，在上，连接，．作的平分线交于点．
（1）特例感知：如图1，点在点的右侧，连接，作的平分线交于点，若，求的度数．
（2）点在点的左侧，连接，作的平分线交于点．
①变式求异：如图2，若，求的度数．
②化归探究：已知，直线，直线交于点（点不与点重合），若，求的度数（用含的代数式表示，直接写出答案）．
9．已知，点、分别在直线、上，交于点．
（1）如图1，直接写出、与之间的数量关系：______；
（2）如图2，、分别为与的平分线，且交于点，试说明；
（3）如图3，若，，（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系；
（4）在（3）的条件下，若，当点在、之间运动时，是否存在？若存在，请求出的度数：若不存在，请说明理由．
10．如图，已知直线直线，垂足为点．将直角三角形纸板的直角边放置在直线上，线段（或射线）与直线交于点，直线交直线于点，平分，平分，设度，度，且．
（1）求，的值及的度数：
（2）如图，当、两点在点的两侧时，求的度数；
（3）将（2）中的三角形纸板沿方向平移，当、两点都移动到点的左侧时如图，请按题意在图中画出图形，并判断的度数与（2）的结果比较是否改变？若改变，直接写出此时的度数：若不变，请说明理由．
11．（1）如图1所示，在中，和的平分线将于点O，则有，请说明理由．
（2）如图2所示，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与之间的关系，不必说明理由．
（3）如图3所示，AP，BP分别平分，，则有，请说明理由．
（4）如图4所示，AP，BP分别平分，，请直接写出与，之间的关系，不必说明理由．
12．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）∠ABC＋∠ADC＝ °；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；
（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试求∠E的度数．
13．【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．
(1)若∠AFH=60°，∠CHF=50°，则∠EOF=_____度，∠FOH=_____度．
(2)若∠AFH+∠CHF=100°，求∠FOH的度数．
(3)【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF=α，直接写出∠FOH的度数．（用含α的代数式表示）
14．已知．
(1)如图1，求∠E+∠A+∠B的度数，并说明理由．
(2)如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
(3)如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥EF交BN于点G，若∠A＝∠BFG，请直接写出∠EFB的度数．
15．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．
（1）当α＝40°时，∠BPC＝ °，∠BQC＝ °；
（2）当α＝ °时，BM∥CN；
（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系： ．
16．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是 ；
（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P＝ ；
（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B＝80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；
（4）如图4，如果∠MCD＝∠BCD，∠NDE＝∠ADE，当∠A+∠B＝n°时，试求∠M+∠N的度数．
参考答案：
1．(1)∠BPC=110°；(2)∠BPC =70°；(3)∠BPC=20°；(4)(1)中∠P=β+90°；(2)中∠P=90°-β；(3)中∠P=β．
【分析】（1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB的度数，根据点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，可知的度数，再次利用三角形内角和定理即可得出∠P度数；
（2）由三角形的外角和定理可以得到∠DBC与∠BCE关于∠A的关系，再利用三角形内角和定理即可求出答案；
（3）由三角形的外角和定理和角平分线的定义可以得到∠P=，即可得出答案；
（4）由（1）（2）（3）证明过程，容易得到答案.
【详解】(1)∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=×140°=70°，
∴∠BPC=180°-70°=110°；
(2)∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∵P为△ABC两外角平分线的交点，
∴∠DBC=∠A+∠ACB，
同理可得：∠BCE=∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴(∠ACB+∠ABC)=90°-∠A，
∵180°-∠BPC=∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∴180°-∠BPC=∠A+∠ACB+∠ABC，180°-∠BPC=∠A+90°-∠A，
∴∠BPC=90°-∠A=70°；
(3)∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点
∴
∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC
∴
(4)若在(1)中；在(2)中，同理得；在(3)中同理可得∠P=β．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角和定理和角平分线的定义，能够综合运用定理与定义进行倒角证明是解答本题的关键.
2．（1）①130°，②10，③，（2）∠Q＝90°﹣∠A；（3）60°或120°或45°或135°．
【分析】（1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；
②根据平行和角平分线，判断△GPB和△CPH是等腰三角形，把△AGH的周长转化为AB+AC即可；
③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，根据角平分线的性质，可知PD=PR=PF，△ABC的面积就等于周长乘以PD，根据30°角，求出PD即可；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别求解即可．
【详解】解：（1）①∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
②∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵GH∥BC，
∴∠GPB =∠CBP，
∴∠ABP=∠GPB，
∴BG=GP，
同理，CH=PH，
GH=BG+HC，
△AGH的周长为：AG+GH+AH=AG+BG+AH+HC=AB+AC，
△ABC的周长为15，BC=5，
15-5=10，
∴△AGH的周长为10；
故答案为：10，
③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，连接AP，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴PD=PR，PD=PF，
∵∠ABC=60°，
∴∠PBD=30°
∵BP=3，
∴PD=1.5，
∴PR=PF=1.5，
，， ，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝[360°﹣(180°-∠A）]
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质和等腰三角形的判定等知识；灵活运用所涉及的知识进行分类讨论是解题的关键．
3．(1)33°；(2) ．
【分析】(1)根据角平分线可以得到∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB，利用三角形的外角和公式，得出等式结合题目给出的已知条件即可求解；
(2)利用三角形的外角和性质找出题目中隐含的等量关系，从而得出∠P和∠D、∠B之间存在的数量关系．
【详解】解：(1)∵AP是∠DAB的角平分线，CP是∠DCB的角平分线
∴∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB
∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP
∴2∠P=∠B+∠D
∵∠B=28°，∠D=38°
∴∠P=33°
(2) ∠P=
∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P
∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB
∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D
∵，
∴∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP）
∴∠B-∠D=3(∠P-∠D)
∵，
∴∠P=
【点睛】本题主要考查的是三角形的外角和性质，正确的利用三角形的外角和性质，找出题目中隐含的等量关系是解题的关键．
4．（1）135°（2）见解析（3）∠E的度数不变，∠E＝40°
【分析】（1）由三角形内角和定理得出∠OBA+∠OAB=90°，由角平分线的也得出∠ABC+∠BAC=×90°=45°，再由三角形内角和定理即可得出结果；
（2）由三角形内角和定理和角平分线的也得出∠ABC+∠BAC=90°-n°，再由三角形内角和定理得出∠ACB的度数；可求出∠CBD=90°，同理∠CAD=90°，由四边形内角和求出∠ACB+∠ADB=180°，由（1）知：∠ACB=90°+n°，即可得出结果；
（3）由三角形外角性质得出∠OAB=∠NBA-∠AOB，由角平分线定义得出∠NBA=∠E+∠OAB，∠NBA=∠E+（∠NBA-80°），∠NBA=∠E+∠NBA-40°，即可得出结果．
【详解】（1）∵∠MON＝90°，
∴∠OBA+∠OAB＝90°，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；
（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n°，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n°），
即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°；
∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的角平分线，
∴∠ABC＝∠OBA，∠ABD＝∠NBA，
∴∠ABC+∠ABD＝∠OBA+∠NBA，∠ABC+∠ABD＝（∠OBA+∠NBA）＝90°，
即∠CBD＝90°，
同理：∠CAD＝90°，
∵四边形内角和等于360°，
∴∠ACB+∠ADB＝360°﹣90°﹣90°＝180°；
（3）∠E的度数不变，∠E＝40°；理由如下：
∵∠NBA＝∠AOB+∠OAB，∴∠OAB＝∠NBA﹣∠AOB，
∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的角平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠CBA＝∠NBA，
∴∠CBA＝∠E+∠BAE，即∠NBA＝∠E+∠OAB，
∵∠NBA＝∠E+（∠NBA﹣80°），∠NBA＝∠E+∠NBA﹣40°，
∴∠E＝40°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的也、三角形的外角性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的也是解题的关键．
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理得到结果；
（2）根据，得到，，根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义即可得解；
【详解】（1）∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．
6．（1）；（2）．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF=，
∵，
∴，
∴；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=（38°+42°）=40°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
7．（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）根据平角的性质可得可得∠DBC=180°-∠ABC，∠BCE=180°-∠ACB，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
（2）利用（1）中的结论，结合三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出；
（3）结合（1）（2）可得和，整理后即可得出三者之间的关系．
【详解】解：（1），理由如下：
∠DBC+∠BCE
=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）
=360°-（180°-∠A）
=180°+∠A；
（2）．
理由如下：
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴．
（3），理由如下：
延长DQ、CE交于A，
由（1）同理可证，
由（2）得，即，
∴，即
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，平角的定义,三角形的外角．熟练掌握相关性质，并能结合图形分析是解题关键．
8．（1）；（2）①；②∠BGD的度数为或或．
【分析】（1）作直线，由平行线和角平分线的性质即可得出，，即可求出．
（2）①直接利用平行线和角平分线的性质即可得出．
②分类讨论Ⅰ当点D在①条件下的点D的右侧时、Ⅱ当点D在①条件下的点D的左侧，且点G在MN下方时、Ⅲ当点D在①条件下的点D的左侧，且点G在MN和PQ中间时，分别利用由平行线和角平分线的性质结合三角形内角和定理和三角形外角性质即可求出．
【详解】（1）如图，作直线，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵BE为的角平分线．
∴，
∴．
∵，
∴，
∵DF为的角平分线．
∴，
∴．
∴．
（2）①由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵DF为∠ADC的角平分线，
∴．
②Ⅰ如图，当点D在①条件下的点D的右侧时．
由（1）可知，
∵，
∴.
∵DF为∠ADC的角平分线，
∴.
∴，
∴．
Ⅱ如图，当点D在①条件下的点D的左侧，且点G在MN下方时．
同理可知，，
∴．
Ⅲ如图，当点D在①条件下的点D的左侧，且点G在MN和PQ中间时．
同理可知，，
∴．
综上可知，∠BGD的度数为或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质．利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解答本题的关键．
9．（1）∠P+∠PEB=∠PFD，理由见详解；（2）见详解；（3）∠P=3∠Q，理由见详解；（4）存在，=24°．
【分析】（1）根据三角形内角和定理与平角的性质，得∠P+∠PEB=∠PGB，结合平行线的性质，即可得到结论；
（2）根据三角形外角的性质以及平行线的性质得∠Q=∠2-∠1，结合2∠1=，2∠2=，即可得到结论；
（3）根据三角形外角的性质以及平行线的性质得∠Q=∠QFD-∠QEB，结合，，即可得到结论；
（4）先求出∠PFD=108°，从而得36°，∠PFQ=72°，根据平行线的性质得∠EPF=∠PFQ=72°，∠PGB=∠PFD=108°，进而得∠PEB的度数和的度数，然后即可求解．
【详解】（1）∵∠P+∠PEB+∠PGE=180°，∠PGE+∠PGB=180°，
∴∠P+∠PEB=∠PGB，
∵AB∥CD，
∴∠PGB=∠PFD，
∴∠P+∠PEB=∠PFD，
故答案是：∠P+∠PEB=∠PFD；
（2）如图所示：
∵在 EQK中，∠1+∠Q=∠3，
又∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∴∠1+∠Q=∠2，即：∠Q=∠2-∠1，
又∵、分别为与的平分线，
∴2∠1=，2∠2=，
由（1）可知：∠P+∠PEB=∠PFD，
∴∠P+2∠1=2∠2，即：∠P=2∠2-2∠1=2∠Q；
（3）∠P=3∠Q，理由如下：
由（1）可知：∠P =∠PFD-∠PEB，由（2）可知：∠Q=∠QFD-∠QEB，
∵，，
∴∠P=3∠Q；
（4）∵，
∴∠PFD=108°，
∴=36°，∠PFQ=108°-36°=72°，
∵，
∴∠EPF=∠PFQ=72°，
∵AB∥CD，
∴∠PGB=∠PFD=108°，
∴∠PEB=∠PGB-∠EPF =108°-72°=36°，
∵=12°，
∴∠Q=∠QKB-∠BEQ=∠QFD-∠BEQ=36°-12°=24°．
∴存在，=24°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握，平行线的性质以及三角形外角的性质，是解题的关键．
10．（1），，；（2）；（3）图见解析，
【分析】（1）根据题意，又，即可求出，的值，再证明，即可求出的度数；
（2）连接AE，先根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的性质求出和的度数，再根据求出的度数，即可得到结果；
（3）根据题意画出图形，同样利用角平分线的性质求出和的度数，再在四边形AOEF中利用内角和进行求解．
【详解】解：（1）∵是直角三角形，
∴，即，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接AE，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
如图，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
同理，
∵四边形AOEF的内角和是，
∴
．
【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，三角形和四边形的内角和，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行求解．
11．(1)理由见解析；(2) ∠BAC=2∠BOC；(3) 理由见解析；(4)
【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；
(2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；
(3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果；
(4) AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．
【详解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线
∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠OCB+∠OBC=
∴∠BOC=
(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD
∵∠BAC +∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC =∠OCD
∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD
∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD
∴∠BAC=2∠BOC
(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线
∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC
∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C
∴∠D-∠P=∠P-∠C
∴
(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线
∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC
设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y
∴∠AGB=∠C+2x
∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y
∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y
∵∠D+∠AEG=∠MAP
∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y
∴x+y=
∴
∴
【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．
12．（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450
【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；
（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】（1）解：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；
故答案为180°；
（2）解：延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；
（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，
∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE=×180°=45°，
延长DC交BE于H，
由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E=90°-45°=45°
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．
13．(1)30，125
(2)∠FOH=130°．
(3)∠FOH=90°-α．
【分析】（1）依据角平分线以及平行线的性质，即可得到∠EOF的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠FOH的度数；
（2）依据角平分线以及平行线的性质、三角形内角和定理，即可得到∠FOH的度数；
（3）根据∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，可得∠OFH=∠AFH，∠OHI=∠CHI，再根据∠FOH=∠OHI-∠OFH进行计算，即可得到∠FOH的度数．
【详解】（1）解：∵∠AFH=60°，OF平分∠AFH，
∴∠OFH=30°，
又∵EGFH，
∴∠EOF=∠OFH=30°；
∵∠CHF=50°，OH平分∠CHF，
∴∠FHO=25°，
∴△FOH中，∠FOH=180°-∠OFH-∠OHF=125°；
故答案为：30，125；
（2）解：∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，
∴∠OFH=∠AFH，∠OHF=∠CHF．
∵∠AFH+∠CHF=100°，
∴∠OFH+∠OHF=（∠AFH+∠CHF）=×100°=50°．
∴∠FOH=180°-（∠OFH+∠OHF）=180°-50°=130°．
（3）解：∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，
∴∠OFH=∠AFH，∠OHI=∠CHI，
∴∠FOH=∠OHI-∠OFH
=（∠CHI-∠AFH）
=（180°-∠CHF-∠AFH）
=（180°-α）
=90°-α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
14．(1)∠E+∠EAB+∠B=360°，理由见详解
(2)∠A=2∠EFD，理由见详解
(3)∠EFB=30°
【分析】（1）过A作，根据平行线的性质的得到∠E+∠EAQ=180°，∠QAB+∠B=180°，再通过∠EAB=∠EAQ+∠QAB，即可得到∠E+∠EAB+∠B=360°；
（2）根据角平分线性质得：，，根据平行线性质得，则，代入即可得到∠A=2∠EFD；
（3）根据角平分线得性质∠AEF=∠FEM, ∠ABF=∠FBG，平行线性质得∠EDB=∠FEM，由FG⊥EF，可得∠EFB+∠BFG =90°，根据三角形内角和的性质得∠A+∠AED=∠ABF+EDB，代入即可求解．
【详解】（1）解：过A作，
∵
∴∠E+∠EAQ=180°，
∵，
∴，
∴∠QAB+∠B=180°，
∵∠EAB=∠EAQ+∠QAB，
∴∠E+∠EAQ+∠QAB+∠B=∠E+∠EAB+∠B=360°；
（2）由（1）知∠E+∠A+∠B=360°，
∴∠B=360°-∠E-∠A，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即∠A=2∠EFD；
（3）∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F
∴∠AEF=∠FEM, ∠ABF=∠FBG
设∠A＝∠BFG=α，∠AEF=∠FEM=β，∠ABF=∠FBG=γ
∵
∴∠EDB=∠FEM=γ
∵FG⊥EF
∴∠EFB+∠BFG=∠EFB+α=90°
∴α=90°-∠EFB
∵∠A+∠AED=∠ABF+EDB
∴α+2β=2γ
∵∠EDB=∠FEM+∠EFB即：γ=β+∠EFB
∴90°-∠EFB+2β=2（β+∠EFB）
∴∠EFB=30°
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，注意方程思想的应用．
15．（1）70， 125；（2）60；（3）45°；（4）∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．
【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB＝180°，依此求解即可；
（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数；
（4）分别用∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解．
【详解】解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB＝55°，
∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB＝180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α，
∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，
即（180°+α）＝180°，
解得α＝60°；
（3）∵α＝120°，
∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°，
∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；
（4）∵α＞60°，
∠BPC＝90°﹣α
∠BQC＝135°﹣α
∠BOC＝α﹣45°．
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°．
故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．
【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
16．（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）90°﹣（∠A+∠B）；（3）∠CMN+∠DNM＝230°；（4）∠CMN+∠DNM＝240°﹣n°．
【分析】（1）由三角形的内角和均为180°及图中∠AOB和∠COD为对顶角可知∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）设∠PCD＝x，∠ADP＝y，由CP，DP均为角平分线可得∠BCD＝2x，∠ADE＝2y；再由三角形外角和定理可得∠P＝∠PDE﹣∠PCD＝y﹣x，∠COD＝∠ODE﹣∠BCD＝2y﹣2x，则可求得∠COD＝2∠P；由三角形内角和定理以及∠COD和∠AOB是对顶角可得，∠COD+∠A+∠B＝180°，再用∠COD＝2∠P进行替换可得∠P＝90°﹣（∠A+∠B）；
（3）延长CM、DN交于点P，由上一问结论可知∠P＝90°﹣（∠A+∠B），结合题干所给条件易求得∠P＝50°，由三角形内角和定理可得∠PMN+∠PNM＝130°，则∠M+∠N＝360°-(∠PMN+∠PNM)=360°﹣130°＝230°；
（4）延长CM、DN交于点P，设∠PCD＝x，∠ADP＝2y，由∠MCD＝∠BCD，∠NDE＝∠ADE易得∠NDE＝y，∠BCD=3x，再由三角形外角和定理以及内角和定理易得∠P＝y﹣x，∠COD＝3y﹣3x，则∠COD＝3∠P；由三角形内角和定理可得3∠P+∠A+∠B＝180°，题干已知∠A+∠B＝n°，则可知∠P＝，同上问∠CMN+∠DNM＝360°﹣(∠PMN+∠PNM)=360°-（120°+）＝240°﹣．
【详解】解：（1）如图1，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）设∠PCD＝x，∠ADP＝y，
∵CP，DP分别平分∠BCD，∠ADE，
∴∠BCD＝2x，∠ADE＝2y，
∵∠P＝∠PDE﹣∠PCD＝y﹣x，
∠COD＝∠ODE﹣∠BCD＝2y﹣2x，
∴∠COD＝2∠P，
∵∠COD+∠A+∠B＝180°，
∴2∠P+∠A+∠B＝180°，
∴∠P＝90°﹣（∠A+∠B）；
故答案为90°﹣（∠A+∠B）；
（3）延长CM、DN交于点P，
由（2）知：∠P＝90°﹣（∠A+∠B），
∵∠A+∠B＝80°，
∴∠P＝50°，
∴∠PMN+∠PNM＝130°，
∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣130°＝230°；
（4）延长CM、DN交于点P，
设∠PCD＝x，∠ADP＝2y，
∵∠MCD＝∠BCD，∠NDE＝∠ADE，
∴∠NDE＝y，∠BCD=3x，
∴∠P＝y﹣x，∠COD＝3y﹣3x，
∴∠COD＝3∠P，
∴3∠P+∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠B＝n°，
∴∠P＝，
∴∠PMN+∠PNM＝180°﹣＝120°+，
∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣（120°+）＝240°﹣．
【点睛】熟练运用三角形内、外角和定理是解题关键，同时要学会总结如何通过作辅助线构建已知条件和未知问题之间的关系从而解题.
